6.3空間點、直線、平面之間的位置關系

第2課時新授課1.理解并掌握基本事實4(公理4)和等角定理，并能解決有關問題.2.理解異面直線的概念，掌握空間中兩條直線的位置關系，會求異面直線所成的角.在同一平面內，兩條直線有幾種位置關系？空間中兩條直線有沒有其他的位置關系？問題1：觀察長方體ABCD-A1B1C1D1，顯然AB∥CD，CD∥C1D1，則AB與C1D1有何位置關系？知識點1：基本事實4和異面直線AB∥C1D1基本事實4：平行于同一直線的兩條直線互相平行.空間平行線的傳遞性.問題2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與AD相交，AB與CD平行.AB和CC1的位置關系是平行還是相交？不同在任何一平面內的兩條直線稱為異面直線.為了表示異面直線a，b不共面的特點，畫圖時，通常用一個或兩個平面襯托.空間兩條直線(不重合)的位置關系：共面直線異面直線相交直線平行直線不同在任何一個平面內，沒有公共點.同一平面內，有且只有一個公共點.同一平面內，沒有公共點.歸納總結問題：在同一平面內兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角的大小有什么關系？知識點2：等角定理如右圖，平面內兩個角的兩邊分別對應平行有三種情況，那么這兩個角相等或互補.思考交流：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角的大小有什么關系？定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.平面內兩條直線相交成4個角，其中不大于90°的角稱為它們的夾角.夾角刻畫了一條直線相對于另一條直線的位置關系.如圖，已知兩條異面直線a，b，過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b，這時a，b'共面，我們把a與b'所成的不大于90°的角稱為異面直線a，b所成的角(或夾角).若兩條異面直線a，b所成的角是直角，則稱這兩條直線互相垂直，記作：a⊥b.例1

四個頂點不在同一平面內的四邊形稱為空間四邊形.如圖，在空間四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證：如圖，連接BD，∵FG是△CBD的中位線，∴，又∵EH是△ABD的中位線，∴，根據基本事實4，

，∴四邊形EFGH是平行四邊形.例2

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.（1）正方體的哪些棱所在的直線與直線BC1是異面直線？（2）求異面直線AA1與BC所成的角；（3）求異面直線BC1與AC所成的角.解：（1）正方體共有12條棱，與BC1相交的棱有6條，與BC1平行的棱不存在，因此余下的6條棱所在的直線分別與直線BC1是異面直線，它們是A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.例2

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.（1）正方體的哪些棱所在的直線與直線BC1是異面直線？（2）求異面直線AA1與BC所成的角；（3）求異面直線BC1與AC所成的角.（2）∵AD∥BC，∴∠A1AD即為異面直線AA1與BC所成的角.顯然∠A1AD＝90°，故異面直線AA1與BC所成的角為90°.（3）求異面直線BC1與AC所成的角.∵A1B，BC1與A1C1都是該正方體的面對角線，∴A1B＝BC1＝A1C1，△A1BC1是等邊三角形，從而∠BC1A1＝60°，即異面直線BC1與AC所成的角為60°.（3）如圖，連接A1C1，A1B.∵，∴四邊形AA1C1C是平行四邊形，AC∥A1C1，故∠BC1A1就是異面直線BC1與AC所成的角.求異面直線所成角的一般步驟：歸納總結（1）移，選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條得到相交直線.（2）證，證明所作的角或其補角是異面直線所成的角.（3）找，在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.（4）取，因為異面直線所成角θ的取值范圍是0<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角.練一練1.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a