試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數學典例真題匯編（新高考模式訓練）50姓名：___________班級：___________一．單選題1．【2022-全國II卷數學高考真題】（）A. B. C. D.2．【2021-新高考Ⅰ卷】已知，則（）A. B. C. D.3．【2023-全國數學乙卷（文）高考真題】如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.304．【2022-全國甲卷數學高考真題】當時，函數取得最大值，則（）A. B. C. D.15．【2023-全國數學甲卷（文）高考真題】執行下邊的程序框圖，則輸出的（）A21 B.34 C.55 D.896．【2022-全國II卷數學高考真題】正三棱臺高為1，上下底邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.7．【2021-全國甲卷（理）】為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間8．【2021-全國甲卷（理）】已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.二．多選題9．【2021-新高考Ⅰ卷】有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同B.兩組樣本數據的樣本中位數相同C.兩組樣本數據的樣本標準差相同D.兩組樣數據的樣本極差相同10．【2021-全國新高II卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A. B.C. D.11．【2021-全國新高II卷】設正整數，其中，記．則（）A. B.C. D.三．填空題12．【2021-全國新高II卷】已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________13．【2022-北京數學高考真題】若函數的一個零點為，則________；________．14．【2022-天津數學高考真題】已知是虛數單位，化簡的結果為_______．四．解答題15．【2022-北京數學高考真題】在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．16．【2021-北京數學高考真題】已知正方體，點為中點，直線交平面于點．（1）證明：點為的中點；（2）若點為棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．17．【2023-新課標全國Ⅰ卷真題】已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．18．【2022-北京數學高考真題】已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，討論函數在上的單調性；（3）證明：對任意的，有．19．【2022-浙江卷數學高考真題】設函數．（1）求的單調區間；（2）已知，曲線上不同三點處的切線都經過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數的底數）答案第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國高考數學典例真題匯編（新高考模式訓練）50【參考答案】1．答案:D解析：，故選：D.2．答案:C解析：因為，故，故故選：C.3．答案:D解析：如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4．答案:B解析：因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.5．答案:B解析：當時，判斷框條件滿足，第一次執行循環體，，，；當時，判斷框條件滿足，第二次執行循環體，，，；當時，判斷框條件滿足，第三次執行循環體，，，；當時，判斷框條件不滿足，跳出循環體，輸出．故選：B.6．答案:A解析：設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．7．答案:C解析：因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為,故A正確；該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為,故B正確；該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結論中不正確的是C.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.8．答案:A解析：，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.9．答案:CD解析：A：且，故平均數不相同，錯誤；B：若第一組中位數為，則第二組的中位數為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10．答案:BC解析：設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11．答案:ACD解析：對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.12．答案:解析：因為雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的應用及漸近線的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎題.13．答案:①.1②.解析：∵，∴∴故答案為：1，

14．答案:##解析：．故答案為：．

15．答案:（1）（2）解析：（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【小問1詳解】解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.16．答案:（1）證明見解析；（2）．解析：(2)建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應平面的法向量，然后解方程即可求得實數的值.(1)如圖所示，取的中點，連結，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據此可得：直線交平面于點，當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，設，則：，從而：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關系和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.17．答案:（1）答案見解析（2）證明見解析解析：（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數，利用導數證得即可.方法二：構造函數，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.【小問1詳解】因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.18．答案:（1）（2）在上單調遞增.（3）證明見解析解析：（2）在求一次導數無法判斷的情況下，構造新的函數，再求一次導數，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞）上單調遞增，即得證.【小問1詳解】解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：【小問2詳解】解：因為，所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.【小問3詳解】解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調遞增，∴，∴∴在上單調遞增，又因為，∴，所以命題得證.19．答案:（1）的減區間為，增區間為.（2）（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.解析：（2）（ⅰ）由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設不等式可轉化為，結合零點滿足的方程進一步轉化為，利用導數可證該不等式成立.【小問1詳解】，當，；當，，故的減區間為，的增區間為.【小問2詳解】（ⅰ）因為過有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，，故在上為減函數，在上為增函數，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數，故，故.（ⅱ）當時，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數，在上為