1專題10數列求和及其應用考情解讀高考對本節內容的考查仍將以常用方法求和為主，尤其是錯位相減法及裂項求和，題型延續解答題的形式。預測高考對數列求和仍是考查的重點．數列的應用以及數列與函數等的綜合的命題趨勢較強，復習時應予以關注。重點知識梳理1．數列求和的方法技巧(1)公式法：直接應用等差、等比數列的求和公式求和。(2)錯位相減法這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。(3)倒序相加法這是在推導等差數列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列(反序)，當它與原數列相加時若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和。(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和。(5)分組轉化求和法有些數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數列或常見的數列，可先分別求和，然后再合并。2．數列的綜合問題(1)等差數列與等比數列的綜合。(2)數列與函數、方程、不等式、三角、解析幾何等知識的綜合。(3)增長率、分期付款、利潤成本效益的增減等實際應用問題。數列的實際應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當提高閱讀理解能力，將普通語言轉化為數學語言或數學符號，實際問題轉化為數學問題，然后再用數學運算、數學推理予以解決?！菊`區警示】1．應用錯位相減法求和時，注意項的對應。22．正確區分等差與等比數列模型，正確區分實際問題中的量是通項還是前n項和。高頻者點突破高頻考點一數列求和例1、（2018年天津卷）設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為T(neN*)，（i）求ii）證明.【變式探究】【2017江蘇，19】對于給定的正整數k,若數列{an}滿足ank+ank+1+…+an1+an+1+…+an+k1+an+k=2kan對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.（1）證明：等差數列{an}是“P(3)數列”;（2）若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.【變式探究】設數列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通項公式an；(2)求數列{|an－n－2|}的前n項和.【舉一反三】若An和Bn分別表示數列{an}和{bn}的前n項的和，對任意正整數n，an＝2(n＋1)，3An-Bn＝4n.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)記cn求{cn}的前n項和Sn.【變式探究】已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)令cn求數列{cn}的前n項和Tn.高頻考點二、數列和函數、不等式的交匯是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數．例如：對1，2，3的一個排列231，3只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231全部排列的個數.（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示)【變式探究】已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數列，求數列{an}的通項公式；(2)設雙曲線x21的離心率為en，且e2證明：e1＋e2+?+en>.【變式探究】已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若點(bn，an)在函數y＝log2x的圖象上，求數列{bn}的前n項和Tn.高頻考點三數列的應用與綜合問題例3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)求數列{an}的前n項和Sn；(2)設bn＝log2(S3n＋2)，數列bnbn＋1的前n項和為Tn，求證≤4Tn<.【舉一反三】已知等差數列{an}滿足a6－a3＝6，且a3－1是a2－1，a4的等比中項.(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝(n∈N*)，數列{bn}的前n項和為Tn，求使Tn<成立的最大正整數n的值.【變式探究】在數列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an－3.令bn＝log4(an－1)，n∈N*.(1)求證：數列{bn}是等差數列，并求{bn}的通項公式；(2)記數列{bn}的前n項和為Sn，若不等式(－1)nkbn<2Sn＋n＋4對所有的正奇數n都成立，求實數k的取值范圍.真題感悟A．16B．84A．16B．81.（2018年浙江卷）已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數列n}滿足b1=1，數列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n.(Ⅱ)求數列{bn}的通項公式.2.（2018年天津卷）設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已知1=1a,=b4+2b.（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為T(neN*)，（i）求Tn；（ii）證明.3.（2018年江蘇卷）設是首項為4，公差為d的等差數列，是首項為b1，公比為q的等比數列.（1）設1=0.b1=1q=2，若對n=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在deR，使得對n=2,3…,m+1均成立，并求d的取值范圍（用b1mq表示）.4.（2018年江蘇卷）設neN*，對1，2，···,n的一個排列，如果當s<t時，有，則是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數為2．記為全部排列的個數.（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示).5.（2018年全國Ⅱ卷）記sn為等差數列的前n項和，已知，S3=-15.（1）求的通項公式；5（2）求，并求的最小值．6.（2018年全國Ⅲ卷）等比數列中，.（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若sn=63，求m.1.【2017天津，理18】已知{an}為等差數列，前n項和為Sn(ne**)，{bn}是首項為2的等比數列，(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；(Ⅱ)求數列{a2nb2n一1}的前n項和(ne**).n對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.（1）證明：等差數列{an}是“P(3)數列”;（2）若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.3.【2017山東，理19】已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3-x2=2(Ⅰ)求數列{xn}的通項公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1,x=xn+1所圍成的區域的面積Tn.1.【2016高考天津】已知{an}是各項均為正數的等差數列，公差為d，對任意的neN*,bn是an和an+1的等差中項.,neN*，求證：{cn}是等差數列；nbn2,neN*，求證：<.62.【2016高考新課標3】已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan，其中λ子0.（I）證明{an}是等比數列，并求其通項公式；（II）若S5=，求λ.3.【2016高考浙江】設數列{an}滿足an-<1，neN*.a1-2)，neN*；4.【2016年高考北京】（本小題13分）設數列A：a1，a2,…aN(是數列A的一個“G時刻”.記“G(A)是數列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；（3）證明：若數列A滿足an-an-1≤1（n=2,3,…,N）,則G(A)的元素個數不小于aN-a1.5.【2016年高考四川】（本小題滿分12分）已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，ne(Ⅰ)若2a2,a3,a2+2成等差數列，求{an}的通項公式；an=qn-16.【2016高考上海】（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.若無窮數列{an}滿足：只要ap=aq(p,qeN*)，必有ap+1=aq+1，則稱{an}具有性質P.n判斷{an}是否具有性質P，并說明理由；（3）設{bn}是無窮數列，已知an+1=bn+sinan(neN*).求證：“對任意a1,{an}都具有性質P”的充7.【2016高考新課標2】Sn為等差數列{an}的前n項和(Ⅱ)求數列{bn}的前1000項和.(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式；9.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）{an}(neN*)和U的子集T，若T=⑦,定義ST=0;若{an}(neN*)是公比為3的等比數列，且當T={2,4}時，ST=30.（1）求數列{an}的通項公式；10.【2016高考山東】（本小題滿分12分）(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式；9專題10數列求和及其應用考情解讀高考對本節內容的考查仍將以常用方法求和為主，尤其是錯位相減法及裂項求和，題型延續解答題的形式。預測高考對數列求和仍是考查的重點．數列的應用以及數列與函數等的綜合的命題趨勢較強，復習時應予以關注。重點知識梳理1．數列求和的方法技巧(1)公式法：直接應用等差、等比數列的求和公式求和。(2)錯位相減法這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。(3)倒序相加法這是在推導等差數列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列(反序)，當它與原數列相加時若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和。(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和。(5)分組轉化求和法有些數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數列或常見的數列，可先分別求和，然后再合并。2．數列的綜合問題(1)等差數列與等比數列的綜合。(2)數列與函數、方程、不等式、三角、解析幾何等知識的綜合。(3)增長率、分期付款、利潤成本效益的增減等實際應用問題。數列的實際應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當提高閱讀理解能力，將普通語言轉化為數學語言或數學符號，實際問題轉化為數學問題，然后再用數學運算、數學推理予以解決?！菊`區警示】1．應用錯位相減法求和時，注意項的對應。2．正確區分等差與等比數列模型，正確區分實際問題中的量是通項還是前n項和。高頻考點突攻高頻考點一數列求和例1、（2018年天津卷）設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為T(neN*)，（i）求Tn；（ii）證明.【答案】(Ⅰ)，bn=n；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見解析.【解析】（I）設等比數列的公比為q.由可得2-q-2=0.因為q>0，可得q=2，故.設等差數列的公差為d，由，可得b1+3d=4由，可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bhn=n所以數列的通項公式為，數列h（IIi）由（I有，（ii）因為，所以【變式探究】【2017江蘇，19】對于給定的正整數k,若數列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.（1）證明：等差數列{an}是“P(3)數列”;（2）若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明:（1）因為{an}是等差數列，設其公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當n>4時，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，當n>3時，an-2+an-1+an當n>4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3將③④代入②,得an-1+an+1=2an，其中n>4，…是等差數列，設其公差為d'.在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d'，所以數列{an}是等差數列.【變式探究】設數列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通項公式an；(2)求數列{|an－n－2|}的前n項和.a2＝2a1＋1，a2＝3.又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，∴數列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈故bn＝3n－1－n－2，n≥3.設數列{bn}的前n項和為Tn，當n≥3時，Tn＝3=3n－n2－5n＋11,22，2∴Tn＝3n－n2－5n＋112【舉一反三】若An和Bn分別表示數列{an}和{bn}的前n項的和，對任意正整數n，an＝2(n＋1)，3An-Bn＝4n.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)記cn求{cn}的前n項和Sn.【解析】(1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}為等差數列，且a1＝4.∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n，當n≥2時，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8適合上式，n＝6n＋2.(2)由(1)知cn∴Sn= 1-n＋1n＋2+=-1 1-n＋1n＋2+=n－1 1+1=3－1n＋ 1+1=3－1n＋2n＋2n＋1.4【變式探究】已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)令cn求數列{cn}的前n項和Tn.【解析】(1)由題意知當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式.n＝6n＋5.設數列{bn}的公差為d.a1＝b1＋b2，11＝2b1＋d，a2＝b2＋b3，17＝2b1＋3d，n＝3n＋1.解得解得(2)由(1)知cn3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2+?+cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23+?+(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24+?+(n＋1)×2n＋2]，兩式作差，得 4＋4（1－2n）－（n＋1）×2n＋2-Tn＝3×[2×22＋23＋24+?+2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3× 4＋4（1－2n）－（n＋1）×2n＋2高頻考點二、數列和函數、不等式的交匯是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數為2．記為全部排列的個數.（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示).（2）n≥5時，【解析】（1）記為排列abc的逆序數，對1，2，3的所有排列，有,所以.對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，.（2）對一般的n（n≥4）的情形，逆序數為0的排列只有一個：12…n，所以.逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列，所以)=n-1.為計算，當1，2，?,n的排列及其逆序數確定后，將n+1添加進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，.,因此，n≥5時，9-.【變式探究】已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數列，求數列{an}的通項公式；(2)設雙曲線x21的離心率為en，且e2證明：e1＋e2+?+en>.(1)【解析】由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立，∴數列{an}是首項為1，公比為q的等比數列.由2a2，a3，a2＋2成等差數列，可得2a3＝3a2＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0.由已知，q>0，故q＝2.(2)證明：由(1)可知，an＝qn－1，∴雙曲線x21的離心率∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，∴1＋q2（k－1）>qk－1(k∈N*).于是e1＋e2+?+en>1＋q+?+qn－1故e1＋e2+?+en>.【變式探究】已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若點(bn，an)在函數y＝log2x的圖象上，求數列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，∴數列{an}的通項公式為an＝4n.(2)由點{bn，an}在函數y＝log2x的圖象上得an＝log2bn，且an＝4n，故數列{bn}是以16為首項，公比為16的等比數列.高頻考點三數列的應用與綜合問題例3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)求數列{an}的前n項和Sn；(2)設bn＝log2(S3n＋2)，數列＋的前n項和為Tn，求【解析】(1)因為an＋1＝Sn＋2，①所以當n≥2時，an＝Sn－1＋2，②①-②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，即an＋1＝2an(n≥2)，所以an＋1＝2an(n≥1)，即數列{an}是以a1＝2為首項，公比q＝2的等比數列，則Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.(2)證明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，所以S3n＋2＝23n＋1，bnbn＋1(3n＋1(3n＋41-=1-=3×3n＋13n＋4，所以Tn+?+1-1--=3×47＋710+?+－=×43n＋4==×43n＋4=-3123(3n＋4.因為>0，所以Tn<.4(3n＋43＋28又Tn＝n當n4(3n＋43＋284n所以≤Tn<，即≤4Tn<.【舉一反三】已知等差數列{an}滿足a6－a3＝6，且a3－1是a2－1，a4的等比中項.(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝(n∈N*)，數列{bn}的前n項和為Tn，求使Tn<成立的最大正整數n的值.【解析】(1)設等差數列{an}的公差d，∵a6－a3＝3d＝6，即d＝2，3－1＝a1＋3，a2－1＝a1＋1，a4＝a1＋6，3－1是a2－1，a4的等比中項，－1)2＝(a2－1)·a4，即(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.∴數列{an}的通項公式為an＝2n＋1.(2)由(1)得bn.＋b2+?+bn=235572n＋12n＋3=235572n＋12n＋3=32n＋3＝=32n＋3＝n，23(2n＋33(2n＋37，n.3(2n＋37，n.∴使得Tn<成立的最大正整數n的值為8.【變式探究】在數列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an－3.令bn＝log4(an－1)，n∈N*.(1)求證：數列{bn}是等差數列，并求{bn}的通項公式；(2)記數列{bn}的前n項和為Sn，若不等式(－1)nkbn<2Sn＋n＋4對所有的正奇數n都成立，求實數k的取值范圍.【解析】(1)證明：因為bn＋1＝log4(an＋1－1)＝log4[4(an－1)]＝1＋log4(an－1)＝1＋bn，所以bn＋1－bn＝1，所以數列{bn}是以b1＝log44＝1為首項，1為公差的等差數列，(2)由(1)知bn＝n，則Sn所以(－1)nkbn<2Sn＋n＋4等價于(－1)nkn<n2＋2n＋4，即(－1)nk<n2.因為n為正奇數，所以原式變形為k>－(n＋)－2，則k>[－(n＋)－2]max.令函數f(x)(x＋)－2，x>0，則f′(x)所以當x∈(0,2)時，f′(x)>0，當x∈(2，+∞)時，f′(x)<0，即f(x)在(0,2)上單調遞增，在(2，+∞)上單調遞減，由f(1)7<f(3)得f(n)max(n為正奇數)，所以k>－，即實數k的取值范圍為(－，+∞).真題感悟A．16B．8【答案】C2【解析】設正數的等比數列{an}的公比為q，則〈1411，la1q1，:a3=a1q2=4，故選C.A．16B．8【答案】Cla1q1，:a3=a1q2=4，故選C.1.（2018年浙江卷）已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數列n}滿足b1=1，數列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n.(Ⅱ)求數列{bn}的通項公式.【答案】(Ⅰ)q=2【解析】(Ⅰ)由是,a的等差中項得，所以，解得4=8.由a3+a5=20得，因為q>1，所以q=2.(Ⅱ)設，數列c}前n項和為sn.由(Ⅰ)可知，所以，.所以…，又b1=1，所以.2.（2018年天津卷）設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已知1=1a,=b4+2b.（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為T(neN*)，（i）求Tn；（ii）證明.【答案】(Ⅰ)，bn=n；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見解析.【解析】（I）設等比數列的公比為q.由可得2-q-2=0.因為q>0，可得q=2，故.設等差數列的公差為d，由，可得b1+3d=4由，可得3b1+13d=16,從而b1=1,d=1,故bhn=n所以數列的通項公式為，數列h（IIi）由（I有，（ii）因為，所以3.（2018年江蘇卷）設是首項為4，公差為d的等差數列，是首項為b1，公比為q的等比數列.（1）設1=0.b1=1q=2，若對n=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在deR，使得對n=2,3…,m+1均成立，并求d的取值范圍（用b1mq表示）.【答案】（1）d的取值范圍為.（2）d的取值范圍為，證明見解析。因為lqn-bl≤b1對n=1，2，3，4均成即11，1≤d3，3≤2d≤5，7≤3d9，得.因此，d的取值范圍為.（2）由條件知：.即當n=2,3…,m+1時，d滿足.因為qE(1,，則1""，從而對n=2,3…,m+1均成立.因此，取d=0時，lqn-bl≤b1對n=2,3…,m+1均成立.下面討論數列的最大值和數列的最小值（n=2,3…,m+1）.①當2≤n≤m時1時，有""2，從而.因此，當2≤n≤m+1時，數列單調遞增，故數列的最大值為.②設，當x>0時所以f(x)單調遞減，從而<f（0）=1.當2≤n≤m時因此，當2≤n≤m+1時，數列單調遞減，故數列的最小值為.因此，d的取值范圍為.4.（2018年江蘇卷）設neN*，對1，2，···,n的一個排列，如果當s<t時，有，則是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數為2．記為全部排列的個數.（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示).（2）n≥5時，【解析】（1）記(abe)為排列abc的逆序數，對1，2，3的所有排列，有,所以.對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，.（2）對一般的n（n≥4）的情形，逆序數為0的排列只有一個：12…n，所以.逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列，所以)=n-1.為計算，當1，2，?,n的排列及其逆序數確定后，將n+1添加進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，.,因此，n≥5時，.5.（2018年全國Ⅱ卷）記sn為等差數列的前n項和，已知，S3=-15.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）an=2n–92）Sn=n2–8n，最小值為–16.【解析】（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9.（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16.6.（2018年全國Ⅲ卷）等比數列中，.（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若sa=63，求m.（2）m=6【解析】（1）設的公比為，由題設得.由已知得，解得q=0（舍去q=-2或q=2.故或.（2）若，則．由得，此方程沒有正整數解.若，則．由得2=64，解得m=6.綜上，m=6.1.【2017天津，理18】已知{an}為等差數列，前n項和為Sn(ne**)，{bn}是首項為2的等比數列，(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；(Ⅱ)求數列{a2nb2n一1}的前n項和(ne**).【解析】（I）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.24-2a1，可得3d-a1=8①.所以，數列{an}的通項公式為an=3n-2，數列{bn}的通項公式為bn=2n.（II）【解析】設數列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn，n，3n，4T234n3n-(3n-1)(n+1n+12.【2017江蘇，19】對于給定的正整數k,若數列{an}滿足an-k+an-k+1+n對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.（1）證明：等差數列{an}是“P(3)數列”;（2）若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明:（1）因為{an}是等差數列，設其公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當n>4時，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，當n>3時，an-2+an-1+an當n>4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3將③④代入②,得an-1+an+1=2an，其中n>4，…是等差數列，設其公差為d'.在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d'，所以數列{an}是等差數列.3.【2017山東，理19】已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3-x2=2(Ⅰ)求數列{xn}的通項公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1,x=xn+1所圍成的區域的面積Tn.,P=(2n+1)x2n2，所以T①②+1)x2n①②0+7x22+1)x2n1①-②得T2n1)(2n+1)x2n11)(2n所以Tn=(2n1)x2n+1.21.【2016高考天津】已知{an}是各項均為正數的等差數列，公差為d，對任意的neN*,bn是an和an+1的等差中項.,neN*，求證：{cn}是等差數列；nbn2,neN*，求證：<.【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)詳見解析【解析】因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2，所以{cn}是等差數列.22n)22n)22.【2016高考新課標3】已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan，其中λ子0.（I）證明{an}是等比數列，并求其通項公式；（II）若S5=，求λ.【答案】(Ⅰ)an=()n-1；(Ⅱ)λ=-1.【解析】=λan+1-λan，即an+1(λ-1)=λan.因此{an}是首項為,公比為的等比數列，于是an=()n-1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn=1-(λλ-1)n，由S5=得1-(λλ-1)5=，即(λλ-1)5=3，解得λ=-1.)3.【2016高考浙江】設數列{an}滿足an-<1，neN*.)a1-2)，neN*；【答案】（I）證明見解析II）證明見解析. 2n2n+12n所以212n2-23)|n-1-2n)| a1-an212n2-23)|n-1-2n)|21222n-1n-1a-2)（II）任取neN*，由（I）知，對于任意m>n，n-2n+1)|m-1-2m| an-n-2n+1)|m-1-2m|2n2n+12m-112n-1故nm.2n從而對于任意m>n，均有2否則，存在n0EN*，有an0>2，取正整數24a22m0.m0n0.logn0與①式矛盾.綜上，對于任意nEN*，均有an<2.4.【2016年高考北京】（本小題13分）設數列A：a1，a2,…aN(是數列A的一個“G時刻”.記“G(A)是數列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；（3）證明：若數列A滿足an-an一1≤1（n=2,3,…,N）,則G(A)的元素個數不小于aN-a1.【答案】（1）G(A)的元素為2和52）詳見解析3）詳見解析.【解析】(Ⅰ)G(A)的元素為2和5.m.因此mEG(A)，從而G(A)子⑦.p2p.記n0n2np.nimi.又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp=⑦.ni+11ni.ni+11ni5.【2016年高考四川】（本小題滿分12分）已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，S【答案】(Ⅰ)an=qn-1；(Ⅱ)詳見解析.所以，數列{an}是首項為1，公比為q的等比數列.兩式相減得到an+21都成立.N4n一3n+...+e>n3n1.*.=53==5