28.2.2應用舉例第3課時利用方位角、坡度解直角三角形【教學目標】1．知道測量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關系；(重點)2．能夠應用解直角三角形的知識解決與方位角、坡度有關的問題．(難點)【教學過程】一、情境導入在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝eq\f(h,l).坡度通常寫成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝eq\f(h,l)＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節課就解決這方面的問題．二、合作探究探究點一：利用方位角解直角三角形【類型一】利用方位角求垂直距離如圖所示，A、B兩城市相距200km.現計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，100km為半徑的圓形區域內，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(參考數據：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)．解析：過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據三角函數用PC表示出來．根據AB的長得到一個關于PC的方程，求出PC的長．從而可判斷出這條高速公路會不會穿越保護區．解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區．方法總結：解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．【類型二】利用方位角求水平距離“村村通”公路工程拉近了城鄉距離，加速了我區農村經濟建設步伐．如圖所示，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區級公路相連．在公路A處測得C村在北偏東60°方向，沿區級公路前進500m，在B處測得C村在北偏東30°方向．為節約資源，要求所修公路長度最短．畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長度．(結果保留整數)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據題意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，據題意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD.解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足落在AB的延長線上，CD即為所修公路，CD的長度即為公路長度．在Rt△ACD中，據題意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\r(3)CD.在Rt△CBD中，據題意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)CD.又∵AD－BD＝500，∴eq\r(3)CD－eq\f(\r(3),3)CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路長度約為433m.方法總結：在解決有關方位角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．探究點二：利用坡角、坡度解直角三角形【類型一】利用坡角、坡度解決梯形問題如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°.求壩底AD的長度．解析：首先過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，根據坡度的定義，即可求解．解：分別過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝eq\f(BE,tan45°)＝2，DF＝eq\f(CF,tan30°)＝2eq\r(3)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2eq\r(3)＝5＋2eq\r(3)(m)．答：壩底AD的長度為(5＋2eq\r(3))m.方法總結：解決此類問題一般要構造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識求解．【類型二】利用坡角、坡度解決三角形問題如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1∶2，斜坡AB的長為6eq\r(5)m，斜坡的高度為AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現將斜坡的坡角改造為14°(圖中的∠ACB＝14°)．(1)求車庫的高度AH；(2)求點B與點C之間的距離(結果精確到1m，參考數據：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，進而利用勾股定理求出AH的長；(2)利用tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，求出BC的長即可．解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設AH＝x，則BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6eq\r(5))2，解得x＝6，故車庫的高度AH為6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝eq\f(AH,CH)，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，即0.25＝eq\f(6,BC＋12)，解得BC＝12m.答：點B與點C之間的距離是12m.方法總結：本題考查了解直角三角形的應用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關鍵．三、板書設計1．方位角的意義；2．坡度、坡比的意義；3．應用方位角、坡度、坡比解決實際問題．【教學反思】將解直角三角形應用到實際生活中，有利于培養學生的空間想象能力，即要求學生通過對實物的觀察或根據文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形．這一方面在教學過程應由學生展開，并留給學生思考的時間，給學生充分的自主思考空間和時間，讓學生積極主動地學習.28.2.2應用舉例第3課時利用方位角、坡度解直角三角形【學習目標】⑴使學生了解方位角的命名特點，能準確把握所指的方位角是指哪一個角⑵逐步培養學生分析問題、解決問題的能力；滲透數形結合的數學思想和方法．⑶鞏固用三角函數有關知識解決問題，學會解決方位角問題．【學習重點】用三角函數有關知識解決方位角問題【學習難點】學會準確分析問題并將實際問題轉化成數學模型【導學過程】一、自學提綱：坡度與坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常寫成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．結合圖形思考，坡度i與坡角α之間具有什么關系？這一關系在實際問題中經常用到。二、教師點撥：例5如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34方向上的B處.這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？例6同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現在有這樣一個問題請你解決：如圖6-33水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)四、學生展示：完成課本77頁練習補充練習(1)一段坡面的坡角為60°，則坡度i=______；______，坡角___