湖南省張家界市市國光實驗學校2022年高二數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.利用斜二測畫法畫邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】斜二測法畫直觀圖．【專題】作圖題；對應思想；數形結合法；空間位置關系與距離．【分析】根據斜二測畫法法則，即可得出滿足條件的直觀圖形．【解答】解：根據斜二測畫法，∠x′O′y′=45°（或135°），平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半，且平行性不變；滿足條件的直觀圖形是B．故選：B．【點評】本題考查了斜二測畫法畫幾何圖形的直觀圖問題，斜二測畫法的三條性質是：①∠x′O′y′=45°（或135°），②與x軸、y軸平行性不變，③長度變化（與x軸平行的線段長度不變，與y軸平行的線段的長度減半）．2.在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，BC=2，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積的最小值為（）A．13π B．14π C．15π D．16π參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【分析】由題意，求出△ABC外接圓半徑的最小值，即可求出三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積的最小值．【解答】解：由題意，求出△ABC外接圓半徑的最小值，即可，由2r=，可得r的最小值為1，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑的最小值為2，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積的最小值為4π?22=16π，故選D．【點評】本題考查三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積的最小值，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．3.在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數是（

）

A.－5

B.

5

C.10

D.－10參考答案：C由通項公式可得在的展開式中,

含的項的系數是,

所以C選項是正確的.4.已知θ∈R，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.下列命題是真命題的是（

）A．“若，則”的逆命題；

B．“若，則”的否命題；C．“若，則”的逆否命題；

D．“若，則”的逆否命題參考答案：D略6.等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若=，則=（）A．B．C．D．參考答案：B略7.已知等比數列{an}的前三項依次為a﹣2，a+2，a+8，則an=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】等比數列的性質；等比數列的通項公式．【專題】計算題．【分析】由已知等比數列的前三項，根據等比數列的性質列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出等比數列的前三項，進而得到此等比數列的首項和公比，根據首項與公比寫出通項公式即可．【解答】解：∵a﹣2，a+2，a+8為等比數列{an}的前三項，∴（a+2）2=（a﹣2）（a+8），即a2+4a+4=a2+6a﹣16，解得：a=10，∴等比數列{an}的前三項依次為8，12，18，即等比數列的首項為8，公比為=，則此等比數列的通項公式an=．故選C【點評】此題考查了等比數列的性質，以及等比數列的通項公式，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．8.函數的單調遞增區間是（

）A.

B.

C.和

D.參考答案：D9.已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，?=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(

)A．2 B．3 C． D．參考答案：B【考點】直線與圓錐曲線的關系．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】可先設直線方程和點的坐標，聯立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及?=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．【解答】解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB與x軸的交點為M（m，0），由?y2﹣ty﹣m=0，根據韋達定理有y1?y2=﹣m，∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，結合及，得，∵點A，B位于x軸的兩側，∴y1?y2=﹣2，故m=2．不妨令點A在x軸上方，則y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==×2×（y1﹣y2）+×y1，=．當且僅當，即時，取“=”號，∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，故選B．【點評】求解本題時，應考慮以下幾個要點：1、聯立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據圖形的特征選擇適當的底與高．3、利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”．10.已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,且其漸近線的方程為，則該雙曲線的標準方程為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為。如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是=________.參考答案：ks5略12.關于函數，有下列命題：①函數y=的圖像關于y軸對稱；②當x>0時是增函數，當x<0時是減函數；③函數的最小值是lg2；

④當x>1，時沒有反函數。其中正確命題的序號是

（注：把你認為正確的序號都填上）.參考答案：①③略13.半徑為R的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______參考答案：【分析】設圓錐的底面半徑為，高為，可得，構造關于圓錐體積的函數，可得，利用導數可求得最大值.【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調遞增，在上單調遞減本題正確結果：【點睛】本題考查圓錐體積最值的求解，關鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構造為關于圓錐的高的函數，從而可利用導數求解得到函數的最值.14.如果實數x、y滿足等式，那么的最大值是____▲____.參考答案：略15.已知復數表示z的共軛復數，則=____________.參考答案：7+i.略16.若復數z滿足，則=．參考答案：【考點】A5：復數代數形式的乘除運算；A8：復數求模．【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案為：．17.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=．參考答案：【考點】HP：正弦定理；GL：三角函數中的恒等變換應用．【分析】根據正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導公式計算即可【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ax3+x2a∈R.在x=－處取得極值.（I）確定a的值；（II）若g（x）=f（x）·ex，討論g（x）的單調性.參考答案：（I）對f（x）求導得f'（x）=3ax2+ax，因為f（x）在x=－處取得極值，所以f'（－）=0，即3a·+2·（－）=－=0，解得a=.（II）由（I）得g（x）=（）ex，故g'（x）=（）ex+（）ex＝（）ex=x（x+1）（x+4）ex.令g'（x）=0，解得x=0，x=－1或x=－4.當x<－4時，g'（x）<0，故g（x）為減函數；當－4<x<－1時，g'（x）>0，故g（x）為增函數；當－1<x<0時，g'（x）<0，故g（x）為減函數；當x>0時，g'（x）>0，故g（x）為增函數.綜上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）內為減函數，在（－4，－1）和（0，+∞）內為增函數.19.已知函數(Ⅰ)當時，求f(x)的極值；(Ⅱ)若f(x)在區間上是增函數，求實數a的取值范圍。參考答案：(Ⅰ)極小值，無極大值（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)將代入原函數，再對求導，用導數的方法判斷的單調性，進而可得出其極值；(Ⅱ)先對求導，根據題意得到在恒成立；分離參數得到在恒成立，再設，只需用導數的方法求出在上的最大值即可.【詳解】解：（I）當時，，，令，有隨的變化情況如下表：極小

由上表易知，函數在時取得極小值，無極大值；（II）由，有，由題設在區間上是增函數，可知在恒成立；故在恒成立，設，則只需，，令，有，隨的變化情況如下表：

極小

又，，故，故實數的取值范圍為。【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，用導數的方法研究函數單調性、極值、最值等，屬于常考題型.20.為了鞏固全國文明城市創建成果，今年吉安市開展了拆除違章搭建鐵皮棚專項整治行為.為了了解市民對此項工作的“支持”與“反對”態度，隨機從存在違章搭建的戶主中抽取了男性、女性共100名進行調查，調查結果如下：

支持反對合計男性351550女性302050合計6535100（1）根據以上數據，判斷是否有90%的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與“性別”有關；（2）現從參與調查的女戶主中按此項工作的“支持”與“反對”態度用分層抽樣的方法抽取5人，從抽取的5人中再隨機地抽取3人贈送小禮品，記這3人中持“支持”態度的有人，求的分布列與數學期望.參考公式：，其中.參考數據：0.100.050.012.7063.8416.635參考答案：解：（1），∴沒有的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與性別有關.（2）依題意可知，抽取的名女戶主中，持“支持”態度的有人，持反對態度的有人，的所有可能取值為，，，，，，∴的分布列為：123∴.

21.以下莖葉圖記錄了甲，乙兩組各四名同學的植樹棵數.乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示（1）如果，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；（2）如果，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率.（注：方差，其中為，，……，的平均數）參考答案：（1）當時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是，