2023年高考全國甲卷理科數學試題解析

[設集合4={xlx=3k+UkeZ},B={x\X=3《+2#￡Z},0為整數集，^j(^U5)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=3k-l,keZ}

C.{x\x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出.

【解析】因為整數集

Z={x|x=3k,k￡Z}U{X[X=3《+1,A：￡Z}U{X|X=3K+2,Z：￡Z},U=Z,所以，

電(/IJB)={x|x=3k,keZ}.

故選：A.

2.若復數(〃+i)(l-ai)=2,Q￡R,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出.

【解析】因為(a+—=a—a3+i+Q=2。+(1-Q?)i=2,

2a=2

所以《解得：a=\.

1-a2=0

故選：C.

3.執行下面的程序框遇，輸出的8=（）

/輸出3/

O束)

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【分析】根據程序框圖模擬運行，即可解出.

【解析】當〃=1時，判斷框條件滿足，第一次執行循環體，N=l+2=3,8=3+2=5,

“=1+1=2：

當〃=2時，判斷框條件滿足，第二次執行循環體，71=3+5=8,3=8+5=13,

〃=2+1=3；

當〃=3時，判斷框條件滿足，第三次執行循環體，4=8+13=21,6=21+13=34,

〃=3+1=4；

當“=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環體，輸出3=34.

故選：B.

4.向量|碼=|51=-1,|11=0，^-a+b+c=0<WOcos{a—c,b—c）=（）

1224

A.----B.----C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.

【解析】因為萬+5+5=0,所以5+b=~c

即12+/+2口/=^,即1+1+21力=2，所以無5=0.

如圖，設厲=2礪=B,反=5,

由題知,。4=。8=1,。。=啦038是等腰直角三角形,

AB邊上的高OD^—,AD=—,

22

所以8=。。+。。=71+也=逑，

22

tanNACD=—=cosNACD=-J=

CD3Vio'

cos(5-c,b-c)-cosZACB=cos2ZACD-2cos2Z.ACD-X

故選:D.

5.己知正項等比數列｛%｝中，q=1,5,為｛4｝前〃項和，S5=5S3-4,貝”4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【分析】根據題意列出關于q的方程，計算出/即可求出S*

【解析】由題知l+q+q2+/+q4=50+q+g2)-4,

即/+/=4q+4/,即/+/_44—4=0,即(g_2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q〉0,所以q=2.

所以$4=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若

己知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B,0.4C.0.2D,0.1

【答案】A

【分析】先算出報名兩個俱樂部的人數，從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部

的概率，利用條件概率的知識求解.

[解析】報名兩個俱樂部的人數為50+60-70=40,

記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件B,

r,,?八505c/404

貝|JP(N)=百■尸(/8)=玄=-

707707

4

所以P(8M)=且4"=[=0-8.

尸⑷5

7

故選:A.

7.lisin2?+sin2/?=1sina+cos/?=0()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.

jr

【解析】當sin2q+sin2，=l時，例如a=',/?=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin20=1推不出sina+cos4=0；

當sina+cos￡=0時,sin2a+sin2°=(-cos0y+sin2°=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2/?=1.

綜上可知，sin2a+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分條件.

故選：B

r22L

8.已知雙曲線-—彳v=1(“>0,6>0)的離心率為石，其中一條漸近線與圓

ab~

(x—2)2+(y—3)2=l交于Z,B兩點,則|/6|=()

A.-B.叵C.正D.

5555

【答案】D

【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【解析】由6=右，則4=上0=1+?=5，

aa~a

解得2=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=量-：=9,

所以弦長|1=2勿_笛=2^11=竽.

故選：D

9.有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務,

則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天社區服務的情況，即可得解.

【解析】不妨記五名志愿者為a,b,c,4,e,

假設“連續參加了兩天社區服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區服

務，共有A”12種方法，

同理：b,c,d,e連續參加了兩天社區服務，也各有12種方法，

所以恰有1人連續參加了兩天社區服務的選擇種數有5x12=60種.

故選：B.

10.已知/(x)為函數_y=cos(2x+t)向左平移2個單位所得函數，則丁=/(x)與

y的交點個數為()

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先利用三角函數平移的性質求得/(x)=—sin2x,再作出/(x)與y=的

部分大致圖像，考慮特殊點處./■")與丁=!》-；的大小關系，從而精確圖像，由此得解.

【解析】因為V=cos12x+向左平移孑個單位所得函數為

所以/(x)=—sin2x,

牛，年處/(x)與的

大小關系,

當》=工時,13兀13兀一4

—x--------=--------<1；

42428

7兀一4,

------->1

所以由圖可知，/（X）與歹=—L的交點個數為3.

故選：C.

11.在四棱錐。一/88中，底面N8CD為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.272B.3啦C.472D.5夜

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得AP。。三APC。，APDB*PCA,

從而得到尸工=尸8,再在△PZC中利用余弦定理求得從而求得P8=JI7,

由此在APBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在中利用余弦定理求得尸/=J萬，cosZPC5=1,從而求得

PA-PC=-3^再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于PB,4BPD的方程組，

從而求得尸s=47，由此在APBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【解析】法一：

連結交于。，連結P0,則。為/C,8。的中點，如圖，

因為底面力為正方形，46=4,所以4。=8。=4五，則。O=CO=2JI，

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸￡>。三APC。，則/尸。。=/尸。。，

又PC=PD=3,AC=BD=46，所以APDBMAPC/,則尸Z=P8,

在中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°.

則由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4>/2x3x—=17，

2

故尸/=JI7，貝IJP8=JT7，

故在APBC中，PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cos/PCB

2PCBC2x3x4-W

又0<NPCB<TI,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=冬&，

3

所以APBC的面積為5=,尸。-8。5由4PCB==乂3義4x42=4叵.

223

法二：

連結交于。，連結PO,則。為的中點，如圖,

因為底面力8C7）為正方形，N6=4,所以NC=5O=4近，

在中，PC=3,NPC4=45。,

則由余弦定理可得

J7

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4^x3x—=17，故

2

尸工=Ji7,

/么2+尸。2—」。2_17+9—32

所以cos//PC=

2PAPC2x717x3

~PA~PC網因cosZAPC=V17X3X

不妨記PB=/%,/BPD=0,

因為所=；（方+正）=；（而+而），所以（秒+定『=（而+而J,

即尸/+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

KiJ17+9+2x（-3）=/n2+9+2x3x/ncos0,整理得病+6〃?cos6-l1=0①，

又在△尸8。中，BD°=PB?+PD?-2PB?PDcosNBPD，即32=〃/+9—6加cos。，

貝!Im2-6mcos。-23=0②，

兩式相加得2機2-34=0，故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,PB=yfii,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=出，

3

所以APBC的面積為5=,尸。-8。$山/尸。8=1*3*4><拽^=4逝.

223

故選：C.

r223

12.己知橢圓瓦+{v~=1,片,鳥為兩個焦點，。為原點，。為橢圓上一點，cos

/-FXPF2=-,

則|P0|二()

A2B.我cTD.叵

■5252

【答案】B

【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出△尸耳工的面積，即可得到點P的坐標，

從而得出|。尸|的值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸婚|P用尸用2+|尸工『，再結合中線的向量

公式以及數量積即可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸大|2+歸耳『，即可根據中線定理求出.

7T=b1tan"'PF?=b2tan6,

【解析】方法一：設/片桃=240＜。＜5,所以

2

222

,-ccos^-sin61-tan63〃力/日八1

由cosZF.PF=cos26=---；---------=---------=—,解得:tan0=—

2cos2sin21+tan2^52

由橢圓方程可知，。2=9,/=6,。2=/—〃=3,

所以，,呻忻勾x|.=；x2石x|.=6x；,解得：片=3,

即片=9x(l-*)=|,因此Q尸|=&+%=口|=粵.

故選：B.

方法二：因為|P￡|+|P周=2a=6①，忸周2+|尸聞2一2忸周伊聞/耳尸月=|耳閭2,

即|尸用2+儼用2一號歸百歸用=12②，聯立①②，

1<

解得：閥||尸昭=》,附「9+忸寸7=21,

而麗=;（兩+用），所以|。尸|=|所卜;I西+西］

即叫毛防+

2PF、PF,

522

故選：B.

方法三：因為|尸￡|+歸周=2。=6①，|尸耳『+歸用2_2留的尸周/￡「鳥=內巴'

即|P用2+仍居|2一6能引=12②，聯立①②，解得：|尸卬2+仍用2=21,

由中線定理可知，（2|0哨+出用2=21吶2+質「）=42,易知出用=2出，解得:

陽粵

故選：B.

［拓展】本題根據求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結論焦點三角形的面積公式快速解

出，也可以常規利用定義結合余弦定理，以及向量的數量積解決中線問題的方式解決，還可

以直接用中線定理解決，難度不是很大.

二、填空題

13.若歹=（X一1）2+ax+sin[x+為偶函數，則4=

【答案】2

【分析】利用偶函數的性質得到了從而求得a=2,再檢驗即可得解.

+ax+sin[x+（

【解析】因為y=/（x）=（x—I）?（工-1）2+QX+COSX為偶函數，定

l2J

71

2

此時/（X）=（X-1）24-2x+cosX=X2+1+cosX,

所以/（―x）=（―x）2+1+COS（-X）=工2+1+COSX=/（X）,

又定義域為R，故/(x)為偶函數,

所以“=2.

故答案為：2.

-lx+3y<3

14.設工，^滿足約束條件<3%一2p43，設z=3x+2y,則z的最大值為

x+y>1

【答案】15

【分析】由約束條件作出可行域，根據線性規劃求最值即可.

【解析】作出可行域，如圖，

37

由圖可知，當目標函數yn-'X+s過點A時，Z有最大值

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體NBC。-44GA中，E,尸分別為CD,的中點，則以EF為直徑的球

面與正方體每條棱的交點總數為.

【答案】12

【分析】根據正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【解析】不妨設正方體棱長為2,EF中點為O,取/B，中點G,M,側面的

中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

N

由題意可知，0為球心，在正方體中，EF=yjFG2+EG2=V22+22=2、5，

即R=>/2,

則球心0到的距離為QM=y/oN2+MN2=Vl2+I2=6，

所以球。與棱5片相切，球面與棱8片只有1個交點，

同理，根據正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為12.

故答案為：12

16.在中，AB=2，NBAC=6V,BC=&,。為8c上一點，AD為/BAC的

平分線，則.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根據等面積法求出；

方法二：利用余弦定理求出ZC,再根據正弦定理求出民C,即可根據三角形的特征求出.

如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃_2x2xbxcos6(r=6,

因為6>0,解得：b=l+JJ，

由S.ABC=S^ABD+‘/CD可得，

—x2x/?xsin60°—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

2

出b26（1+石）

解得：AD

3+6

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/>2-2X2XZ>XCOS60°=6.因為分>0,解得：b=l+G，

由正弦定理可得，4—=_絲=二_,解得：sin3=C+后,sinC=-.

sin60°sinBsinC42

因為1+百>&>&，所以。=45°，6=180。-60°—45°=75°，

又N8Z0=3O°，所以NZ06=75°，AD=AB=2.

故答案為：2.

【拓展】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以

用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規.

三、解答題

17.已知數列｛4｝中，生=1，設S”為｛4｝前〃項和，2S?=nan.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）求數列的前〃項和小

【答案】⑴an=n-\

【分析】⑴根據％=<

Sn-Sn_t,n>2

（2）根據錯位相減法即可解出.

【小問1解析】

因為2S“=nan,

當〃=1時，2q=q,即q=0；

當〃=3時，2（1+%）=3%，即％=2,

當，拒2時，2S,i,所以2（S“-S,T）=〃a“-（〃-l）%=2a.，

化簡得：,當〃23時，===—=1,即氏=〃一1,

〃一1n-22

當〃=1,2,3時都滿足上式，所以⑸=〃—l(〃eN*).

【小問2解析】

因為竽等所以北=?+2x1)+3x()+…+咽,

呆=1$2x?+…+(1咱+唱1

兩式相減得，

2

=1—["CO）'艮叱=2-（2+〃）出，〃eN”.

18.在三棱柱Z8C-44G中，AAi=2,4C_L底面/8C,AACB=90°,&到平面

BCC^i的距離為1.

(2)若直線Z4與84距離為2,求力4與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)嫗

13

【分析】(1)根據線面垂直，面面垂直的判定與性質定理可得4。J?平面8CG4,再由勾

股定理求出。為中點，即可得證；

(2)利用直角三角形求出力耳的長及點A到面的距離，根據線面角定義直接可得正弦值.

【小問1解析】

如圖,

c,

Bi

，二

???4C_L底面ABC,8Cu面ABC,

A^CIBC,又BC工AC,4C,ZCu平面NCG4，A,CryAC=C,

.?.8C_L平面ZCCA，又6Cu平面8CG4，

二.平面ZCC/i，平面8CGA,

過4作40_LCG交CG于。，又平面4CG4n平面BCC4=C￡,4Ou平面

ACCiAi,

4。J■平面3CC0

V4到平面BCGg的距離為1,4。=1，

在Rta4C￡中，4CJ_4￡,CG="1=2,

設CO=x，則C1O=2—X,

?.?△4OC,A4OC,,A4CC,為直角三角形，且CG=2,

CO2+A<Cr=4c2,A,02+OC；=C/：,4c2+*=c,C2,

.--1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=A,C=4G=^2,

AC=A^C

【小問2解析】

vAC=J.C,fiC±A,C,BC1AC,

RtA^C5^RtA4C5

BA=BA{,

過8作8O_L441,交44］于。，則。為中點，

由直線44與BB］距離為2,所以8。=2

=80=2,AiB=AB=45,

在RtZ\/8C，BC7AB2-AC?=百，

延長ZC,使4C=CN,連接GW，

由CM〃AG，CM=4￡知四邊形4cMG為平行四邊形，

川〃4。，.??。|加，平面Z8C,又4/U平面/8C,

C}M1AM

22

則在RtA/IC.AZ中，AM=2AC,CXM=4。，；.AC,=^2AC)+A1C，

在RtZXZgG中，AC,=.yJ(2AC)2+A,C2,BG=BC=5

222

：.AB}=7(2V2)+(V2)+(V3)=V13,

又A到平面BCC[B1距離也為1,

所以AB,與平面5CC,B,所成角的正弦值為卡=用.

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不加

藥物)和實驗組(加藥物).

(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數目為X,求X的分布列和數學期望；

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數m,并完成下面2x2列聯表:

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據2x2列聯表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數據：

k00.100.050.010

尸?)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=1

(2)(i)加=23.4；列聯表見解析，(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數學期望；

(2)(i)根據中位數的定義即可求得根=23.4,從而求得列聯表;

(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.

【小問1解析】

依題意，X的可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=等=奈，p(x=l)=詈尸(工=2)=警=義,

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

1Q201Q

故E(X)=0x——+lx——+2x—=l

783978

【小問2解析】

(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數是將兩組數據合在一起，從小到大排后第20

位與第21位數據的平均數，

由于原數據已經排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數據與實驗組第二排數據即可，

可得第11位數據為14.4,后續依次為

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位為23.2,第21位數據為23.6,

,23.2+23.6”“

所以〃？=----------=23.4,

2

故列聯表為:

<m>m合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

(ii)由⑴可得，K=40x(6x6-14x14)--6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

20.已知直線x—2y+l=0與拋物線C:/=2px（p>0）交于兩點，且|/出|=47記.

（1）求P；

（2）設C的焦點為凡M,N為C上兩點，MF-NF=Q，求AMN尸面積的最小值.

【答案】（1）p=2

（2）12-872

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關系，聯立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P：

（2）設直線MN：x=my+n,"（%,必》義仁,%）,利用礪.而=0，找到私〃的關

系，以及AMNV的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值.

【小問1解析】

設力

（x-2y4-1=0

由V2c可得，V-4勿+2。=0，所以

[夕=2px

所以

|幽=J（吃-xj+?一8）、=回廠%|=&xJ（"+jJ-438=，

即2P2一夕一6=0,因為夕>0,解得：p=2.

【小問2解析】

因為尸（1,0）,顯然直線的斜率不可能為零，

設直線MV：x=my+n,M（x,,^）,A^（x2,y2）,

（y2=4x,

由〈可得，y-4my-4n^0,所以，y}+y2=4m,y}y2=-4n,

[x-my+n

A=16w2+\6n>0^>m2+n>0>

因為赤?標=0，所以（百_1）（々_1）+凹^2=0，

即（團凹+沖2+〃-1）+乂、2=0，

亦即（加2+1）乂%+加（“一1）（乂+%）+（“―if=0,

將必+y2=4〃?,乂夕2=-4〃代入得，

4m2=n2-6w+b4（/+〃）=（〃-1）->0,

所以“K1,且〃2—6〃+120，解得〃23+2雙或〃W3—2JI.

In-11

設點尸到直線MV的距離為d,所以。=1,

|"N|二)(司一工2『+(必一夕2)2=W+加2|必一刃=+J16加2+16〃

=2不+〃22,4(/-6〃+1)+16〃=2-J1+加["-1],

所以△兒WF的面積S=gXpvw|Xd=gX中工X2JiTG71"_1|=(〃—1)2,

而〃23+2拒或“W3-20，所以，

當〃=3—20時，△腦W7的面積工柿=(2-2逝)2=12-8夜-

【拓展】本題解題關鍵是根據向量的數量積為零找到加，〃的關系，一是為了減元，二是通

過相互的制約關系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面

積的最小值.

…、sinx兀)

21.己知/(x)=or----—,xe0,—

cosxI2J

⑴若a=8,討論/(x)的單調性；

(2)若./1(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)(-<?,3]

【分析】(1)求導，然后令/=852》,討論導數的符號即可；

(2)構造g(x)=/*)-sin2x,計算g〈x)的最大值,然后與。比較大小，得出”的分界點，再對

。討論即可.

【小問1解析】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------4------=a-------4----

COSXCOSX

令cos2x=/,則，￡(。，1)

2—at"+2z—3

則f(x)=g(t)=a----z—=

工。入、，、8『+2”3(2/-1)(4/+3)

當a=8J(x)=g(/)=-—=——%——-

當f即xefj'(x)<0.

(；』)，即x{0,：)/'(x)>0.

當fe

所以/(X)在(0,；)上單調遞增，在5上單調遞減

【小問2解析】

設g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(x)-2cos2x=g(/)-2(2cos2x-l)="十？——2(2/-1)=tz+2-4/+—；

23

設(p(t)=Q+2-4/+------

tt

.一一+5」尸?+6=_2(1)(2：+2什3)〉o

r/t