遼寧省沈陽市永泰中學2022年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等比數列中，已知，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.若復數（i為虛數單位），則|z|=（）A． B． C． D．參考答案：D【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算．【解答】解：∵=，∴．故選：D．3.已知不等式成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是()A.(－∞,]B.[,+∞)

C.[,]

D.[,]參考答案：D4.下列函數中，滿足“”的單調遞增函數是（

） （A）（B）

（C）

（D） 參考答案：A5.長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，若在側棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，則側棱AA1的長的最小值（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點】棱柱的結構特征．【分析】設側棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+4=0，由此利用根的判別式能求出側棱AA1的長的最小值．【解答】解：設側棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴8+t2+4+（x﹣t）2=4+x2，整理，得：t2﹣xt+4=0，∵在側棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣16≥0，解得x≥4．或x≤﹣4（舍）．∴側棱AA1的長的最小值為4．故選：B．6.已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據，可以把不等式變形為：構造函數，知道函數的單調性，進而利用導數，可以求出實數的取值范圍.【詳解】因為，所以，設函數，于是有，而，說明函數當時，是單調遞增函數，因為，所以，，因此當時，恒成立，即，當時恒成立，設，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數有最小值，即為，因此不等式，當時恒成立，只需，故本題選A.【點睛】本題考查了通過構造函數，得知函數的單調性，利用導數求參問題，合理的恒等變形是解題的關鍵.7.已知f(x)＝，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是參考答案：C因為函數f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，又故選C.8.兩直線3x+y﹣3=0與3x+my+=0平行，則它們之間的距離是（）A．4 B． C． D．參考答案：D【考點】兩條平行直線間的距離．【分析】根據兩條直線平行的條件，解出m=1，利用兩條平行直線間的距離公式加以計算，可得答案．【解答】解：∵直線3x+y﹣3=0與3x+my+=0平行，∴m=1．因此，直線3x+y﹣3=0與3x+y+=0之間的距離為d==，故選：D．9.設命題，；命題：若，則方程表示焦點在軸上的橢圓．那么，下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.已知i是虛數單位，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】A5：復數代數形式的乘除運算；A4：復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡復數，求出在復平面內對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：由=，則復數在復平面內對應的點的坐標為：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故選：C．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點在直線上，若在圓上存在兩點，，使，則點的橫坐標的取值范圍是__________．參考答案：根據題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線為切線時才是最大的角，此時的長度為，故問題轉化為在直線上找到一點，便它到點的距離為．設，則：，解得或，故點的橫坐標的取值范圍是：．12.已知函數f（x）=（）x2+4x+3，g（x）=x++t，若?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實數t的取值范圍是．參考答案：

【考點】函數的最值及其幾何意義；全稱命題．【分析】函數f（x）=（）x2+4x+3=，利用復合函數、指數函數與二次函數的單調性可得最大值．g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，利用導數研究其單調性即可得出最大值．根據?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），可得g（x）max≥f（x）max，即可得出．【解答】解：函數f（x）=（）x2+4x+3=，∵x∈R，∴u（x）=（x+2）2﹣1≥﹣1，∴f（x）∈（0，2]．∵g（x）=x++t，g′（x）=1﹣=，∴當x∈[1，3]時，g′（x）≥0，∴函數g（x）在x∈[1，3]時的單調遞增，∴g（x）max=g（3）=+t．?x1∈R，?x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），∴g（x）max≥f（x）max，∴+t≥2，解得．則實數t的取值范圍是．故答案為：．13.已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是

。參考答案：214.在平面直角坐標系中，動點P(x，y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離，記點P的軌跡為曲線W，給出下列四個結論：①曲線W關于原點對稱；②曲線W關于直線y＝x對稱；③曲線W與x軸非負半軸，y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于；④曲線W上的點到原點距離的最小值為其中，所有正確結論的序號是________；參考答案：②③④

15.由下列各式：

……請你歸納出一個最貼切的一般性結論:

參考答案：16.如圖，在扇形OAB中，，C為弧AB上的一個動點．若，則的取值范圍是

．參考答案：17.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是________．參考答案：[-]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知命題p：點M（1，3）不在圓（x+m）2+（y﹣m）2=16的內部，命題q：“曲線表示焦點在x軸上的橢圓”，命題s：“曲線表示雙曲線”．（1）若“p且q”是真命題，求m的取值范圍；（2）若q是s的必要不充分條件，求t的取值范圍．參考答案：【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復合命題的真假．【專題】計算題；對應思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】（1）分別求出p，q為真時的m的范圍，根據“p且q”是真命題，得到關于m的不等式組，解出即可；（2）先求出s為真時的m的范圍，結合q是s的必要不充分條件，得到關于t的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）若p為真：（1+m）2+（3﹣m）2≥16解得m≤﹣1或m≥3，若q為真：則解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4若“p且q”是真命題，則，解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4；（2）若s為真，則（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1，由q是s的必要不充分條件，則可得{m|t＜m＜t+1}{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【點評】本題考查了充分必要條件，考查復合命題的判斷，考查集合的包含關系，是一道中檔題．19.（14分）若數列{an}的前n項和為Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求證：數列{an﹣2an﹣1}是常數列；（III）求證：．參考答案：【考點】數列的應用．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知S2=4a1﹣2=6．所以a2=S2﹣a1=4．a3=8．（2）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）；所以an+1=4an﹣4an﹣1由此入手能推導出數列{an﹣2an﹣1}是常數列．（3）由題設條件知an=2n，所以．由此及彼可知．【解答】解：（1）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴S2=4a1﹣2=6．∴a2=S2﹣a1=4．同理可得a3=8．（2）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）．兩式相減得：an+1=4an﹣4an﹣1變形得：an+1﹣2an=2an﹣4an﹣1=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）則：an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）（n≥3）an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an﹣2）=22（an﹣2﹣2an﹣3）=23（an﹣3﹣2an﹣4）=2n﹣2（a2﹣2a1）∵a2﹣2a1=0∴an﹣2an﹣1=2n﹣2（a2﹣2a1）=0．數列{an﹣2an﹣1}是常數列．（3）由（II）可知：an=2an﹣1（n≥2）．數列{an}是以2為首項，以2為公比的等比數列．∴an=2n，∴．．（14分）【點評】本題考查數列的性質及綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．20.已知復數z=(2+i)m2--2(1-i).當實數m取什么值時,復數z是:(1)虛數;(2)純虛數;(3)復平面內第二、四象限角平分線上的點對應的復數?參考答案：由于m∈R,復數z可表示為z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)當m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1時,z為虛數.（3分）(2)當即m=-時,z為純虛數.（3分）(3)當2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2時,z為復平面內第二、四象限角平分線上的點對應的復數.（4）21.20名學生某次數學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計總體中成績落在[50，60)中的學生人數；(3)根據頻率分布直方圖估計20名學生數學考試成績的眾數，平均數；參考答案：

(1)0.005

(2)2人

（3）75分，76.5分22.如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長軸三等分，橢圓右焦點到右準線的距離為，橢圓的下頂點為，過坐標原點且與坐標軸不重合的任意直線與圓相交于點、．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線、分別與橢圓相交于另一個交點為點、.①求證：直線經過一定點；②試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請求出所有的值；若不存在，請說明理由。

參考答案：（Ⅰ）依題意，，則，∴，又，∴，則，∴橢圓方程為．…………4分（Ⅱ）①由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，則：，由得或∴，………………6分用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直線經過定點．方法2：作直線關于軸的對稱直線，此時得到的點、關于軸對稱，則與相交于軸，可知定點在軸上，當時，，，此時直線經過軸上