課時跟蹤檢測（十）冪函數1．若冪函數y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則f(8)的值為()A．4 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．1解析：選C設f(x)＝xn，由條件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝x，f(8)＝8＝2eq\r(2).2．若冪函數f(x)＝xk在(0，＋∞)上是減函數，則k可能是()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．－1解析：選D由冪函數的性質得k<0，故選D.3．已知冪函數f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數，則m＝()A．1 B．2C．1或2 D．3解析：選A∵函數f(x)為冪函數，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當m＝1時，冪函數f(x)＝x2為偶函數，滿足條件；當m＝2時，冪函數f(x)＝x3為奇函數，不滿足條件．故選A.4．(2018·邢臺期末)已知冪函數f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，則函數g(x)＝f(x)＋eq\f(x2,4)的最小值為()A．1 B．2C．4 D．6解析：選A設冪函數f(x)＝xα.∵f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，∴2α＝eq\f(1,4)，解得α＝－2.∴函數f(x)＝x－2，其中x≠0.∴函數g(x)＝f(x)＋eq\f(x2,4)＝x－2＋eq\f(x2,4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(x2,4)≥2eq\r(\f(1,x2)·\f(x2,4))＝1，當且僅當x＝±eq\r(2)時，g(x)取得最小值1.5．(2019·安徽名校聯考)冪函數y＝x|m－1|與y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數，則滿足條件的整數m的值為()A．0 B．1和2C．2 D．0和3解析：選C由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m－1|>0，,3m－m2>0，,m∈Z，))解得m＝2.6．已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關系為()A．b<a<c B．a<b<cC．c<b<a D．c<a<b解析：選C因為a＝81，b＝16，c＝12，由冪函數y＝x在(0，＋∞)上為增函數，知a>b>c，故選C.7．設x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，則x，y，z的大小關系為()A．x<z<y B．y<x<zC．y<z<x D．z<y<x解析：選A由函數y＝0.3x在R上單調遞減，可得y>z.由函數y＝x0.3在(0，＋∞)上單調遞增，可得x<z.所以x<z<y.8．已知冪函數f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上單調遞增，函數g(x)＝2x－k，當x∈[1,2)時，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，則實數k的取值范圍是()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]解析：選D∵f(x)是冪函數，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0.若m＝2，則f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調遞減，不滿足條件．若m＝0，則f(x)＝x2在(0，＋∞)上單調遞增，滿足條件，即f(x)＝x2.當x∈[1,2)時，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)；當x∈[1,2)時，g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．∵A∪B＝A，∴B?A，∴2－k≥1且4－k≤4，解得0≤k≤1.9．若f(x)是冪函數，且滿足eq\f(f9,f3)＝2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝________.解析：設f(x)＝xα，∵eq\f(f9,f3)＝eq\f(9α,3α)＝3α＝2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2α＝eq\f(1,32α)＝eq\f(1,22)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10．已知函數f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數，且在(0，＋∞)上為增函數，則實數m的值是________．解析：由f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數?m2－m－5＝1?m＝－2或m＝3.又f(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以m＝3.答案：311．當0＜x＜1時，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關系是________________．解析：分別作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的圖象如圖所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．答案：h(x)＞g(x)＞f(x)12．(2019·銀川模擬)已知冪函數f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍是________．解析：由題意得，冪函數f(x)＝x－eq\f(1,2)的定義域為(0，＋∞)，且函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，由f(a＋1)<f(10－2a)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>10－2a，,a＋1>0，,10－2a>0，))解得3<a<5.答案：(3,5)13．已知冪函數f(x)＝x(m∈N*)的圖象經過點(2，eq\r(2))．(1)試確定m的值；(2)求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實數a的取值范圍．解：(1)∵冪函數f(x)的圖象經過點(2，eq\r(2))，∴eq\r(2)＝2，即2＝2.∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x，則函數的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數．由f(2－