新疆維吾爾自治區若羌縣中學2020-2021學年高二下學期

期中考試數學（文）試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合"=卜降2、'<1},B={y\y=2\x>0]t則48=（）

0B.{xp<x<2}C-{x|l<x<2}D-|x|l<x<2}

2.已知g+i）（i_bi）=2i（其中db均為實數,i為虛數單位），則,+創等于

A.2B.6C.1D.1或④

3.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，圓錐的體積為（）

A.qRB.史乃犬C,a標D.宗川

36246

4.函數/（x）=bg2（x+l）與g（x）=2-+l在同一直角坐標系下的圖象大致是（）

5./(x)=3'+3x-8，且/⑴(0J(1.5》0J(1.25)(0,〃2》0,則函數/(x)的零點落在區

間()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能確定

試卷第11頁，共33頁

6.把邊長為i的正方形/8C。沿對角線8D折起，使得平面平面C8O,形成三

棱錐C_/8Z）的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為（）

正視圖的規?學

A.|B.也

2

C.-D.也

44

7.點E,F,G,，分別為空間四邊形N8CQ中N8,BC,CD,的中點，若4C=

BD,且4c與8。所成角的大小為90。，則四邊形是（）

A.梯形B.空間四邊形

C.正方形D.有一內角為60。的菱形

8.已知某回歸方程為：y=2-3x，則當解釋變量增加1個單位時，預報變量平均：

（）

A.增加3個單位B.增加;個單位

C.減少3個單位D.減少1個單位

3

9已知°=癡3，b=203,c=0.3°2則。，瓦。三者的大小關系是

A?b>c>ab>a>ca>b>cD?c>b>a

10.已知/（幻=43。-1口+4〃戶<1是（10,+8）上的減函數，那么。的取值范圍是

[log（,X,X>1

（）

試卷第21頁，共33頁

A.3）B.[ol]C,品D.[1,.]

H.已知“，AceR*,a+6+c=l,則LLI的最小值是（）

abc

A.3B.6C.9D.-1

3

12.函數y=3Q+4而三的最大值為（）

A.B.4C.3D.5

2

二、填空題

13.設/是一條直線，/夕/是不同的平面，則在下列命題中，假命題是

①如果a，尸，那么a內一定存在直線平行于月

②如果a不垂直于夕，那么a內一定不存在直線垂直于0

③如果a_Ly,夕_Ly,ac/?=/,那么/J_y

④如果aJL尸，/與a,2都相交，那么/與a,所成的角互余

14.已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾

試卷第31頁，共33頁

15.已知函數〃x)=log“也士竺(a>O,awl)是奇函數，則函數了=/(')的定義域

X+1

為一

16.已知復數2=°+歷，其中ae{-2,-l,0,1},6e{0,1,4,9}，則復數z=a+歷是純虛數的

概率是_______.

三、解答題

17.甲乙兩車間生產同一種產品，各生產40個后，按產品合格與不合格進行統計，甲

車間生產的產品合格數為36個，乙車間生產的產品合格數為24個.

(1)根據以上數據完成2x2列聯表；

不合格合格總計

甲車間a=b=

乙車間c=d=

總計n=

(2)試判斷是否產品合格與生產車間是否有關？

18.已知定義域為夫的函數/(工)=青助是奇函數.

⑴求a,6的值；

⑵對任意的火火，不等式/(/2_2,)+42產-%)<0恒成立，求人的取值范圍-

22

19.求證：a+b+5>2(2a-b)

20.如圖所示，在三棱錐/一80c中，。41.底面800，

ZOAB=ZOAC=30°,AB=AC=4BC=2叵，動點。在線段/8上，

試卷第41頁，共33頁

D

B

⑴求證：平面COD_L平面/0以；

⑵當。力」。時，求三棱錐C一的體積?

VJLJ_L/iD

21.設函數/(x)=；丫2-(a+l)x+?lnx,.

(1)求函數的單調區間；

(2)討論函數的零點個數

22.已知函數產卜-3|+卜-4卜

(1)作出函數的圖像；

(2)若不等式,_3|+卜_4|＜。的解集不是空集，求。的取值范圍

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.c

【解析】由對數函數、指數函數不等式求集合A、B,利用集合的交運算求/C5.

【詳解】由已知，得：A^[x\0<x<2},S={y|j>1},

A[yB={x\\<x<2}>

故選：c

2.B

【分析】利用復數運算和相等得到6,再計算模長

【詳解】

(a+i)(l—Ai)=2ia+b+(\—ab)\=2i=>a+b=0,\—ab=2=>a=—b,ah=—\=>/=〃=1

\a+bi|=y/a2+b2=,J2,

故選：B.

3.C

【詳解】試題分析：根據題意，設無底圓錐的底面圓半徑為,，則底面圓的周長等于側面

展開圖的半圓弧長

可得r=圓錐的高力=而二7=立尺，

22

答案第11頁，共22頁

根據圓錐的體積公式，可得/=工5'〃=1%(1/?))且/?=必乃/?3

33(2J224

故選C.

考點：本題考查旋轉體，即圓錐的體積，著重考查了旋轉體的側面展開和錐體的體積公式

等知識.

4.B

【分析】利用指數函數與對數函數的性質，結合復合函數的單調性即可判斷.

【詳解】因為y(x)=log,(x+l)定義域為(-1,y0)，且為增函數，經過定點(0,0)，排除

C；

g(x)=2-*+l定義域為R，且為減函數，經過定點e,2)，排除AD；

而選項a滿足上述性質，又排除了ACD,故B正確.

D

故選：B.

5.B

【分析】根據函數的單調性和零點的存在性定理確定正確答案.

【詳解】/(x)=3*+3x-8在R上單調遞增，

/(1.25)-/(1,5)<0>所以函數/(x)的零點落在區間(1.25,1.5).

取2。的中點E,連結CE,AE,

?.?平面平面C8。，

ACELAE,

答案第21頁，共22頁

，三角形直角△CE/是三棱錐的側視圖,

BD=6,：.CE=AE=也

2

...△CE/的面積S=,xx=

11

2VV

故選c.

7.C

【分析】根據已知，結合圖形，利用三角形中位線的性質以及等角定理進行判斷.

【詳解】

因為點E,F,G,4分別為空間四邊形/8CZ）中48,BC,CD,”。的中點，

所以FG//8。'EHIIBD,HG//AC'EFIIAU

所以EH〃FG，HG/IEF,所以四邊形EFG//是平行四邊形，

又ZC與3。所成角的大小為90。，所以此與FG所成角的大小為9。°，

即尸G_LHG，所以四邊形EFG/Z是矩形，

又AC=BD,FG=-BD,HG=-AC,所以叩二的，

22

答案第31頁，共22頁

所以四邊形EFG”是正方形，故A，B,D錯誤.

故選：C.

8.C

【分析】根據回歸方程確定正確答案.

【詳解】依題意，回歸方程為：f=2-3x?

所以當解釋變量增加1個單位時，預報變量平均減少3個單位.

故選：C

9.A

【詳解】因為ae(O,l),b>l,ce(O,l),O.3°5<O.3a2，所以a<c<b，選A.

10.C

【分析】由“X)在(-8,+8)上單調遞減，確定“，以及3a-1的范圍，再根據單調遞減確定

在分段點丫_1處兩個值的大小，從而解決問題.

【詳解】解：由題意得：

...八X)=伊-l)x+4凡X<1是—上的減函數

[logflX,X>1

(3a-l)xl+4?>lg?lL<a<L

.-..3?-1<0解得：7--3

a<\

故0的取值范圍是已」]

1_73)

故選：C

11.C

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

111a+b+ca+b+c〃+b+c

L詳111—=-------H---------H---------

abcabc

答案第41頁，共22頁

當且僅當a』=c=」時等號成立.

3

故選：C

12.D

【分析】利用三角換元轉化所求函數，根據三角函數的知識求得正確答案.

【詳解】由]”一52°解得"X46,

[6-x>0

所以函數丁=3"。+4^/^7的定義域是[5,6]?

由于(Jx-5)+(」6-4)=1,

故可設H^=sina,疝7=cosa,其中。“二，

2

所以歹=3y]x-5+4y/6-X

=3sina+4cosa=5sin(a+0),其中ta”J,且烈夕<_,

343

所以f?a+w</，所以當a+%白寸，少=3必？+4>/"三取得最大值為5

故選：D

13.④

【分析】根據線面、面面位置關系有關知識對命題進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】①，C0,且交線為“，則在a內，與。平行的直線6與夕平行，①正確?

答案第51頁，共22頁

②，若存在aua且a，尸，根據面面垂直的判定定理可知a，

這與“a不垂直于夕”矛盾，所以②正確.

③,若a_L_Ly,ac夕=/，

如下圖所小,設acy=a,/3cy=b,4ey，

過A作垂足分別為E,F，

由于/Euy，所以NE_La，由于/ua，所以4E_L/，

同理可證得4尸_U，由于NFc/fuZME/Euy，

所以所以③正確.

④，如果a_L2，/與a,夕都相交，設acp=a，如下圖所示,

設lca=A,lc/3=B，過A作4cLa，垂足為C，

過8作8Z)_La，垂足為。，

由于/Cue，所以4C_Lp,同理可證得8。_La，

答案第61頁，共22頁

所以/與a所成角為/與0所成角為N/BC，

sinZBAD=—,cosZABC=—,與"長度不相等,

ABAB

所以么/與a,0所成的角不互余，④錯誤?

故答案為：④

【分析】三視圖可知，該幾何體為三棱錐，分別確定底面積和高，利用錐體的體積公式求

解即可.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，底面為等腰三角形，如圖：

由俯視圖知底面等腰三角形的高為2,底邊長為2,

答案第71頁，共22頁

S底面=5、2、2=2，

,由正視圖知棱錐的高2.

三棱錐的體積為V=—x2x2=—.

33

故答案為：—

3

15-(-U)

【分析】根據函數是奇函數求出參數用的值，然后根據對數函數成立的條件即可求函數的

定義域.

【詳解】解：?.?函數/⑶是奇函數，

即/(否)目<(x)QO,

.2m-1-mx.2m-1+tnx.,2m-1-mx2m-1+mx

則噫+=)=0

7+1-9-x+i

“2m-\-mx2w-1+inx

即-77TgF.

即(2mT);.X、］,

1-x2

即(2m-l)2-m2x2=l-x2>

則卜2"：-1>=1,解得：

—m1=—1

答案第81頁，共22頁

1—y

此時/(x)=log"—^滿足是奇函數，

1+X

要使函數有意義，則上三>0,

1+x

即(x-l)(x+l)<0，

解得'

故函數的定義域為(_覃).

故答案為：

【點睛】本題考查函數定義域的求法，利用函數奇偶性的定義和性質是解決本題的關鍵,

綜合考查函數性質的應用.

3,0.1875

16.—/

16

【分析】利用列舉法，根據純虛數、古典概型等知識求得正確答案.

【詳解】依題意，z=Q+bi有如下可能：

z=-2,z=-2+i,z=-24-4i,z=-2+9i，

z=—l,z=-l+i,z=-l+4i,z=—1+9i?

z=0,z=i,z=4i,z=9i，

z=l,z=l+i,z=l+4i,z=l+9i，共16種，

其中純虛數有z=i,z=4i,z=9i，共3種，

所以復數+〃是純虛數的概率是

16

答案第91頁，共22頁

故答案為：-

16

17.(1)見解析；(2)有99.5%的把握認為“合格與車間有關系”.

【分析】⑴由題意知出甲車間不合格的產品是40—36和乙車間不合格的產品是40-24,列

出表格，填入數據即可；(2)根據所給的數據，代入求觀測值的公式，做出觀測值，把所得

的數值同觀測值表中的數據進行比較，得到有99.5%的把握認為“合格與車間有關系”.

【詳解】(1)按產品合格與不合格進行統計，甲車間生的產品合格數為36個，乙車間生產的

產品合格數為24個.

所以甲車間不合格的人數是40_36=4，

乙車間不合格的人數是40_24=16，

.?.2x2列聯表如下:

不合格合格總計

甲車間43640

乙車間162440

總計206080

(2)>2_“(ad-bc)2

(4+b)(Q+d)(b+c)(c+d)

80x(4x24-16x36)2

=9.69

40x40x20x60

由「(K?27.879)b0.005,

所以，有1-0.005=99.5%的把握認為“產品合格與生產車間有關系”?

【點睛】本題主要考查及獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：(1)

答案第101頁，共22頁

根據樣本數據制成2x2列聯表；（2）根據公式小計算小的值；⑶查表比較y與臨界值

的大小關系，作統計判斷.

18.（l）a=l9b=1

【分析】（1）由奇函數的定義可得名*=_心*,土^=0,從而可求出。，6的

2'+a2'+a1+"

值，

（2）先判斷"X）在R上為減函數，再由函數為奇函數將轉化為

/（『-2/）＜/（左-2/），再由單調性可得左＜3?-2,恒成立，然后求出

g(f)=3r—2?=3的最小值即可

x

【詳解】(1)因為定義域為尺的函數/"）=-2+b是奇函數,

2x+a

所以/(-x)=-/(*),/(0)=0

所以2'+&=-2、+z).止心

2~x+a2'+a1+a

解得a=l,b=1?

⑵由⑴可得?。?3=審=恐7,

任取Xi,x2￡A，且玉＜w，則

答案第111頁，共22頁

222(2J|-2t2)

/(x)-/(x,)=-1--1

21+2’1+2”(1+22)(1+2』)

因為王<工2，所以2m—2"<0，

所以/(工2)-〃再)<0,即/區)</0)

所以人外在火上為減函數，

因為f(x)為R上為奇函數，

所以由-2/)+/(2?_4)<0得/(r_2f)<f(k-2t2)9

因為在R上為減函數，

所以『一2/>女-2產，得后<3*-2￡恒成立，

/、21

令g?)=3/-2/=31-；)則g(f).=-§，

所以《<-1,

3

所以％的取值范圍為(-8,-小

19.證明見解析

【分析】利用差比較法證得不等式成立?

【詳解】a2+b2+5-2(2a-b)

=/-44+4+〃+26+1=("2)2+(6+1)22

當且僅當!”=2時等號成立，

b=-i

答案第121頁，共22頁

所以/+從+522(2°-6廠

20.(1)證明見解析

⑵且

3

【分析】(1)根據線面垂直的性質可得線線垂直，根據勾股定理可知ocWB，根據線面

垂直的判定定理可知OCj_平面/O8,而根ocu平面COZT滿足定理所需條件；

(2)ODA.AB,OD=也，此時，BD=1.根據三棱錐的體積公式求出所求即可.

【詳解】(1)證明：Q/O_L底面8OC,08,0。匚底面8。。，，/0,0(7，AOVOB.

■：Z.OAB=AOAC=^a,/8=/C=4，OC=OB=2.

?：BC=26,所以0c2+。夕=8。2,所以°O8，

由于CMCl08=O,u平面AOB，

.?.OC_L平面/08.

QOCu平面COD，，平面COZ)_L平面Z08.

L

(2)'.‘03'48,oA=ABcos30,=2底:.OD=；OA=^,

此時8O=O8cos43O=2x；=l.

VC-OBD=?SVOW>Xm=；x；x6xlx2=*,

21.(1)當4>1時，函數的增區間是(0,1)和(a,+00),減區間是(i,a)；

答案第131頁，共22頁

當4=1時，函數/（x）的增區間是（0,+8），無減區間：

當0<a<l時，函數/（x）的增區間是（0,a）和（1,+8），減區間是

（2）當0>0時,函數〃力存在唯一零點.

【分析】（1）根據利用導數求函數單調區間的步驟，先求出函數的導數，然后在定義域內

解含參的不等式，分類討論即可求出；

（2）由（1）可知函數的單調性，再結合零點存在性定理即可判斷出函數的零點個數.

【詳解】（1）函數“X）的定義域為（°，+8）,八++

XX

當N時，由[/'（>噎…或2”由y（x）<°n1<…；

[x>0[x>0

當“二|時，小