第一章函數和極限

§1.1函數

CONTENT1函數2初等函數3三角函數目錄4反三角函數5區間函數Chapter1前言

宇宙間的一切事物都在不斷地變化,變化是絕對的,不變是相對的。在我們的日常生活中,我們會遇到各種各樣的量,比如溫度、產量、面積等,這些量是變化的,而相對的一些量是不變的。我們稱變化著的量為變量,相對不變的量為常量。自變量因變量1、函數的概念定義1設x,y是兩個變量,D是一個給定的非空數集.如果對于每個數,變量y按照一定法則總有確定的數值和它對應,那么稱y是x的函數,記作其中,x稱為自變量,y稱為因變量.f是函數符號,它表示x與y的對應法則.數集D稱為這個函數的定義域,也記為Df,即.1、函數的概念

對

,按照對應法則

f,

總有確定的值

y0(記為f(x0))與之對應,稱

f(x0)為函數在點

x0處的函數值.因變量與自變量的這種相依關系通常稱為函數關系.

當自變量x取遍D的所有數值時,對應的函數值

f(x)的全體構成的集合稱為函數

f的值域,記為Rf或

f(D),即1、函數的概念注：構成函數的要素為：定義域與對應法則.它們的定義域和對應法則均相等.定義域的確定：(1)對實際問題,根據問題的實際意義確定；(2)對抽象函數表達式,約定:定義域是使算式有意義的一切實數組成的集合.例如兩函數相等1、函數的概念例1判斷下列函數是否相同.解

(1)

的定義域為

所以的定義域為1、函數的概念例1判斷下列函數是否相同.解

(2)

對應法則不同

所以1、函數的概念顯函數：函數

y由

x的解析表達式直接表示.例如：隱函數：函數的自變量

x與因變量

y的對應關系由方程

來確定.例如：分段函數：函數在其定義域的不同范圍內,具有不同的解析表達式.1、函數的概念例2

絕對值函數的定義域,值域.例3符號函數的定義域,值域.1、函數的概念例4

取整函數,其中[x]表示不超過x的最大整數.例如,取整函數的定義域,值域.2、函數的幾何特性（1）.函數的有界性

定義2

設函數f(x)的定義域為D,數集,若存在一個正數M,使得對一切,恒有,則稱函數f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的有界函數.函數的界2、函數的幾何特性注：定義中的正數M不存在,則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數.結論：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.幾何意義：曲線

y=f(x)的圖像在區間D內被限制在y=-M和

y=M兩條直線之間.2、函數的幾何特性注：(1)若函數在某區間內有界,則正數M的取值不唯一.例如：在內有界,我們也可以取M=2.(2)有界性與區間有關.例如：在區間

(1,2)內有界,但在區間

(0,1)內無界.2、函數的幾何特性（2）.函數的單調性

定義3

設x1和x2為區間(a,b)內的任意兩個數,若當x1<x2時函數值,則稱函數f(x)在區間(a,b)內單調增加或遞增(如圖1所示);若當x1<x2時有,則稱函數f(x)在區間(a,b)內單調減少或遞減(如圖2所示).例

討論函數的單調性.解函數的定義域為任取且則即所以,f(x)在區間內是單調增加的.單調增加或單調減少的函數,統稱為單調函數.相應的區間稱為函數的單調區間.2、函數的幾何特性2、函數的幾何特性（3）.函數的奇偶性

定義4

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,若對任意的,恒有,則稱f(x)為奇函數；若對任意的,有,則稱f(x)為偶函數.注：偶函數的圖形關于y軸對稱(如圖a);奇函數的圖形關于原點對稱(如圖b).2、函數的幾何特性例如

函數

是奇函數,函數

是偶函數,而函數

既不是奇函數又不是偶函數.例5

判斷函數

的奇偶性.解

因為函數的定義域為,且所以f(x)為奇函數.2、函數的幾何特性（4）.函數的周期性

定義5

設函數f(x)的定義域為D,若存在常數T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數,滿足上式的最小正數

T稱為f(x)的周期.注：若f(x)是周期為T的周期函數,則在長度為T的兩個相鄰的區間上,其函數圖形的形狀相同.

2、函數的幾何特性（4）.函數的周期性

定義5

設函數f(x)的定義域為D,若存在常數T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數,滿足上式的最小正數

T稱為f(x)的周期.例如三角函數

sinx與cosx均是R上的周期函數,周期均為

.

tanx是周期為

的周期函數.初等函數Chapter2第一部分：反函數定義6

設函數

y=f(x)的定義域為D,值域為Rf,對任一,都有唯一確定的

與之對應,且滿足

f(x)=y,則x是定義在Rf上,以y為自變量的函數,稱為函數

y=f(x)的反函數,記為2.通常將反函數記作

;4.函數與其反函數的圖像關于直線

y=x對稱;5.單調函數一定存在反函數.注：1.與互為反函數;3.的定義域與值域分別為

y=f(x)的值域與定義域;

函數與其反函數第一部分：反函數

反函數的圖像:

的圖像關于直線

y=x對稱.

定義域為D,值域為Rf

第一部分：反函數

求反函數的步驟：解出,交換x和y反函數.

第一部分：反函數例7求函數的反函數.解

的定義域為

值域為交換x和y,得反函數第二部分：基本初等函數常值函數:

定義域：函數圖像：與x軸平行或重合.基本初等函數包括:

常值函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數.第二部分：基本初等函數冪函數:

定義域：(為實數)當取不同值時,定義域也不同.1.當時,函數圖像：過原點(0,0)和(1,1),在內單調增加且無界.2.當時,函數圖像：單調減少且無界,曲線以x軸和y軸過點(1,1),在內為漸近線.第二部分：基本初等函數指數函數:

定義域：(a為常數)1.當時,函數圖像:在x軸上方,且過點(0,1).函數單調增加且無界,值域：x軸的負半軸是曲線的漸近線.2.當時,函數單調減少且無界,x軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數對數函數:

定義域：(a為常數)1.當時,函數圖像:在y軸右方,且過點(1,0).函數單調增加且無界,值域：y軸的負半軸是曲線的漸近線.2.當時,函數單調減少且無界,y軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數指數函數與對數函數互為反函數.由指數函數和對數函數的圖像可知,定義域：值域：交換x和y,得反函數第二部分：基本初等函數正弦函數:

定義域：三角函數包括:

值域：函數是以為周期的周期函數,是奇函數,也是有界函數.第二部分：基本初等函數余弦函數:

定義域：值域：函數是以為周期的周期函數,是偶函數,也是有界函數.注:

正弦函數的圖像沿x軸向左平移,即得余弦函數的圖像.正割函數:

余割函數:

第二部分：基本初等函數正切函數:

函數是奇函數,并以為周期,

在內單調增加,直線為其漸近線.定義域：值域：第二部分：基本初等函數余切函數:

值域：函數是奇函數,并以為周期,

在內單調減少,直線為其漸近線.定義域：第二部分：基本初等函數

對于值域中的任何

y值,三角函數的自變量

x均有無窮多個值與之對應,因此在整個定義域上所有三角函數都不存在反函數.注：只有限制

x的取值范圍后,才能考慮其反函數.

第二部分：基本初等函數反正弦函數:

定義域：反三角函數包括:

值域：函數圖像:是單調增加的奇函數.反正弦函數是正弦函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反余弦函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調減少的非奇非偶函數.反余弦函數是余弦函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反正切函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調增加的奇函數.反正切函數是正切函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反余切函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調減少的非奇非偶函數.反余切函數是余切函數在主值區間上的反函數.第三部分：復合函數定義7

設函數

y=f(u)的定義域為Df,而函數u=g(x)的值域為Rg,若,則稱函數

y=f[g(x)]為函數

y=f(u)和u=g(x)的復合函數,其中,x稱為自變量,y稱為因變量,u稱為中間變量.(2)復合函數還可以由兩個以上的函數復合而成,即中間變量可以有多個.注:(1)只有當

時,兩個函數才可以構成一個復合函數.第三部分：復合函數例10

第四部分：初等函數定義8由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合,并在定義域內由一個解析式表示的函數,稱為初等函數.例如

都是初等函數.第四部分：初等函數形如

的函數,稱為冪指函數,其中f(x)和g(x)均為初等函數,且

f(x)>0,由恒等式

可知,冪指函數為初等函數.例如

1.等都是冪指函數,因此都是初等函數.2.分段函數一般不是初等函數.三角函數Chapter3*第一部分：三角函數三角函數公式正弦函數余弦函數正切函數余切函數正割函數余割函數第二部分：三角函數常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函數常用公式常用公式：

5.和差化積：

反三角函數Chapter4*第一部分：反三角函數反三角函數公式反正弦函數反余弦函數反正切函數反余切函數限制三角函數x的取值區間,使其在所選區間上為單調函數,則存在三角函數的反函數,即反三角函