【數學】向量的數量積課件-2023-2024學年高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊_第1頁
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向量的數量積的課件向量的夾角OABOABOAB已知兩個非零向量

和，作，，則叫做向量和的夾角．OAB三、點撥精講(25分鐘)思考：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；平面向量的數量積的定義規定：零向量與任意向量的數量積為0，即

已知非零向量與，我們把數量叫作與的數量積（或內積），記作，即規定夾角思考：向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？當0°≤θ＜

90°時為正；當90°＜θ≤180°時為負。當θ=90°時為零。數量積符號由cos

的符號所決定（1）兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，符號由夾角決定.

（3）在運用數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]．說明：

（2）a·b中間的“·”在向量的運算中不能省略，也不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運算（外積）．例1.已知解：=-10解：由得因為所以。ABCDA1B1這種變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量

OMNM1叫做向量在向量上的投影向量

投影向量OMNM1探究：如圖，設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與之間有怎樣的關系？當為銳角時，所以，當為直角時，所以，當為鈍角（如圖（3））時，即當時，所以當時，所以綜上，對任意的都有探究：兩個非零向量相互平行或垂直時，投影向量具有特殊性，你能得出向量的數量積的特殊性質嗎？

(3)當向量與共線同向時，；當向量與共線反向時，.特別地，或(4)θ=90oθ=0oθ=180o︱cosθ︱≤1設是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則課堂素養達標1.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)

A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.因為(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.所以2|a||b|cosθ+|b|2=0.又因為|a|=|b|,所以cosθ=-,即θ=120°.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,則= (

)A.16 B.-8 C.8 D.-16【解析】選A.3.已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則= (

)

【解析】選D.在菱形ABCD中,所以=a2+a×a×cos60°=a2+a2=a2.4.設非零向量a和b,它們的夾角為θ.(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a與b的數量積;(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a與b的夾角θ.【解析】(1)

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