2023-2024學年河北省部分學校聯考高二下冊3月月考數學

模擬試題

一、單選題

1.若/(x)=SinJ,則,甲”2、；/(°)=()

A.0B.?-C.1D.2

【正確答案】D

【分析】利用導數的定義和導數公式進行計算.

【詳解】由題意可知，/(X)=COSX,/'(0)=1

lim/(20-7(0)=21im/(0+2Q-/(0)=

Γ→Ot2f→02/

故選：D.

2.己知等比數列｛%｝的公比為且％%=2%,則％=()

A.2B.1C.~D,一

24

【正確答案】C

【分析】利用等比數列下標和性質可得知，由等比數列通項公式可求得結果.

【詳解】a5ai=a｝=2ai,/.α4=2,/.?=α4j=2x；=g.

故選：C.

3.一質點做直線運動，它所經過的路程S與時間，的關系為s(r)=∕+/+ι,若該質點在時

間段［L2］內的平均速度為匕，在f=2時的瞬時速度為匕，則匕+丹=()

A.10B.16C.26D.28

【正確答案】C

［分析］利用曾三；⑴計算vl,利用√(2)計算V2,相加可得答案.

【詳解】由題，V,=S⑵-S(I)=23+22+1-R-12-I=H)

,2-11

由題s'(r)=3*+2f,V2=s'(2)=3X2?+2X2=16,則4+匕=26.

故選：C

4.已知尸(X)是函數/(x)的導函數,若"x)=χ2-x?∕'⑶，則/⑴=()

A.-1B.-2C.2D.3

【正確答案】B

【分析】求導后，代入x=3可求得了'(3),從而求得了(x),代入X=I即可得到結果.

【詳解】∕,(x)=2x-Γ(3),ΛΓ(3)=6-∕r(3),解得：八3)=3,

Λ∕(X)=X2-3X,.?.∕(l)=l-3=-2.

故選：B.

5.己知S“是等差數列｛%｝的前"項和，若Sχ>=15,S60=75,則邑。=()

A.40B.45C.50D.55

【正確答案】A

【分析】根據等差數列和的性質，分析即得解.

【詳解】由等差數列的性質得：

$20,邑。-$20，SSO-SJO成等差數列,

所以2(S40-15)=15+(75-%),

解得S40=40.

故選：A

6.已知。>0,〃>0,實數。,不看功成等差數列，〃，Wy2/成等比數列，則(斗+々)的最

一為

小值為()

A.2B.4C.6D.8

【正確答案】B

【分析】根據等差數列、等比數列性質可化簡所求式子為f+^+2,利用基本不等式可求得

ba

結果.

【詳解】。,和當力成等差數列，“，％，%，6成等比數列，，王+*2="+6，My2="，

.?.α+")~=更生=上直+2=q+%2≥2?R^+2=4(當且僅當α=匕時取等號)，

yxy2abahba?ba

.?.(~+”)的最小值為4.

乂為

故選：B.

7.已知數列應｝的前八項和為S,,,4=焉，q+。向+《,+2=需，則％23=()

1Vz14?Kz?乙

A.675B.674C.1384D.2023

【正確答案】A

【分析】采用并項求和的方式，結合等差數列求和公式可求得結果.

【詳解】

‰23=a?+(%+/+。4)+(〃5+%+%)~**^(?)18+?)19+“2020)+(?02l+?022+?23)

14720202023675x(1+2023)

-------1-------H+???4F------=675.

101210121012-------101210122x1012

故選：A.

8.已知S”是數列｛〃〃｝的前〃項和，若a〃+2+ajCOS"7r=〃，S20=355,則4=()

A.OB.2C.4D.6

【正確答案】B

【分析】當〃為奇數時，利用累加法可求得a”=勺匚+卬；當”為偶數時，可求得偶數項

的和，由此得到奇數項的和，由此可構造方程求得％.

【詳解】當"為奇數時，an+2-an=n,

?,?an=(%一%-2)+(〃〃-2一4-4)+…+(〃5一%)+3-4)+4

,八/人(l+rt-2)×?-(”_[)2

=(〃-2)+(〃-4)+…+1+4=---------------------卜a∣=—―---Fcιl

當”為偶數時，all+2+aιl=n,

.?.g+α∣+4+?一+Wo=2+6+10+14+18=50,

XS20=355,/.q+%+%+…+《9=305；

(IQ2Λ

+at+?=10?,+(1+4+9+16+25+36+49+64+81)

Y+Qi+亍<4

=10?,+285=305,解得.4=2

故選：B.

二、多選題

9.下列運算錯誤的是()

AA

A.(2)'=2log2eB.(√7)(=-

2x

C.(sin1/=coslD.(Iogx)f=--—

3%In3

【正確答案】AC

【分析】利用基本初等函數的求導公式，逐項計算判斷作答.

【詳解】對于A,(2)=2Un2,A錯誤；

對于B,(?y=(x；y=L-=正，B正確；

2Ix

對于C,(sinl),=0,C錯誤；

對于D,(l0g3X)'=一二，D正確.

Xln3

故選：AC

10.設S,,為等差數列｛。“｝的削”項和，若5+l)S,<,。21>23$2022<“202352021，$2023-邑021<。，

則()

A.數列｛q｝的公差小于0

B.。2022V0

C.S,,的最小值是$2023

D.使Sf,>0成立的”的最小值是4045

【正確答案】BD

【分析】根據給定條件，結合等差數列前“項和公式及等差數列的性質，逐項計算判斷作答.

【詳解】在等差數列｛%｝中，由("+DS“<nsπtl,得("+繆+"")<"5+"+%),即

an<4+],

因此等差數列｛見｝為遞增數列，公差大于0,A錯誤;

又^2O23?22<。2023$2021'即?23(?)22-^2021)<θ，整理得。2023。2022<θ'

因此。2022<。，。2023>°，S”的最小值是S?-B正確，C錯誤；

因為

S4044=4044(%?A)=2022(6?+<?)=2022(S2023-52021)<0,

S4iw5=4045(°；+6?)=4045a2023>0,所以使S“>0成立的〃的最小值是4045,D正確.

故選：BD

II.已知數列出｝滿足4=2,a,”,,=24-l("∈N*),4=20%,%=a/"(〃eN*),數

列｛“｝的前〃項和為7.，且對V〃wN*,2(+400≥∕l”恒成立，則()

A.?=∣B,數列I-LJ為等差數列

5a?-1

C.〃=16〃D.2的最大值為225

【正確答案】BD

2a”一1

【分析】根據遞推關系式可推導得到4,知A錯誤；根據=二一可推導得到

——7=—→1,可知B正確；利用累乘法可求得"，知C錯誤；利用等差數列求和公式

1

?+l-4-1

可求得結合基本不等式可求得2的最大值，知D正確.

【詳解】對于A,由。“+4=2見-1（,”葉）得：a2ai=2at-],即2%=3,解得：?2=|；

34

a2a3=2a2-l9即耳％=2,解得：%=§；

455

a3a4=2a3-?f即§%=§，解得：4=（，A錯誤；

2a—1

對于B,由4+“=24“一1（"∈N*）得：%+ι=―-—,

L

又」7=1,數列I-J是以1為首項，1為公差的等差數列，B正確;

GTETJ

._..?1z?+1n~?^?.

對于C,由B得α：?~ny,,an~l"l=-----????+∣=------?，

-1nnn

又4=20%=20x(=25,

???,-∣.....?,A.,二〃“T32

則當〃22時,hz2x—x25=25〃，

""I勿2b?b?'n-?n—2

Λ-1n—LLI21'

?1=25滿足bn=25〃，.?.bn=25〃(〃∈N?),C錯誤;

25n+1

對于D,由C得：T11=25×(l+2+3+???+n)=^^,

由2η,+400≥2〃得：25n(H+l)+4∞>λn,:.λ<25n+^-+25,

25?+—≥2,∣25n-=200(當且僅當25〃=理，即〃=4時取等號),

n?nn

.?.∣25n+-+25I=225,則2≤225,二4的最大值為225,D正確.

n

I√min

故選：BD.

12.已知數列｛q｝是斐波那契數列，4=%=1,?÷2=?+ι+?.記S“是數列佃,｝的前"項

和，I,是數列｛“；｝的前”項和，則下列結論正確的是（）

aa

A.2023~2O12=?O24'β202lB.4+%%*^?23="2025

?23=?25—a

C.D.(O23="2023-2024

【正確答案】ACD

【分析】由平方和公式，結合已知關系式可知A正確；將B式中的《替換為的,結合已知

關系式推導可知B錯誤；由an+2-all+^a?可推導得到C正確；根據已知關系式可得

aaaaa

Ll=n+in+2-,,n+l＞加和整理即可知D正確.

a

【詳解】對于A,4+2=n+l+。〃，??“2023+。2022=?024，‰23—々2()22=々2021，

?)23-%O22=(%)23+4()22)(生023—?)22)=。2024."2021'A正確;

對于B,,ai=a2=↑,

÷Cltt++?,,+〃2023=〃2++,??+〃2023=。4+。5++',+〃2023="**=〃2022+〃2023=〃>>024，B

錯誤；

對于C,4+2=4,

lj

??S2θ23=4+%+%^----------/023=(%-%)+(%—%)+(?一。4)"1-------------^

(?025—?O24)=%025—%=%O25-??C正確；

=a=aa,

對于D，"〃+2?+l+"〃，??∕ι+ln+2~n>??+∣=。〃+1(4〃+214)=4+l°”+2—44+1，

?'?7≡3=α∣2+a2+a3+?~+?23=402+(β√?^^4%)+(α√j4_%%)+.?,+

(02023t?024^^fl2O22%O23)=4θ23t?24，Djii確.

故選：ACD.

三、填空題

13.在公差不為0的等差數列｛%｝中，S“為其前”項和，若53。=5(牝+34。+24),則正整

數4=.

【正確答案】29

【分析】利用等差數列通項公式和求和公式可直接構造等式求得Z的值.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d(d*0),

3029

由S30=5(%+3/+24*)得：30αl+^t∕?5[α,+4d+3al+27d+2q+2(Z-l)d],

即64+87d=6q+(2&+29”，.?.2k+29=87,解得.k=29

故答案為.29

14.設等差數列｛4｝滿足4=4,%=12,且4=2,?+,-bn=%(〃eN),則bm=.

【正確答案】IOloo

【分析】利用等差數列通項公式可求得公差d和”“，采用累加法可求得力,代入〃=Ioo即

可求得結果.

【詳解】設等差數列｛α,,｝的公差為d,則為=4+4d=4+4d=12,解得：d=2,

aιl=4+2(〃-l)=2"+2,則OHJ—=2"+2=2("+l),

當”22時，

b+-+-+

n=也-?-l)(?-l2-2)+(2-2—?-3)+-?+(?-?)(??)Λ

「/、/、-I〃(/7+1)/、

=2[H+(∕7-∣)+(W-2)H----ι-2j+2=2×----=n(∕7÷l),

又4=2滿足％="(∕2+l),???2=*"+D02∈N*),

Λ?100=100x101=10100.

故答案為.ιoιoo

15.若曲線y="e、與曲線y=√7在公共點處有相同的切線，則實數。=.

【正確答案】叵

2e

【分析】令/(x)=αe',g(x)=√L公共點為(七,%),結合導數幾何意義可構造方程組

∕,(?)=^,(?)

由此可解得吃,進而求得。的值.

/(?)=^(?)

【詳解】令"x)=4e*,g(x)=G,則r(x)="e',g，(X)=^；

設F(X)與g(x)的公共點為(Xo，%)，

與g(x)在公動點處有相同的切線，

(-X1

,,ae"1

,∕(?)=^(?)0π"TTT--AT的徂?

?∩?/、I\,即V4∕ΛO,??/--vxo,解得：X=->

/(?)=?(?)*L2o√?02

aex°=JXo

?√2Λ,z_√2√2e

.?.αe-=----，解2得a?Ci=—產=-----

22√e2e

故答案為.叵

2e

16.某集團第一年年初給下屬企業甲制造廠投入生產資金4000萬元，到年底資金增長了

40%,以后每年資金年增長率與第一年相同.集團要求甲制造廠從投入生產資金開始，每年

年底上繳資金800萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第〃年年底甲制造廠上繳資金

后的剩余資金為。“萬元，若4≥16000,則正整數2的最小值為.(取

lg7≈0.845,ig5≈0.699)

【正確答案】6

【分析】根據。“與4τ的關系可推導證得數列。-200。｝為等比數列，利用等比數列通項公式

可得〃“，進而解不等式可求得女的范圍.

【詳解】由題意知：4=4000x(1+40%)—800=4800：

7

當“≥2時，α,,=(l+40%)?-,-8∞=-an,l-800,

7

.?.an-2000=-2000),又α∣-2000=2800,

7

.?.數列U-2000｝是以2800為首項，y為公比的等比數列,

二4-2000=2800XG),則為=2800x(q)+2000,

令&=2800x(3+2000≥16000,則［?)≥5,

0.699

.?k-?≥Iog5=—————≈a48,解得:?≥5.8,

?7Ig7-lg50.845-0.699

???正整數2的最小值為6.

故答案為.6

四、解答題

17.已知等差數列｛叫的前W項和為S“，4=13,S7=13a,.

⑴求數列｛叫的通項公式；

(2)求證：｛后西｝是等差數列.

【正確答案】(IM=2〃+5

(2)證明見詳解

【分析】(1)根據題意列方程組，從而解得％,d,進而即可得到數列｛%｝的通項公式;

(2)結合(1)可得到｛、斤§｝的通項公式，進而即可證明其為等差數列.

【詳解】(1)設等差數列｛%｝的公差為止

7×6

由4=13,S7=i34,得α∣+3d=13,7tz1+—^―J=13tz1,解得4=7,d=2,

所以%=q+5-l)d=2"+5.

(2)結合(1)可得Sn=叫+Dd=力2++6月,

所以JS〃+9=√n2÷6π+9=〃+3,

故=I+3=4,√5π+,÷9-√S^？9=(n+4)-(H+3)=l,

所以數列｛、降百｝是以4為首項，以1為公差的等差數列.

18.已知數列｛4｝是由正數組成的等比數列，且%=256,ai+a4=20a2.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)設數列也｝滿足2=an+Iog2a,,求數列也｝的前n項和.

【正確答案】⑴q=4"T

【分析】(1)根據等比數列通項得q/+qq3=20a“，解出q,《的值，即可得出其通項;

(2)btt=4"-'+2n-2,分組求和即可.

【詳解】(1)設等比數列｛4｝的公比為q(4>0),

2

由%+a4=20a2,得atcj+*=20alq,

｛4｝是由正數組成的等比數列，則q>0,q>0,

貝∣J∕+g-20=0,解得4=4或q=-5(舍)，

又4=256,

所以勾/=256,解得q=l,

所以勺=q∕τ=4"τ.

,

(2)bn=al,+Iog2an=4-'+log24"∣=4"-'+2n-2,

所以7；=(1+0)+(4+2)+(16+4)++(4,,^l+2n-2)

=(1+4+16++4"T)+(0+2+4++2Π-2)

n

]>(>4")77(0+2/7-2)41

1-4+2^T-n——

3

19.已知各項均不為O的數列｛%｝滿足4=1,4-4“=44…

(I)求證：數列為等差數列，并求數列｛4｝的通項公式;

⑵設Sn為數歹U｝的前"項和，求證.Sn<1

【正確答案】（1）證明見解析，a,,=--

n

（2）證明見解析.

【分析】（1）利用給定的遞推公式，變形推理即可，再求出通項公式作答.

（2）由（1）結合裂項相消法求和即可作答.

【詳解】（1）因為數列｛可｝的各項均不為0,則4,必產0,

1I1

將4-q+∣=44+∣兩邊同時除以44+1，得1-；=1，又7=1，

4+1ana?

11

因此數歹!!｛f—｝1是以1為首項，1為公差的等差數列，則一=〃，

anan

所以數列｛4｝的通項公式是anΛ.

所以S,<l.

20.在數列｛。“｝中，4=6,（2〃—l）a“=（4"+2）α,τ,“≥2且"eN*.

⑴設H=善匕,證明：也｝是等比數列；

2n+1

（2）設7；為數列｛?｝的前n項和，是否存在互不相等的正整數機,〃/滿足2〃=加+1,且1-2,

Tn-2,4-2成等比數列?若存在，求出所有滿足要求的八的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）利用已知遞推關系式可推導得到a=2勾」,由此可得結論;

（2）假設存在滿足題意的孫〃"，由等比數列定義可構造方程，結合2〃=加+r可化簡整理

得到m=，，由此可得結論.

【詳解】(1)當〃22時，

2n-l

由(2〃T)/=(4〃+2)a,i得：-?=∣^-,即2=2"τ,

又4=1=2,數列也｝是以2為首項，2為公比的等比數列.

(2)由(1)得:H=-^=2",.?.4,,=(2"+l)?2",

2〃+1

.口=3X2∣+5*22+7X23+???+(2"-1)?2"T+(2"+1)?2",

2^=3×22+5×23+7×24+-+(2n-l)?2,'+(2n+l)?2,,+l,

.?.-7；=6-(2"+1)?2"+∣+2'+2'+…+2"+'=6-(2M+1)?2n+'+?)

=6-(2Π+1)?2,,+'+2H+2-8=-2+(1-2Λ)?2W+',

/.7；,=(2∕J-1)?2,,+1+2;

假設存在互不相等的正整數機，〃"滿足2〃=m+f,且，-2,Tn-2,1-2成等比數列，則

(2n-l)2?22"+2=(2m-l)?2n,+*?(2?-l)?2,+l,

即(2"-1)2?22n+2=(2w-l)(2f-l)?2m+,+2,又2〃=加+1,

.?.(∕n+f-l)2=(2∕n-l)(2r-l),整理可得：(∕zz-r)2=O,

即MZ=與初〃,f互不相等矛盾,

二不存在互不相等的正整數機,"J滿足2〃=m+/,且l,,-2,Tn-2,Z-2成等比數列.

21.已知無窮等差數列和也｝中，ai=bl=l,b3=a3+l,a5+b5=22.

⑴求｛%｝和也｝的通項