專題08探索“手拉手”模型

?共頂點的等邊三角形

/?共頂點的等腰三角形

手拉手

X共頂點的等腰直角三角形

模型?

I?共頂點的正方形

【常見模型】

共頂點的等腰三角形

共頂點的等腰直角三角形共頂點的正方形

【典例解析】

【例1】(2021?射陽縣月考)如圖，ABD,AEC都是等邊三角形，BE,C。相交于點O.

(1)求證：BE=CD;⑵求/BOC的度數(shù).

B

【答案】見解析.

【解析】(1)證明：???4480與AAEC都是等邊三角形，

o

：.AD=ABtAE=AC,NAQB=N480=60。，ZDAθ=ZEAC=60,

：,ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBACf

1/DAC=NBAE,

AD=AB

在和△曲E中，］ZDAC=ZBAE,

AC=AE

Λ?DAC^ΔβAE(SAS),

??.BE=DC;

(2)由(D可得出NAQC=NABE,

VZBOD=180o-ZODB-ZDBA-ZABE

=I80o-ZODB-60o-ZADC

=120o-(ZODB+ZADO

=60°,

/.ZBOC=180o-ZBOD=180o-60°=120°.

［例2］(2020.常州市武進(jìn)區(qū)月考)如圖,點A,5,C在一條直線上,ZkABDABCE均為等邊三角形,連接AE和

CDAE分別交CD,BD于點MRCD交BE于點Q,連接PQ,3M,下面的結(jié)

o

論:①△AB磅△D8C;②NDMΛ=60i(3)?BPQ為等邊三角形;④M8平分NAMC,其中結(jié)論正確的有(

)

A?1個B?2個C?3個4個

【答案】D.

【解析】?.,△?￡＞、ABCE為等邊三角形,

：.AB=DBtNABD=NCBE=60。,BE=BCf

：.ZABE=ZDBCf∕PBQ=60°,

Λ?Aββ??DBC,①正確；

,.?∕?ABE咨ADBC,

：.NBAE=NBDC,

?：ZBDC+ZBCD=180o-60°-60o=60o,

，ZDMA=NBAE+NBCD=ZBDC+ZBCD=60°,

，②正確：

由△ABPdQBQ,

：.BP=BQ,

:ZPQ為等邊三角形，

③正確；

由全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，知8到C。、AE的距離相等，

故平分NAMC,

二④正確；

綜上所述：正確的結(jié)論有4個.

【例3】（2020?沙坪壩月考）已知：在向ΔA8C中，ZAfiC=90；AB=BC,以B為頂點作

?BDE,BD=BE,ZDBE=90^,連接AD、CE.

(1)如圖，若NCBE=I20”,AOL8￡>,BE=2.5,求ΔABC的面積:

（2）如圖，若歹為A力的中點，連接EB并延長交CE于H,求證：FHLCE

(3)如圖，NCBE=I20°,G為AB上一點，BG=BQ,連接OGjF為AO上一點，ZFBG=ZFDG,

連接尸G,過A作AHLGE于"，若SACB￡=36,SQF=26,G/+。尸=9,請直接寫出A/7的長.

【解析】⑴解：?.?8E=2?5

：.BD=BE=IS

〈NCBE=120。

：.ZABD=60o

VADlBD

/.AB=2BD=5,

JZ?A8C面積為：12.5.

(2)證明：過A作AM〃5。交3尸延長線于M

E

ΛZM=ZFBD9ZΛ∕AB+ZABD=180°

:尸為A。的中點

：.AF=DF

又N1=N2,

，?AΛ∕F^?DBF

：.AM=BD,

：.AM=BE,

?：ZCBE+NABD=180o,ZABD+ZBAM=I80°

.?.NCBE=NBAM

.?.AABM注ABCE

：.NBEC=NM=NFBD

'：NFBD+NHBE=90。

：.ZBEC+ZHBE=90o

：.ZBHE=90o,BPFHl.CE.

20

(3)——

9

在5尸上取一點M,使得BM=DF,連接GM,過4作AN,BF于M

可得：△GMB^?GFD,得等邊△GMF

故BF=FG+DF=9

20

由角平分線得：AH=AN,而SAAHl0,故A”=—.

9

【例4】(2020.湖南雙清期末)以點A為頂點作等腰RtMSC,等腰RtAADE,其中ZBAC=ZDAE=90°,

如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接80、CE.

圖1

(1)試判斷80、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)延長8。交CE于點尸試求ZBEC的度數(shù)：

(3)把兩個等腰直角三角形按如圖2放置，(1)、(2)中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：

(1)V?ABC?AAQE是等腰直角三角形,

：.AB=AC,ZBAD=ZEAC=9Qo,AD=AE,

AD^AE

在△AD8和△4EC中，＜NDAB=NEAC

AB=AC

：.∕?ADB^ΛAEC(SAS),

：.BD=CE.

(2)V/?ADB^∕?AEC,

：.ZACE=ZABD,

在ΔCDF中，ZBFC=180o-ZACE-ZCDF,

"：ZCDF=ZBDA,

.?.ZBFC=1SOo-ZDBA-ZBDA=ZDAB=90°；

(3)BD=CE成立,NBFC=90。.

理由如下：

V?ABC?AADE是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=90o,

?：NBAC+NCAD=∕EAD+NCAD,

...NBAD=NCAE,

AD=AE

在^ADB和AAEC中，，NZMB=ZEAC,

AB^AC

：.Δ,ADB^?AEC(SAS),

ΛBD^CE,ZACE=ZDBΛ,

：.ΛBFC=ZDAB^9G0.

【例5】(2019?河北安平期末)如圖，ΔABC和ΔQCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,

ZEB￡>=42。，則NAEb=度.

R

【答案】132.

【解析】解：VZACB=ZECD^90o,

：.NBCD=NACE

XAC=BC,CD=CE

：.ABDCWAAEC

：.NDBC=NEAC

,：NEBD=NDBC+NEBC=42。

：.ZEAC+ZEBC=42o,

：.ΛABE+ZEAB=AS0

ZAEB=132°

故答案為：132.

【習(xí)題專練】

1.（2020.沈陽興華月考）（1）問題發(fā)現(xiàn)與探究:

如圖，ΔAC3,AT>CE都是等腰直角三角形，NACB=NZ)CE=90°，點4。，E在同一直線上，CMLAE

于點M，連接B。，則：

(1)線段AE,8。之間的大小關(guān)系是；/ADB=;

(2)求證：AD=2CM+BD↑

【答案】(1)AE=BD990°；(2)見解析.

【解析】(1)解：???ZXACB和AOCE均為等腰直角三角形，

：.AC=BC,CE=CDt

VNAeB=NoCE=90。，

：,/ACE=NBCD,

在△47七與4BC。中，

AC=BC,ZACE=ZBCDfCE=CD,

：.?ΛCD^ΔfiCE,

：.AE=BD1ZAEC=ZBDCf

?；NCED=NCDE=45。,

ΛZAEC=135o,ΛZBDC=135o,.β.ZADβ=90o;

故答案為：AE=BD,90°；

(2)證明：在等腰直角三角形OeE中，CM為斜邊。石上的高，

ICM=DM=ME,

,DE=2CM,

：.AD=DE+AE=2CM+BD.

2.(2020?江陰市月考)如圖，在，OW和「OCD中，OA=OB.OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,

連接Ae8。交于點M,連接OM.下列結(jié)論：①AC=B。；②NAA4B=40。；③OΛ∕平分N3OC；

④Mo平分/SMC.其中正確的個數(shù)為().

【答案】B

【解析】解：VZAOB=ZCOD=40o

：?ZAOC=ZBOD

又OA=OB,OC=OD

Λ?AOC^?BOD

ΛZOCA=ZODB,AC=BD,①正確；

二ZOAC=ZOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

ΛZAMB=ZAOB=40o,②正確；

過O作OG_LCM于G,OHj_BM于H,

可得：OG≈OH,

,OM平分/BMC,④正確；

正確的個數(shù)有3個；

故答案為：B.

3.（2020?山東濟(jì)陽期末）如圖，AABD與ΔAEC都是等邊三角形，AB≠AC,下列結(jié)論中，正確的個數(shù)

是(XDBE=CQ;②NBQZ)=60°;③NBDO=NCEO：④若NBAC=90°，且BC,則

BCLCE.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【解析】解：；aABD與AAEC是等邊三角形

,AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=GO0

：.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC

即NZMC=/EA8

Λ?DAC^?BAE

,BE=CD,①正確;

V?DAC^?BAE

：.ZADO=ZABO

.?.NBOC=NCAB=60。，②正確

,.?NBOA=NeE4=60。，ZADC≠ZAEB

：.ΛBDA-ZADC≠ZCEA-ZAEB

：.ZBDO≠ZCEO,③錯誤

VAD√BC

：.ZDAC+ZBCA=ISO0

?：NDAB=60。,ZBAC=90o

.?.ZBC4=180o-ZDΛβ-ZBΛC=30o

,.?NACE=60°

.?.ZBCE=ZACE+ZBCA=60o+30o=90o

ΛBC±CE,④正確

故由①②④三個正確，

故答案為：C.

4.(2020?重慶巴南月考)如圖，AB=AC,AD^AE,NBAC=NDAE.

(1)求證：ZiABD絲/VICE；

(2)若Nl=25。，Z2=30o,求N3的度數(shù).

【答案】見解析.

【解析】(1)證明：：NBAC=NZME,

：.NBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

二Nl=NEAC,

AB=AC

在AABO和中，?Zl=ZEAC,

AD=AE

Λ?ABD^?ACf(SAS)；

⑵解：V?ΛBD^ΔACE,

.?./ABD=/2=30。，

VZl=25o,

ΛZ3=Zl+Z4βD=25o+30o=55o.

5.（2019?東北師大附中期末）已知ABC和-4）E都是等腰三角形，AB^AC,AD=AE^

ZDAEABAC.

（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點。，E分別在邊AB，AC上，則DBEC.（填＞、

＜或=）

圖①

（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的.4）E繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點。在,ABC外部，點E在.ABC內(nèi)部時,

求證：DB=EC.

圖②

（深入研究）（3）如圖③，，ABC和/.4）￡都是等邊三角形，點C,E，。在同一條直線上，則NCZ）B

的度數(shù)為；線段CE,B。之間的數(shù)量關(guān)系為.

（4）如圖④，ABC和LADE都是等腰直角三角形，NB4C=N￡M￡=90。，點C、D、E在同一直

線上，AM為,.AOE中OE邊上的高，則NQDB的度數(shù)為；線段AM，BD，Co之間的數(shù)

量關(guān)系為.

D1

￡

（拓展提升）（5）如圖⑤，ABC和.AZ）E都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,將..ADE繞

點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)8￡、CD.當(dāng)AB=5,AT>=2時，在旋轉(zhuǎn)過程中，AzWE與C的面積和

的最大值為.

【答案】見解析.

【解析】［初步感知］=.

（2）成立.

理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ND48=NEAC,

AD=AE

在^DAB和^EAC中，<NDAB=NEAC,

AB=AC

Λ?DAB^?MC（SAS）,

：.DB=CE;

［深入探究］（3）設(shè)AB,CD交于0,

BC

：448C和4Az)E都是等邊三角形，

：.AD^AE,AB^AC,NZME=∕8AC=60°,

ZDAB=ZEAC,

AD=AE

在^DAB和4EAC中，＜NDAB=ZEAC,

AB=AC

.".ΛDAB^∕?EAC(SAS),

.".DB=CE,ZABD=ZACE,

?：ZBOD=ZAOC,

：.NBOC=/8AC=60。；

(4)是等腰直角三角形，

：.ZAED=45°,

：.ZAEC=135°,

AD=AE

在小DAB和^EAC中，，NDAB=NEAC,

AB=AC

.".?DAB^?EAC(SAS'),

：.ZADB=ZAEC=1350,BD=CE,

"：ZADE=45°,

：.ZBDC=ΛADB-ZADE=90o,

：AWE都是等腰直角三角形，AM為AA/)E中。E邊上的高,

：.AM=EM=MD,

.'.AM+BD=CMi

故答案為：90o,AM+BD=CM;

【拓展提升】

(5)如圖，

由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中44。E的面積始終保持不變,

?ADE與aAOC面積的和達(dá)到最大,

，ZXADC面積最大，

?；在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，

二要^ADC面積最大，

，點。到AC的距離最大，

：.DAlAC,

，ZVlDE與A4。C面積的和達(dá)到的最大為2+-×AC×AD=5+2=l,

2

故答案為7.

6.（2019?福建龍巖期末）已知點P是線段MN上一動點，分別以PM,PN為一邊，在MN的同側(cè)作AAPM,

ΔBPN,并連接BM,AN.

（I）如圖1,當(dāng)PM=AP,PN=BP且NAPM=NBPN=90。時,試猜想8M,AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)

系，并證明你的猜想；

（II）如圖2,當(dāng)AAPM,△8PN都是等邊三角形時，（I）中BM,AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若

成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由.

（III）在（II）的條件下，連接AB得到圖3,當(dāng)PN=2PM時，求/∕?B度數(shù).

【答案】（DBM=AN,BMLAN.（2）結(jié)論成立.（3）90°.

【解析】解：（I）結(jié)論：BM=AN,BMLAN.

理由：

"：MP=AP,ZAPM=ZBPN=90o,PB=PN,

MMBPQAANP(SAS)9

：.MB=AN.

延長交4V于點C

YLMBPmAANP,

：.APAN=ΛPMB,

VZBAΛ^÷ZPNA=90o,

O

J.ZPMB+ZPNA=909

：.ZMC∕V=180o-NPMB-NPNA=90。,

LBMLAN.

(II)結(jié)論成立

理由：

VΔAPM,ABPN,都是等邊三角形

，NAPM=NBPN=60。

：.NMPB=NAPN=120°,

又?.?PM=∕?,PB=PN,

；?4MPBqAAPN(SAS)

：.MB=AN.

(III)取PB的中點C,連接AcAB.

V?ΛPM,APBN都是等邊三角形

，NAPM=NBPN=60°,PB=PN

：點C是PB的中點，且PN=IPM,

，2PC=2PA=2PM=PB=PN,

,.?NAPC=60。，

.?.△APC為等邊三角形，

.?ZPAC=ZPCA=60o,

又，：CA=CB,

.?.NC4B=NA8C=30。，

,ZPAB=ZΛ4C+ZCAB=90o.

7.（2019?江蘇鹽城期中）（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1,AABC和ACQE都是等邊三角形，且點B、C、E在一

條直線上，連接BD和AE,BD、AE相交于點P,則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是,BD與AE相交

構(gòu)成的銳角的度數(shù)是.（只要求寫出結(jié)論，不必說明理由）

（2）（深入探究）如圖2,?ABC和4CDE都是等邊三角形，連接BD和AE,BD、AE相交于點P,猜

想線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，以及BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù).請說明理由結(jié)論：

理由：________________________

圖2

【答案】(1)BD=AE,60°；(2)BD=AE,60°；(3)見詳解.

【解析】解：(1)??F4BC和△CQE都是等邊三角形，

：.AB^AC,CD=CE,ZACB=ZDCE-60o,

：.ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

AB=AC

在4ACE和△BCDψ,`ZACE=NBCD,

CD=CE

：.4ACE出入BCD(SAS),

：.BD-AE,NAEC=/BDC,

由三角形的外角性質(zhì)，NDPE=NAEC+NDBC,

ZDCE=ZBDC+NDBC,

o

：.ZDPE=ZDCE=GOi

(2)結(jié)論B0=4E,∕OPE=60°還成立.

?.?△48。和^COE是等邊三角形，

：.AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ΛACB+AACD=ZDCE+AACD,

即NACE=NBCD,

AB^AC

在AACE和ABC。中，<ZACE=ZBCD,

CD=CE

：.∕?ACE^∕?BCD(SAS),

：.BD=AE,NAEC=NBDC,

,:ZBDC+ZCDE+ZAED

=ZAEC+ZCDE+ZAED

=ZCDE+ZCED

=180。-NoCE

=180o-60o=120o,

ΛZ￡>P￡=180o-(NBDC+NCDE+NAED)=180°-120°=60°;

8.(2019?內(nèi)蒙古賽罕期中)如圖，AABE,.BCD均為等邊三角形，點A，B,C在同一條直線上，連

接AD，EC,AD與砥相交于點Λ/,BO與EC相交于點N,連接OB,下列結(jié)論正確的有.

①AT>=EC;②BM=BN；③MNAC；(S)EM=MB；⑤08平分ZAOC

D

【答案】①②③⑤.

【解析】解：：4ABE,ABCD均為等邊三角形,

：.AB=BE,BC=BD,NABE=NCBD=60。,

：.ZABD=ZEBC,

AB=BE

在^ABD和^EBC中，9ZABD=ZEBC

BgBC

：.ΛABD^ΛEBC(SAS),

：.AD=EC,故①正確；

NDAB=NBEC,

又由上可知NABE=/CBC=60。，

.,.ZEBD=60o,

在△48歷和4EBN中,

NMAB=NNEB

<AB=BE

ZABE=ZEBN

：.AABM^ΔEBN(ASA),

.'.BM=BN,故②正確；

ZXBMN為等邊三角形，

.?.NNMB=NABM=60°,

：.MN//AC,故③正確；

若EM=MB,則AM平分NEA8,

則NZMB=30。，而由條件無法得出這一條件，

故④不正確；

作BG_LA。，BHLCE,

D

可知△ABD經(jīng)AEBC,

兩個三角形對應(yīng)邊的高相等，即BG=B”,

：.OB是NAOC的角平分線，故⑤正確.

故答案為：①②③⑤.

9.（2020.安徽淮南月考）（提出問題）

（1）如圖1,在等邊AABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B,C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等

邊4AMN,連結(jié)CM求證：CN//AB.

圖1

（類比探究）

（2）如圖2,在等邊AABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變，（1）中結(jié)

論CN〃A8還成立嗎？請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）：ZXABC和AAMN都是等邊三角形,

：.AB=AC,AM=AN,ZABM=ZBAC=ZACB=ZMAN=60a,

.?.ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAN,

：.ZBAM=ZCAN,又A8=4C,AM=AN,

.?∕?BAM^∕?CAN(SAS),

.?.ZACN=ZABM=60o,又∕ACB=60",

，ZAfiM+ZBCN=?S0o,

.?CN∕∕AB-

(2)CN〃AB成立,理由如下：

??AABC和AAMN都是等邊三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZABM=ZBAC=ZACB=ZMAN=60σ,

：.ABAC+AMAC=ZMAC+AMAN,

：.ZBAM=ZCAN,AB=AC,AM=AN,

：.IXBAM9XCAN(SAS),

.?.