牛欄山一中2022?2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

S={Λ∣-2<X<1}T={Λ∣0<X<2∣CT

1.已知集合LJ,11J,則》/()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,2)D.(-1,0)

2.設(shè)d=(l,-2),?=(-3,4).￠=(3,2),則(α+b)?C=()

A(-6,4)B.-2C.5D.(1,4)

3.下列每組雙曲線中漸近線都為y=±*2χ是()

222222

y

C.J-1jXr-1D1,

39-----------39??^T=

4.拋物線V=8χ的準線過雙曲線/一卷=ι(∕,>o)的左焦點，則雙曲線的虛軸長為()

A.8B.2百C.2D.4月

5.給出三個等式：/(?Xlx2)=∕(x,)+∕(?)./(XI+Λ2)=∕(X,)∕(Λ2),/(x)+∕(π+x)=O.下列

函數(shù)中不滿足任何一個等式的是()

A./(x)=lgxB./(x)=e*

C./(x)=sin%D./(x)=tanx

TT

6.已知“和〃是兩個互相垂直的單位向量，c=α+∕U>(4eR),則;1=1是d和d夾角為,的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.圓+>2=ι上的點P到直線ACOSe+*inθ=4(。∈R)的距離為“，點P和。在變化過程中，d

的最小值為O

A.1B.2C.3D.4

8.在平行四邊形ABCr)中，E是邊CD的中點，AE與BD交于點F.若AB=",AD=b，則AF=()

13,2r1r

A.—ciA—bB.—ci÷—bC.—d+—bD.—a+—b

44334433

9.函數(shù)/(x)=sin2x圖象上存在兩點P(s,f),Q(M”())滿足r—s.,則下列結(jié)論成立的是O

D,4上］=一3

10.已知曲線C:(Y+y2)3=4x2y2,則下列說法正確有幾個()

(1)C關(guān)于原點對稱；

(2)。只有兩條對稱軸；

(3)曲線。上點到原點最大距離是1；

(4)曲線。所圍成圖形的總面積小于兀；

A.1B.2C.3D.4

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

H.α=(CoSaSin6),ZJ=(1,1),若。//〃，則tan。=.

12.如圖，正六邊形ABCDM的邊長為1,(AB+BC+CD〉OE=.

13.若/(x)=αsin[x+?)+加缶卜一7)(。匕≠°)是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對可以是.(寫出

你認為正確的一組數(shù)即可).

14.若函數(shù)〃X)TX；一Cl’滿足存在fcR使/(x)=f有兩個不同的零點，則”的取值范圍是.

15.己知圓/+〉2=]6和定點/>(2,0),動點M在圓上，。為PM中點，。為坐標原點.則下面說法正

確的是.

①點。到原點的最大距離是4；

②若一OMP是等腰三角形，則其周長為10；

③點。的軌跡是一個圓;

④NOMP的最大值是B.

6

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=2CoSXCOSe-XJ-6C(os2X-sin2x).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若/(x)在一根>一2)上的值域為［-2,2),求m值.

17.設(shè)_?16。的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且有2sinβcosA=sinAcosC+cosAsinC

(1)求角A大小；

(2)從下列條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使JIBC唯一確定，并求JIBC的面積.

條件①：AB邊上的高為石；

條件②：a=y/1，b=3；

條件③：a=5,sinB=3sinC.

2

18.橢圓「r：一+/=].

4

(1)點C是橢圓「上任意一點，求點C與點。(0,2)兩點之間距離d的最大值和最小值；

(2)A和B分別為橢圓「的右頂點和上頂點?P為橢圓「上第三象限點.直線與軸交于點M,直

線*軸交于點M求隔H制〔

22

19.已知橢圓C:*+1-=l(α>0)的焦點在X軸上，且經(jīng)過點七(2,8)，左頂點為。，右焦點為F.

(1)求橢圓C離心率和QEF的面積；

(2)已知直線y=丘+1與橢圓。交于A,B兩點.過點8作直線y=4的垂線，垂足為G?判斷直線AG

是否經(jīng)過定點?若存在，求出這個定點；若不存在，請說明理由.

InY

20.已知x=l是函數(shù)"X)=-----InX+ln(ox+2)的一個極值點.

?+X

(1)求。值；

(2)判斷〃X)的單調(diào)性;

(3)是否存在實數(shù)〃?，使得關(guān)于X的不等式/(x)≥機的解集為(0,+8)?直接寫出用的取值范圍.

21.已知有限數(shù)列A：%,%，???，小ΛN≥3且N∈N*)各項均為整數(shù)，且滿足Tl=I對任意i=2,

3,...,N成立.記S(A)=4+4+…+樂.

⑴若q=3,N=6,求S(A)能取到的最大值;

⑵若N=2022,求證：S(A)H0；

(3)若S(A)=IOON(這里N是數(shù)列的項數(shù))，求證：數(shù)列A中存在q(l≤左≤N)使得％.=100.

牛欄山一中2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

口…八S=N-2<x<l}Γ={Λ∣0<Λ<21,eτ,、

1.已知集合LJ,11J,則RΙL》/()

A.(0,1)B.(L2)C.(―2,2)D.(-1,0)

【答案】C

2.設(shè)α=(l,-2),b=(-3,4)>c=(3,2),則(α+∕>)?c=()

A.(-6,4)B.-2C.5D.(1,4)

【答案】B

3.下列每組雙曲線中漸近線都為y=±Y3χ是()

3

1,y2-X2=3

【答案】A

2

4.拋物線V=8χ的準線過雙曲線/—#=](/,〉o)的左焦點，則雙曲線的虛軸長為()

A.8B.2√3C.2D.4√3

【答案】B

5.給出三個等式:/(X∣Λ2)=/(X∣)+∕'(w),/(玉+±)=/(3)/(%2)，/(X)+/(兀+x)=°?下列

函數(shù)中不滿足任何一個等式的是()

A./(x)=lgxB./(x)=e*

C./(x)=SilUD./(x)=taιu?

【答案】D

JT

6.已知α和。是兩個互相垂直的單位向量，c=α+∕?(∕l∈R),則4=1是C和α夾角為7的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

7.圓。：》2+卜2=1上的點尸到直線底05。+為118=4(。€1i)的距離為"，點/3和。在變化過程中，d

的最小值為O

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

8.在平行四邊形ABC。中，E是邊Co的中點，AE與BD交于點F.若A8=n,AD=b>則AE=()

1.32r1r31,12,

A.—QH—bfB.—Cl+—bC.—UH—bD.—ClH—b

44334433

【答案】D

9.函數(shù)/(x)=sin2x圖象上存在兩點尸(sj),Q(r,。(/>0)滿足rτ=f,則下列結(jié)論成立的是()

6

10.已知曲線C[χ2+y2)3=4χ2y2,則下列說法正確的有幾個()

(1)C關(guān)于原點對稱；

(2)C只有兩條對稱軸；

(3)曲線。上點到原點最大距離是1；

(4)曲線。所圍成圖形的總面積小于兀；

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.α=(cose,sine),Z>=(1,1),若“//〃，則tan。=.

【答案】1

12.如圖，正六邊形48Cz)M的邊長為1，(AB+8C+Cθ)?OE=.

【答案】-1

13.若/。）=制皿［尤+?）+加由卜-7,"/0）是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對（α,h）可以是.（寫出

你認為正確的一組數(shù)即可）.

【答案】（U）（答案不唯一）

XCl

14.若函數(shù)〃X）=；一’滿足存在fcR使/（x）=f有兩個不同的零點，則”的取值范圍是.

、X,X?>a.

【答案】（-8,（））5°，O

15.己知圓V+/=16和定點P（2,0）,動點M在圓上，。為PM中點，。為坐標原點.則下面說法正

確的是.

①點。到原點的最大距離是4；

②若-OMP是等腰三角形，則其周長為10；

③點。的軌跡是一個圓；

TT

④/OMP的最大值是：.

6

【答案】②③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(X)=2cosxcossin，).

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若/（x）在一一A）上的值域為［-2,2）,求加值.

Tr5乃

【答案】(1)-++&乃(k∈Z)

【解析】

【分析】（I）由誘導(dǎo)公式、二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)/（X）為一個角的三角函數(shù)形式,

然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；

71

（2）求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求加值.

【小問1詳解】

解：已知/(X)=2cosxcos--X-?/?(cos2x-sin2x)=2cos?-sin?-?/?cos2x=sin2x-y∣3cos2x

冗冗冗

增區(qū)間為：----F2Λττ≤2x----≤—]r2k兀

232

Jr5冗

所以，函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間為一五+版?,=+br（ZeZ）.

【小問2詳解】

解：已知Xe—§，機）（加>一，

?2m,

3

.TT-TT

即α一7t,,LX---<2m----,

33

因為，值域為[-2,2）,

、兀π5π

2m--=—=>根=——.

3212

17.設(shè)一ABC的內(nèi)角4,B,。所對邊的長分別為〃，b,c9且有2sinBcosA=SinAcosC+CosAsinC

（1）求角A的大小；

（2）從下列條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使一ABC唯一確定，并求j4BC的面積.

條件①：AB邊上的高為6；

條件②：a=S，b=3?,

條件③：Q=J7，sinB=3sinC.

【答案】（1）?

3

（2）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）注意到已知等式右邊為sin8,可得CoSA=

2

（2）若選擇①，結(jié)合（1）只能求得A

若選擇②，結(jié)合（1）和正弦定理，可求得sin8.

若選擇③，結(jié)合（1）和正，余弦定理，可求得b,c.

【小問1詳解】

由題2sinBcosA=SinAcosC+CosAsinC=Sin8,因sin5≠（）.

i兀

則CoSA=一，因4為三角形內(nèi)角，所以A=-.

23

【小問2詳解】

若選擇①，設(shè)AB邊上的高為/幾=√3,

則4B=bsinA,得6=2.因題目條件不足，故JBC無法唯一確定.

ah

若選擇②，由正弦定理及(1),

sinAsinBsinC

√7_3SinB=

.因女叵>正，又題目條件不足，故無法判斷8為鈍角還是銳

有?/?sinB14

142

2

角，則JWC無法唯一確定.

b

若選擇③，由正弦定理，及sinB=3sinC,

sinAsinBsinC

則/=3C又由余弦定理及(1),

b2+c2-a2IOc2-7?

有cosA

2hc6C22

得C=1,Z?=3.

LSA=11x3XE=述

此時.A5C唯一確定，S&ABCm

2224

綜上選擇③時，ABC唯一確定，此時ABC的面積為地

4

2

18.橢圓—工+/=1.

4-

(1)點C是橢圓「上任意一點，求點C與點。(0,2)兩點之間距離d的最大值和最小值；

(2)A和8分別為橢圓「的右頂點和上頂點.尸為橢圓「上第三象限點.直線P4與軸交于點M,直

線好軸交于點M求喘H制?

【答案】(I)?*dmin=1

(2)1

【解析】

【分析】(1)設(shè)C(AO,%),y0∈[-l,l],計算得到d=J_3(%+g]+g,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到

最值.

(2)過點P作PG_Lx軸于G,過點P作軸于"，設(shè)P(%,y),利用相似計算得到答案.

【小問1詳解】

2

設(shè)c(??,%),%G[—11]，則寸-+y(f=i，

d=ICDl=7ΛO2+(?o-2)2=λ∕-3%2-4%+8=J-31%+∣J+g，

當先=一|時，41m=符=率，當y°=ι時，cim,=?.

【小問2詳解】

如圖所示：過點P作PG，X軸于G,過點P作PHLy軸于H,設(shè)P(Al,y),

19.已知橢圓C：，+?=l(a>0)的焦點在X軸上，且經(jīng)過點￡(2,、6)，左頂點為。，右焦點為尸.

(1)求橢圓C的離心率和_DEF的面積；

(2)己知直線y=依+1與橢圓C交于A,B兩點.過點8作直線y=4的垂線，垂足為G?判斷直線AG

是否經(jīng)過定點?若存在，求出這個定點；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)e=乎；SDEF=Q+2

(2)直線AG經(jīng)過定點理由見詳解.

【解析】

【分析】(1)由橢圓C經(jīng)過點代入橢圓方程求得/=8,結(jié)合。2=。2_02,解得C的值，進

而求得離心率和JDEF的面積；

(2)由直線y="+l與橢圓。交于4,B兩點,則說明斜率存在，

所以分A=0,k≠3進行討論找出直線過得點.

【小問1詳解】

22

由題意，橢圓C：q+《=l(a>0)經(jīng)過點石(2,、歷)，

42L

可得=+二=1，解得a2=S=>a=2Λ∕2，

a4

即橢圓C:《+匕=1,

84

因為H=/_尸=8_4=4,即c=2,

所以橢圓C的離心率為e=￡====也，

?2√22

又由左頂點為D,右焦點為尸，所以。(―2√Σ,()),/(2,0),

所以.Z)E9的面積為S,"F=gx∣OF∣x僅E∣=gx(2+20)x血=血+2

【小問2詳解】

由直線y=去+1與橢圓C交于A,B兩點、

所以當k=0時，直線為y=l與橢圓。交于A,B兩點

-X--+--1I-

由,84解得：X=±√6

J=I

令Λ(-√6,l),B(√6,l)，此時G(√6,4)

4—1?/e

所以KG

,>/6—(—,\/6)4

^(x+√6)

所以直線Λ小U：*＞z-1

即(AG：>="*+，‘令χ=o=>y=g

AGj422

所以直線AG是經(jīng)過定點

|sJS?fA(>∕6,1),β(-?s∕6,1),則/,c:y=—XT—

42

令X=Ony=g

所以直線AG是經(jīng)過定點,(I

當ZHO時，由直線y=履+1與橢圓C交于A,B兩點

設(shè)A(XQi)K%,必)

y=kx+?

聯(lián)立方程組，/2,

—+2-=l

184

整理得(2k2+l)x2+4fcc-6=0,

-Ak-6

則…2=赤Tg=赤F

23

所以X1+尤2=—kxj2=?x↑x2=——(Xl+x)

32Zc2

.y—4

設(shè)點G(∕,4),所以旗G=」1一

X1-X2

V.—4V1—4

AG的方程為>—4=-!——(x-x2)=>y=——(x—々)+4,

X1-χ2X1-X2

令X=。，可得y=W生+4=&S

Xj-X2X1-X2

ZI3355

4Λ1-x2-xl-x2xi-x25

xi-x2xi-X22

所以直線AG經(jīng)過定點,(I，

綜上可得，直線AG經(jīng)過定點(。，胃.

Itvr

20.已知X=I是函數(shù)/(%)=------lnx+ln(∏Λ+2)的一個極值點.

(1)求。值；

(2)判斷/(x)的單調(diào)性;

(3)是否存在實數(shù)m,使得關(guān)于X的不等式/(x)≥，〃的解集為(0,+8)?直接寫出機的取值范圍.

【答案】(1)a=2

(2)函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(3)存在，m∈(-∞,ln2]

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)/'(1)=。計算得到答案.

(2)求導(dǎo)得到r(χ)=7τ"?,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.

(ι+χ)

___2

⑶先證明ln(l+x)<x,ln(l+x)<jm,計算得至IJy(X)>In2,且/(x)<-^^+ln2,得到

√Λ÷1

答案.

【小問1詳解】

111

1∏Λ—F1—InX1

/(X)=-lαr+ln(αr÷2),則,=__________?∣a

1+x(I+%)?%0r÷2

1,

---F1—1∩X]

a2a

r⑴=?----------------+-----二——41+--------0解得α=2.

(l+x)2XOr+24。+2

1

—F1—I1nX[

2_-Inx

/(χ)=^——--1+

U(ι+χ)X^^=(1+X)2

當x∈(0,l)時，用x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當X∈(1,+CQ)時，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

故x=l是函數(shù)的極大值點，滿足.

【小問2詳解】

-Inx

(l+x)2'

當Xe(0,1)時，用χ)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當Xe(I,+∞)時，∕,(χ)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

【小問3詳解】

/3點?2g])+ln2/皿+l)=]+g+l)+hι2,

當x∈(0,÷∞),易知In(X+1)-InX>0,In(X+l)>0,故/(x)>ln2.

故m<ln2,滿足條件.

當x∈(0,+∞)時，設(shè)g(x)=ln(l+X)-X,故g<χ)=--------1=———<0,

X+1X+?

故g(x)<g(0)=0,即In(I+x)<x,

當XG(OM)時，設(shè)MX)=In(I+x)-后，S)=Ar七=與哥,

2―+X

當x∈(0,3)時,〃'(x)C/八〉0,函數(shù)單調(diào)遞增；

2(%+l)

當x∈(3,?κo)時，"(x)=—八-<O,函數(shù)單調(diào)遞減;

2(Λ+1)

故?(x)≤〃⑶=In4-2<O,故In(I+x)<y/T+x.

In(X+1)X,—F-?fx+Λ

可㈢+2

/(X)=------------+ln2<X+In2<-/+In2

x+1x+1Jx+1

即/(x)可以無限接近ln2?

綜上所述：m∈(→χ>,In2].

【點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生

的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中放縮的思想是解題的關(guān)鍵.

21.己知有限數(shù)列A：al,a2,...,a”(N≥3且N∈N*)各項均為整數(shù)，且滿足∣4—%|=1對任意i=2,

3,...,N成立.記S(A)=4+4+…+ɑ?,.

⑴若q=3,N=6,求S(A)能取到的最大值；

(2)若N=2022,求證：S(A)=O;

(3)若S(A)=IooN(這里N是數(shù)列的項數(shù))，求證：數(shù)列A中存在α*(l≤左WN)使得%=100.

【答案】(1)33(2)證明見詳解

(3)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合累加法和等差數(shù)列求和運算求解