課堂小結3.利用導數的幾何意義解釋實際生活問題,體會“數形結合”,“以直代曲”的數學思想方法.瞬時速度平均速度y=f(x)平均變化率瞬時變化率在x=

x0處函數y=f(x)在x=

x0處的導數P0Poxyy=f(x)割線切線T幾何意義割線P0P的斜率切線P0T的斜率1.導數的定義如果當?x→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作或，即

從求函數y=f(x)在x=x0處導數的過程可以看到，當x=x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f′(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(derivedfunction)(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y′，即復習引入2.導數的幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數

f

′(x0)就是切線的斜率，即3.如何求函數y=f(x)的導數?§5.2導數的運算

5.2.1基本初等函數的導數

高中數學人教A版（2019）選擇性必修2探究新知1.函數

y＝f(x)＝c

的導數即也就是說任意一個常數的導數是0.追問：若y=c(如圖示)表示路程關于時間的函數，則y′=0的物理意義是什么？若y=c表示路程關于時間的函數，則y′=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止狀態.所以路程保持不變，是關于時間的常值函數.xyOy＝c2.函數

y＝f(x)＝x

的導數即若y=x(如圖示)表示路程關于時間的函數，則y′=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.xyy=xO追問：若y=x(如圖示)表示路程關于時間的函數，則y′=1的物理意義是什么？3.函數

y＝f(x)＝x2

的導數即追問1：y′=2x的幾何意義是什么？表示函數y＝x2的圖象上點(x,y)處切線的斜率為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，

y′=2x表明：當x<0時，隨著x的增加，|y′|越來越小，y＝x2減少得越來越慢；當x>0時，隨著x的增加，|y′|越來越大，y＝x2增加得越來越快.追問2：若表示路程關于時間的函數，則的物理意義是什么？某物體做變速直線運動，它在時刻x的瞬時速度為2x.4.函數

y＝f(x)＝x3

的導數追問1：還有沒有其它得到

的方法？即追問2：y′＝3x2的幾何意義是什么？xyOy＝x3y′＝3x2表示函數y＝x3的圖像上的點(x,y)處切線的斜率為3x2,這說明隨x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負數.追問3：隨著x的變化，函數y=x3的導數y′＝3x2也在變化，導數隨x的變化反映出了函數y=x3怎樣的變化？當x>0時，隨著x的增加，|y′|越來越大，y=x3增增加得越來越快；當x<0時，隨著x的增加，|y′|越來越小，y=x3增加得越來越慢.

從導函數的非負性來看，除x=0時函數的導數為0外，函數的導數恒為正，因此函數在定義域上恒為增函數.xyOy＝x35.函數

y＝f(x)＝

的導數x1—追問1:畫出函數

的圖象.根據函數

的圖象，結合函數的導數，描述它的變化情況.

結合函數圖象及其導數

發現，當x<0時，隨著x的增加，函數減少得越來越快；當x>0時，隨著x的增加，函數減少得越來越慢.追問2：求出曲線在點(1,1)處的切線方程.x+y-2=0即6.函數

y＝f(x)＝

的導數Oxy即追問1：該函數的定義域及其導數的定義域是否一樣？不一樣，原函數的定義域為{x|x≥0}，導數的定義域為{x|x>0}.問題:前面幾個函數都是我們學過的一類基本初等函數——冪函數，根據這些冪函數的導數結果，你能總結出對于一般冪函數的導函數公式嗎？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項式系數表11121133114641151010511615201561[南宋]楊輝(n∈N*)《詳解九章算法》記載的表公式證明：的情況.說明：實際上，此公式對n∈R都成立，但證明較復雜，此處只給出了n∈N*的證明．(n∈N*)看幾個例子:練習.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程.分析：這兩個公式的證明需要用到三角函數的和差化積公式和重要的極限證明:(公式3)☆以下公式需熟記，但其推導過程不要求掌握，僅作了解證明:公式5：對數函數的導數

（1）重要極限

證明：

前面我們根據導數的定義求出了一些常用函數的導數．一般地，有下面的基本初等函數的導數公式表，這些公式可以直接使用．基本初等函數的導數公式必須熟記于心！【思路點撥】

解答本題可先將解析式調整為基本初等函數的形式，再利用公式求導．提示：不正確．２．函數f(x)＝π＋2的導數．[解析]

∵π＋2為常數，∴f′(x)＝0.問題探究例3.假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價p(單位:元)與時間t(單位:年)之間的關系為

其中p0為t=0時的物價.假定某種商品的