第1頁/共1頁2023北京重點校初二（上）期末數學匯編等腰三角形與直角三角形一、單選題1．（2023秋·北京西城·八年級統考期末）如圖，在中，，的度數為α．點P在邊上（點P不與點B，點C重合），作于點D，連接，取上一點E，使得，連接，并延長交于點F之后，有．若記的度數為x，則下列關于的表達式正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·北京東城·八年級統考期末）生物小組的同學想用18米長的籬笆圍成一個等腰三角形區域作為苗圃，如果苗圃的一邊長是4米，那么苗圃的另外兩邊長分別是（

）A．4米，4米 B．4米，10米C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米3．（2023秋·北京密云·八年級統考期末）如圖，在中，，以的一邊為腰畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多是(

)A．3個 B．4個 C．6個 D．7個二、填空題4．（2023秋·北京西城·八年級統考期末）如圖，在中，，于點D，于點C，．點E，點F分別在線段上，，連接．（1）圖中與相等的線段是_______；（2）當取最小值時________°5．（2023秋·北京東城·八年級統考期末）如圖，在中，，，平分交于點D，點E為的中點，連接．則的度數是______．6．（2023秋·北京東城·八年級統考期末）如圖，在中，，，平分交于點D，點E為的中點，連接．則的度數是___________．7．（2023秋·北京密云·八年級統考期末）如圖，中，．在上截取，作的平分線與相交于點P，連接．若的面積為，則的面積為_________．8．（2023秋·北京密云·八年級統考期末）等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則第三邊長為______三、解答題9．（2023秋·北京通州·八年級統考期末）如圖中，，，D是邊上一點，連接，垂足為點C，且，交線段于點F．(1)在圖1中畫出符合題意的圖形，并證明；(2)當時，求證：平分．10．（2023秋·北京西城·八年級統考期末）在中，，在上截取，連接．在的外部作，且交的延長線于點E．(1)作圖與探究：①小明畫出圖1并猜想．同學小亮說“要讓你這個結論成立，需要增加條件：_______°．”請寫出小亮所說的條件；②小明重新畫出圖2并猜想．他證明的簡要過程如下：請你判斷小明的證明是否正確并說明理由；(2)證明與拓展：①借助小明畫出的圖2證明；②延長到F，使，連結．補全圖形，猜想與的數量關系并加以證明．11．（2023秋·北京東城·八年級統考期末）如圖，在．(1)求證：；(2)分別以點A，C為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在的左側），連接．求的面積．12．（2023秋·北京密云·八年級統考期末）如圖，在中，，，與的角平分線、分別交邊于點D和點E．(1)求證：是等腰三角形；(2)用等式表示線段之間的數量關系，并證明．

參考答案1．B【分析】由等腰三角形的性質求出，由三角形外角的性質可求，由平角的定義即可求出．【詳解】∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴．故選：B．【點睛】此題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．2．C【分析】根據米分別為底和腰進行分類討論，綜合利用三角形的三邊關系分析求解即可．【詳解】解：當米為底時，腰長為米，另兩邊為7米、7米，，符合三角形三邊關系，能組成三角形；當米為腰時，底邊為，另兩邊為4米、10米，，不符合三角形三邊關系，故不能組成三角形．∴另兩邊為7米、7米．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義及三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．3．C【分析】根據等腰三角形的定義，分別以三個頂點為等腰三角形的頂點可以畫出4個等腰三角形，分別以三條邊等腰三角形的底邊可以作出3個等腰三角形，最多可以作出7個不同的等腰三角形【詳解】①以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，是等腰三角形，②以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，就是等腰三角形；③以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，就是等腰三角形，交于點,是等腰三角形；；④作的垂直平分線交于點，就是等腰三角形；⑤作的垂直平分線交于，則是等腰三角形；⑥作的垂直平分線交于，則和都是等腰三角形，此情形點與點重合與④的情形重合，共計2個等腰三角形．綜上所述，最多有7個等腰三角形．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，分類討論是解題的關鍵．4．/95【分析】（1）根據平行線的判定與性質及三角形內角和定理得出，再由全等三角形的判定和性質即可得出結果；（2）根據兩點之間線段最短得出當和共線時，和最小，如下圖，此時與交于點，利用等邊對等角及三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：（1），∴，∵于點D，于點C，∴，，∵∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴當和共線時，和最小，如下圖，此時與交于點，∵∴，∴故答案為：95．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理及等邊對等角，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．5．【分析】根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到，然后利用平分交于點D求得的度數，利用三角形的內角和求得的度數即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，解題的關鍵是了解等腰三角形的等邊對等角的性質，難度不大．6．54/度【分析】先求出，再求出，接著利用等角對等邊和等腰三角形的性質得到，利用直角三角形兩個銳角互余求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵點E為的中點，∴是的中線，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，直角三角形的性質，三角形的內角和定理等知識，解題關鍵是牢記以上概念并靈活應用．7．4【分析】根據等腰三角形三線合一的性質即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，∴．∵，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查等腰三角形的性質．掌握等腰三角形“三線合一”是解答本題的關鍵．8．9【詳解】解：∵等腰三角形的兩邊長分別為4和9，∴分兩種情況：（1）腰長為4，底邊為9，但是4+4＜9，所以不能組成三角形，（2）腰長為9，底邊為4，符合題意，所以第三邊長為9.故答案為：99．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據題意畫出圖形，證明，即可得出；（2）根據得出，根據，得出，根據平行線的判定和性質，證明，得出，從而證明，得出，證明，根據等腰三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖，在和中，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴平分．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，三角形全等的判定和性質，余角的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，熟練掌握直角三角形全等判定方法，證明．10．(1)①36；②不正確，理由見解析(2)①見解析；②，證明跟圖形見解析【分析】（1）①增加，證明，即可證明結論成立；②他證明時所使用的中的三個條件“，，”不是“兩角和它們的夾邊”的關系，不能使用“”來證明；（2）①根據等腰三角形的性質和三角形的外角性質即可解決問題；②根據題意可補全圖形；作于點G，證明，可得到，然后利用線段的和與差以及等腰三角形的性質即可解決問題．【詳解】（1）解：①增加，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故增加時，成立，故答案為：36；②小明的證明不正確．他證明時所使用的中的三個條件“，，”不是“兩角和它們的夾邊”的關系，不能使用“”來證明；（2）①證明：如圖．∵，∴．∵，，，∴．∴．②補全圖形見圖．．證明：作于點G，如圖．∵，∴，即．∵，∴．在與中，，∴．∴．①∵，于點G，∴．∵，∴，即．又∵于點G，∴．∴．②由①②得，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，等腰三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．(1)見解析(2)16【分析】（1）利用等腰三角形的性質可得，然后利用三角形內角和定理求出，即可解答；（2）過點D作，交的延長線于點E，根據題意可得，從而可得是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質可得，從而利用平角定義可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性質可得，從而利用三角形的面積進行計算即可解答.【詳解】（1）在中，∵,∴.∵,∴.∴；（2）過點D作的延長線于點E，由作圖得，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，在中，∵,,∴，∴的面積．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．12．(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）利用三角形內角和，角平分線的定義得出，進而得出，即可得出結論；（2）延長至F，使，連接，利用