人教版九年級上學期期末考試數學試卷（一）一、精心選一選，相信自己的判斷（本大題共10個小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中只有一個答案是正確的，請將正確答案的序號直接填入答題卡中）1．方程x2=﹣x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=02．下列各點中，在函數的圖象上的是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）3．二次函數y=ax2+bx﹣1（a≠0）的圖象經過點（1，1），則a+b+1的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．34．數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a．小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是（）A．勾股定理B．直徑所對的圓周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圓周角所對的弦是直徑5．如圖，有反比例函數y=，y=﹣的圖象和一個圓，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2πC．4π D．條件不足，無法求6．如圖所示，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為640m2的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻，另三邊用總長為80m的柵欄圍成，若設柵欄AB的長為xm，則下列各方程中，符合題意的是（）A．x（80﹣x）=640 B．x（80﹣2x）=640 C．x（80﹣2x）=640 D．x（80﹣x）=6407．如圖，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發，沿O→C→D→O的路線勻速運動．設∠APB=y（單位：度），那么y與點P運動的時間x（單位：秒）的關系圖是（）A． B． C． D．8．如圖，已知△ABC，AB=BC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的⊙O的切線交BC于點E．若CD=5，CE=4，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C． D．9．如圖，已知點A，B，C，D，E，F是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任意兩點均可得到一條線段．在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為（）A． B． C． D．10．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法：①2a+b=0②當﹣1≤x≤3時，y＜0③若（x1，y1）、（x2，y2）在函數圖象上，當x1＜x2時，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正確的是（）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④二、細心填一填，試試自己的伸手！（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，則的值為．12．已知點A（1，3），O是坐標原點，將線段OA繞點O逆時針旋轉90°，點A旋轉后的對應點是A1，則點A1的坐標是．13．一塊△ABC余料，已知AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，現將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是cm2．14．在一個不透明的袋子中，裝有9個大小和形狀一樣的小球，其中3個紅球，3個白球，3個黑球，它們已在口袋中被攪勻，現在有一個事件：從口袋中任意摸出n個球，在這n個球中，紅球、白球、黑球至少各有一個，則當n=時，這個事件必然發生．15．二次函數y=x2的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數y=x2的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為．16．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是矩形，AD∥x軸，A（﹣3，），AB=1，AD=2，將矩形ABCD向右平移m個單位，使點A，C恰好同時落在反比例函數y=的圖象上，得矩形A′B′C′D′，則反比例函數的解析式為．三、用心做一做，顯顯自己的能力！（本大題共8小題，滿分72分）17．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．18．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點，以點A為中心把△ADE順時針旋轉90°．（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；（2）若旋轉后E點的對應點記為M，點F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF．①求證：△AMF≌△AEF；②若正方形的邊長為6，AE=3，則EF=．19．已知拋物線y=x2+（2k+1）+k2+1（k是常數）與x軸交于A（x1，0），A（x2，0）（x1＜x2）兩點．（1）求實數k的取值范圍．（2）O為坐標原點，若OA+OB=OA?OB，求k的值．20．如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面積；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函數y=圖象上的兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并簡要說明理由．21．4件同型號的產品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）從這4件產品中隨機抽取1件進行檢測，求抽到的是不合格品的概率；（2）從這4件產品中隨機抽取2件進行檢測，求抽到的都是合格品的概率；（3）在這4件產品中加入x件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢測，然后放回，多次重復這個試驗，通過大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）23．某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產進行了調研，結果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．（1）一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價﹣成本）（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式；（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎？若該公司能在一個月內售出此種商品30000件，請你計算一下該公司在一個月內最少獲利多少元？24．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．（1）求a、c的值．（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．（3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案與試題解析一、精心選一選，相信自己的判斷（本大題共10個小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中只有一個答案是正確的，請將正確答案的序號直接填入答題卡中）1．方程x2=﹣x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=0【考點】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程移項后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．【解答】解：方程移項得：x2+x=0，分解因式得：x（x+1）=0，可得x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=﹣1．故選C【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．2．下列各點中，在函數的圖象上的是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】反比例函數的比例系數為﹣2，找到橫縱坐標的積等于﹣2的坐標即可．【解答】解：A、2×1=2，不符合題意，B、﹣2×1=﹣1，符合題意；C、2×﹣2=﹣4，不符合題意；D、1×2=2，不符合題意；故選B．【點評】考查反比例函數圖象上的點的坐標的特點；用到的知識點為：反比例函數圖象上點的橫縱坐標的積等于反比例函數的比例系數．3．二次函數y=ax2+bx﹣1（a≠0）的圖象經過點（1，1），則a+b+1的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】計算題．【分析】根據二次函數圖象上點的坐標特征，把（1，1）代入解析式可得到a+b的值，然后計算a+b+1的值．【解答】解：∵二次函數y=ax2+bx﹣1（a≠0）的圖象經過點（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴a+b+1=3．故選D．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．4．數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a．小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是（）A．勾股定理B．直徑所對的圓周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圓周角所對的弦是直徑【考點】作圖—復雜作圖；勾股定理的逆定理；圓周角定理．【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對的圓周角，即可作出判斷．【解答】解：由作圖痕跡可以看出O為AB的中點，以O為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交于一點C，故∠ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是：直徑所對的圓周角是直角．故選：B．【點評】本題主要考查了尺規作圖以及圓周角定理的推論，能夠看懂作圖過程是解決問題的關鍵．5．如圖，有反比例函數y=，y=﹣的圖象和一個圓，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2πC．4π D．條件不足，無法求【考點】反比例函數圖象的對稱性；圓的認識．【專題】計算題．【分析】根據反比例函數的圖象的對稱性和圓的對稱性得出圖中陰影部分的面積等于圓的面積的一半，求出圓的面積即可．【解答】解：根據反比例函數的圖象的對稱性和圓的對稱性得出：圖中陰影部分的面積等于圓的面積的一半，∵圓的半徑是2，∴圖中陰影部分的面積是×π×22=2π．故選B．【點評】本題主要考查對圓的認識，反比例函數圖象的對稱性等知識點的理解和掌握，能根據圖象得出圖中陰影部分的面積等于圓的面積的一半是解此題的關鍵．6．如圖所示，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為640m2的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻，另三邊用總長為80m的柵欄圍成，若設柵欄AB的長為xm，則下列各方程中，符合題意的是（）A．x（80﹣x）=640 B．x（80﹣2x）=640 C．x（80﹣2x）=640 D．x（80﹣x）=640【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據AB的長表示出線段AD或線段BC的長，利用矩形的面積列出方程即可．【解答】解：設AB的長為x米，則AD=（80﹣x），根據矩形的面積得：x（80﹣x）=640，故選A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是表示出矩形的寬，難度不大．7．如圖，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發，沿O→C→D→O的路線勻速運動．設∠APB=y（單位：度），那么y與點P運動的時間x（單位：秒）的關系圖是（）A． B． C． D．【考點】動點問題的函數圖象．【分析】根據圖示，分三種情況：（1）當點P沿O→C運動時；（2）當點P沿C→D運動時；（3）當點P沿D→O運動時；分別判斷出y的取值情況，進而判斷出y與點P運動的時間x（單位：秒）的關系圖是哪個即可．【解答】解：（1）當點P沿O→C運動時，當點P在點O的位置時，y=90°，當點P在點C的位置時，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐漸減小到45°；（2）當點P沿C→D運動時，根據圓周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）當點P沿D→O運動時，當點P在點D的位置時，y=45°，當點P在點0的位置時，y=90°，∴y由45°逐漸增加到90°．故選：B．【點評】（1）此題主要考查了動點問題的函數圖象，解答此類問題的關鍵是通過看圖獲取信息，并能解決生活中的實際問題，用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即學會識圖．（2）此題還考查了圓周角定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等．8．如圖，已知△ABC，AB=BC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的⊙O的切線交BC于點E．若CD=5，CE=4，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C． D．【考點】切線的性質．【專題】壓軸題．【分析】首先連接OD、BD，判斷出OD∥BC，再根據DE是⊙O的切線，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根據DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的長度是多少；最后判斷出BD、AC的關系，根據勾股定理，求出BC的值是多少，再根據AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半徑是多少．【解答】解：如圖1，連接OD、BD，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，∴DE=，∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2，∴5BD=3BC，∴，∵BD2+CD2=BC2，∴，解得BC=，∵AB=BC，∴AB=，∴⊙O的半徑是；．故選：D．【點評】此題主要考查了切線的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．9．如圖，已知點A，B，C，D，E，F是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任意兩點均可得到一條線段．在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為（）A． B． C． D．【考點】正多邊形和圓；勾股定理；概率公式．【分析】利用正六邊形的性質以及勾股定理得出AE的長，進而利用概率公式求出即可．【解答】解：連接AF，EF，AE，過點F作FN⊥AE于點N，∵點A，B，C，D，E，F是邊長為1的正六邊形的頂點，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故從任意一點，連接兩點所得的所有線段一共有15種，任取一條線段，取到長度為的線段有6種情況，則在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為：．故選：B．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓，正確利用正六邊形的性質得出AE的長是解題關鍵．10．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法：①2a+b=0②當﹣1≤x≤3時，y＜0③若（x1，y1）、（x2，y2）在函數圖象上，當x1＜x2時，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正確的是（）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④【考點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題．【分析】①函數圖象的對稱軸為：x=﹣==1，所以b=﹣2a，即2a+b=0；②由拋物線的開口方向可以確定a的符號，再利用圖象與x軸的交點坐標以及數形結合思想得出當﹣1≤x≤3時，y≤0；③由圖象可以得到拋物線對稱軸為x=1，由此即可確定拋物線的增減性；④由圖象過點（3，0），即可得出9a+3b+c=0．【解答】解：①∵函數圖象的對稱軸為：x=﹣==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正確；②∵拋物線開口方向朝上，∴a＞0，又∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點為（﹣1，0）、（3，0），∴當﹣1≤x≤3時，y≤0，故②錯誤；③∵拋物線的對稱軸為x=1，開口方向向上，∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函數圖象上，當1＜x1＜x2時，y1＜y2；當x1＜x2＜1時，y1＞y2；故③錯誤；④∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（3，0），∴x=3時，y=0，即9a+3b+c=0，故④正確．故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，拋物線與x軸的交點，難度適中．二、細心填一填，試試自己的伸手！（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，則的值為．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題；一次方程（組）及應用．【分析】方程兩邊除以a2變形后，利用公式法即可所求式子的值即可．【解答】解：方程整理得：1+﹣（）2=0，∵△=1+4=5，∴=，故答案為：【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．12．已知點A（1，3），O是坐標原點，將線段OA繞點O逆時針旋轉90°，點A旋轉后的對應點是A1，則點A1的坐標是（﹣3，1）．【考點】坐標與圖形變化-旋轉．【分析】根據點（x，y）繞原點逆時針旋轉90°得到的坐標為（﹣y，x）解答即可．【解答】解：∵A、A1兩點是繞原點逆時針旋轉90°得到的，∴A1的坐標為（﹣3，1）．故答案為：（﹣3，1）．【點評】考查由旋轉得到的兩點的坐標的變換；用到的知識點為：點（x，y）繞原點逆時針旋轉90°得到的坐標為（﹣y，x）．13．一塊△ABC余料，已知AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，現將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是4πcm2．【考點】三角形的內切圓與內心．【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，然后利用面積法求得圓的半徑，最后利用圓的面積公式求解即可．【解答】解：∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，∴BC2=AB2+AC2．∴△ABC為直角三角形，∠A=90°．設△ABC的內切圓的半徑為rcm，則AB×AC=（AB+AC+BC）r，即×5×12=（5+12+13）r，解得：r=2，∴圓的最大面積是22π=4π（cm2）．故答案為：4π．【點評】本題主要考查的是三角形的內切圓與內心、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；明確三角形的面積=AB×AC=（AB+AC+BC）r是解題的關鍵．14．在一個不透明的袋子中，裝有9個大小和形狀一樣的小球，其中3個紅球，3個白球，3個黑球，它們已在口袋中被攪勻，現在有一個事件：從口袋中任意摸出n個球，在這n個球中，紅球、白球、黑球至少各有一個，則當n=7或8或9時，這個事件必然發生．【考點】隨機事件．【分析】根據隨機事件、必然事件和不可能事件的概念解答即可．【解答】解：當n=1或2時，紅球、白球、黑球至少各有一個，是不可能事件，當n=3或4或5或6時，紅球、白球、黑球至少各有一個，是隨機事件，當n=7或8或9時，紅球、白球、黑球至少各有一個，是必然事件，故答案為：7或8或9．【點評】本題考查的是隨機事件、必然事件和不可能事件的概念以及概率的計算，必然事件指在一定條件下一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．15．二次函數y=x2的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數y=x2的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為2．【考點】菱形的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題．【分析】連結BC交OA于D，如圖，根據菱形的性質得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得OD=BD，設BD=t，則OD=t，B（t，t），利用二次函數圖象上點的坐標特征得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，則BD=1，OD=，然后根據菱形性質得BC=2BD=2，OA=2OD=2，再利用菱形面積公式計算即可．【解答】解：連結BC交OA于D，如圖，∵四邊形OBAC為菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA=120°，∴∠OBD=60°，∴OD=BD，設BD=t，則OD=t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y=x2得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，∴BD=1，OD=，∴BC=2BD=2，OA=2OD=2，∴菱形OBAC的面積=×2×2=2．故答案為2．【點評】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形面積=ab（a、b是兩條對角線的長度）．也考查了二次函數圖象上點的坐標特征．16．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是矩形，AD∥x軸，A（﹣3，），AB=1，AD=2，將矩形ABCD向右平移m個單位，使點A，C恰好同時落在反比例函數y=的圖象上，得矩形A′B′C′D′，則反比例函數的解析式為y=．【考點】待定系數法求反比例函數解析式；坐標與圖形變化-平移．【分析】由四邊形ABCD是矩形，得到AB=CD=1，BC=AD=2，根據A（﹣3，），AD∥x軸，即可得到B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；根據平移的性質將矩形ABCD向右平移m個單位，得到A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），由點A′，C′在在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，得到方程（﹣3+m）=（﹣1+m），即可求得結果．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∵A（﹣3，），AD∥x軸，∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；∵將矩形ABCD向右平移m個單位，∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），∵點A′，C′在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，∴（﹣3+m）=（﹣1+m），解得：m=4，∴A′（1，），∴k=，∴反比例函數的解析式為：y=．故答案為y=．【點評】本題考查了矩形的性質，圖形的變換﹣平移，反比例函數圖形上點的坐標特征，求反比例函數的解析式，掌握反比例函數圖形上點的坐標特征是解題的關鍵．三、用心做一做，顯顯自己的能力！（本大題共8小題，滿分72分）17．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．【考點】解一元二次方程-因式分解法；等式的性質；解一元一次方程．【專題】計算題．【分析】把方程的左邊分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0，推出方程x﹣2=0，x+1=0，求出方程的解即可【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0，x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．【點評】本題主要考查對解一元二次方程，解一元一次方程，等式的選擇等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉換成一元一次方程是解此題的關鍵．18．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點，以點A為中心把△ADE順時針旋轉90°．（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；（2）若旋轉后E點的對應點記為M，點F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF．①求證：△AMF≌△AEF；②若正方形的邊長為6，AE=3，則EF=5．【考點】作圖-旋轉變換；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【專題】作圖題；證明題．【分析】（1）在CB的延長線上截取BM=DE，則△ABM滿足條件；（2））①由旋轉性質得AM=AE，∠MAE=90°，則∠MAF=∠EAF=45°，則可根據“SAS”判斷△AMF≌△AEF；②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理計算出DE=3，則CE=3，設EF=x，則BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32=x2，然后解方程求出x即可．【解答】（1）解：如圖，△ABM為所作；（2）①證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，∴AM=AE，∠MAE=90°，又∵∠EAF=45°，∴∠MAF=45°，∴∠MAF=∠EAF，在△AMF和△AEF中，∴△AMF≌△AEF；②解：∵△AMF≌△AEF，∴EF=MF，即ME=BF+MB，而BM=DE，∴EF=BF+DE，在Rt△ADE中，DE==3，∴CE=6﹣3=3，設EF=x，則BF=x﹣3，∴CF=6﹣（x﹣3）=9﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，解EF=5．故答案為5．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質．19．已知拋物線y=x2+（2k+1）+k2+1（k是常數）與x軸交于A（x1，0），A（x2，0）（x1＜x2）兩點．（1）求實數k的取值范圍．（2）O為坐標原點，若OA+OB=OA?OB，求k的值．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】（1）根據拋物線與x軸的交點問題可判斷方程x2+（2k+1）+k2+1的兩個實數解，利用判別式的意義得到△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；（2）根據根與系數的關系可k的范圍得到x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1?x2=k2+1＞0，則利用有理數的性質可判斷x1＜0，x2＜0，則OA=﹣x1，OB=﹣x2，所以2k+1=k2+1，解得k1=0，k2=2，然后根據（1）中k的范圍可確定k的值．【解答】解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點，∴方程x2+（2k+1）+k2+1的兩個實數解，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，∴k＞；（2）根據題意得x1、x2是方程x2+（2k+1）+k2+1的兩個實數解，且k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1?x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，OA?OB=﹣x1?（﹣x2）=x1?x2，∴2k+1=k2+1，整理得k2+2k=0，∴k1=0，k2=2，又∵k＞，∴k=2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題：把求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．熟練掌握根的判別式的意義和根與系數的關系是解決此題的關鍵．20．如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面積；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函數y=圖象上的兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并簡要說明理由．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【分析】（1）先把A點坐標代入y=可求得k1=8，則可得到反比例函數解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函數求得m，得到B點坐標，然后利用待定系數法確定一次函數解析式即可求得結果；（2）由（1）知一次函數y=k2x+b的圖象與y軸的交點坐標為（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=15；（3）根據反比例函數的性質即可得到結果．【解答】解：（1）∵反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1=8，B（﹣4，﹣2），解，解得；（2）由（1）知一次函數y=k2x+b的圖象與y軸的交點坐標為C（0，6），∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；（3）∵比例函數y=的圖象位于一、三象限，∴在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在不同的象限，∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，求三角形的面積，求函數的解析式，正確掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．21．4件同型號的產品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）從這4件產品中隨機抽取1件進行檢測，求抽到的是不合格品的概率；（2）從這4件產品中隨機抽取2件進行檢測，求抽到的都是合格品的概率；（3）在這4件產品中加入x件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢測，然后放回，多次重復這個試驗，通過大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？【考點】利用頻率估計概率；概率公式；列表法與樹狀圖法．【分析】（1）用不合格品的數量除以總量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用獨立事件同時發生的概率等于兩個獨立事件單獨發生的概率的積即可計算；（3）根據頻率估計出概率，利用概率公式列式計算即可求得x的值；【解答】解：（1）∵4件同型號的產品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）共有12種情況，抽到的都是合格品的情況有6種，P（抽到的都是合格品）==；（3）∵大量重復試驗后發現，抽到合格品的頻率穩定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．【點評】本題考查了概率的公式、列表法與樹狀圖法及用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中事件發生的頻率可以估計概率．22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）【考點】切線的判定；扇形面積的計算．【專題】壓軸題．【分析】（1）連接OD，根據平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據切線的判定推出即可；（2）①根據含有30°角的直角三角形的性質得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②根據S陰影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．【解答】解：（1）直線BC與⊙O相切；連結OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直線BC過半徑OD的外端，∴直線BC與⊙O相切．（2）設OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求圖形面積為．【點評】本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質，扇形的面積等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．23．某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產進行了調研，結果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．（1）一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價﹣成本）（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式；（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎？若該公司能在一個月內售出此種商品30000件，請你計算一下該公司在一個月內最少獲利多少元？【考點】二次函數的應用．【專題】數形結合．【分析】（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；（2）根據圖象特征拋物線的頂點為（6，4），可設拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）2+4，將點（3，1）代入可得出函數解析式．（3）根據利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運用函數性質計算利潤．【解答】解：（1）由圖象知：3月份每件商品售價6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售時的利潤為5元．（2）由圖知，拋物線的頂點為（6，4），故可設拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）2+4．∵拋物線過（3，1）點，∴a（3﹣6）2+4=1．解得．故拋物線的解析式為Q=﹣（t﹣6）2+4，即，其中t=3，4，5，6，7．（3）設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M=kt+b．∵線段經過（3，6）、（6，8）兩點，∴解得∴，其中t=3，4，5，6，7．故可得：一件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為：W=M﹣Q==．即，其中t=3，4，5，6，7．當t=5時，W有最小值為元，即30000件商品一個月內售完至少獲利=110000（元）．答：該公司一個月內至少獲利110000元．【點評】此題考查了二次函數的應用，及待定系數法求二次函數解析式的知識，難點在第3個問題：表示利潤，注意配方法求二次函數最值的應用，難度較大．24．如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．（1）求a、c的值．（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．（3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）先求出A（0，c），則OA=c，再根據等腰直角三角形的性質得OA=OB=OC=c，理由三角形面積公式得?c?2c=4，解得c=2，接著把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；（2）如圖1，先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=x+2，設F（t，t+2），利用拋物線平移的規律可設平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，則平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理計算出OF=10，接著根據拋物線與x軸的交點問題確定E（10，0），則OE=OF=10，于是可判斷△OEF為等腰三角形；（3）分類討論：當點Q在射線HF上，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，則可根據勾股定理計算出QH=2，于是可得Q點坐標為（6，2）；當點Q在射線AF上，如圖3，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，設Q（m，m+2），利用兩點間的距離公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102，解方程求出m的值即可得到Q點坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，∴A（0，c），則OA=c，∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=c，∴?c?2c=4，解得c=2，∴C（2，0），把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣；（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如圖1，設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得，解得，則直線AB的解析式為y=x+2，設F（t，t+2），∵拋物線y=﹣x2+2沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，頂點為F，∴平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣t）2+t+2，把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，∴平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）2+8，∴F（6，8），∴OF==10，令y=0，﹣（x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，∴OE=10，∴OE=OF，∴△OEF為等腰三角形；（3）存在．點Q的位置分兩種情形．情形一：點Q在射線HF上，當點P在x軸上方時，如圖2，∵∠EQP=90°，EP=EP，∴當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，而HE=10﹣6=4，∴QH==2，此時Q點坐標為（6，2）；當點P在x軸下方時，如圖3，有PQ=OE=10，過P點作PK⊥HF于點K，則有PK=6，在Rt△PQK中，QK===8，∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，∵∠PKQ=∠QHE=90°，∴△PKQ∽△QHE，∴，∴，解得QH=3，∴Q（6，3）．情形二、點Q在射線AF上，當PQ=OE=10時，如圖4，有QE=PO，∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標為10，當x=10時，y=x+2=12，∴Q（10，12）．當QE=OE=10時，如圖5，過Q作QM⊥y軸于點M，過E點作x軸的垂線交QM于點N．設Q的坐標為為（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4±，當x=4+時，如圖5，y=x+2=6+，∴Q（4+，6+），當x=4﹣時，如圖5，y=x+2=6﹣，∴Q（4﹣，6﹣），綜上所述，Q點的坐標為（6，2）或（6，3）或（10，12）或（4+，6+）或（4﹣，6﹣），使P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等．【點評】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數的性質、二次函數平移的規律和三角形全等的判定與性質；會利用待定系數法求函數解析式；記住兩點間的距離公式．人教版九年級上學期期末考試數學試卷（二）一、精心選一選，一錘定音．每小題3分，共30分．每小題只有一項是正確的．1．方程x2﹣4=0的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=42．在平面直角坐標系中，點A（l，3）關于原點O對稱的點A′的坐標為（）A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣3）3．下列函數中，當x＞0時，y的值隨x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=4．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為O.1”．下列說法正確的是（）A．抽10次獎必有一次抽到一等獎B．抽一次不可能抽到一等獎C．抽10次也可能沒有抽到一等獎D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎5．如圖，將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉15°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．6．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或67．如圖，直線AB、AD與⊙O相切于點B、D，C為⊙O上一點，且∠BCD=140°，則∠A的度數是（）A．70° B．105° C．100° D．110°8．已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的兩根，則x12+x22的值為（）A．3 B．5 C．7 D．49．如圖，在⊙O內有折線OABC，點B、C在圓上，點A在⊙O內，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，則AB的長為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，其對稱軸x=﹣1，給出下列結果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0；則正確的結論是（）A．①②⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①④⑤二、細心填一填，試試自己的身手．每小題3分，共18分．11．若x=2為一元二次方程x2﹣ax﹣2=0的一根，則a=．12．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是度．13．某校準備組織師生觀看北京奧運會球類比賽，在不同時間段里有3場比賽，其中2場是乒乓球賽，1場是羽毛球賽，從中任意選看2場，則選看的2場恰好都是乒乓球比賽的概率是．14．若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2﹣9x+8=0，則ABC的周長是．15．在同一平面直角坐標系內，將函數y=x2﹣3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到的圖象的頂點坐標為．16．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=上，第二象限的點B在反比例函數y=上，且OA⊥OB，∠A=30°，則k的值為．三、用心做一做，顯顯自己的能力．滿分72分．17．解下列方程．（1）（3x﹣1）（x﹣2）=2（2）2x2﹣1=3x．18．已知關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．19．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋轉后能與△DFA重合．（1）△BEA繞點時針旋轉度能與△DFA重合；（2）若AE=cm，求四邊形AECF的面積．20．為豐富學生的學習生活，某校九年級組織學生參加春游活動，所聯系的旅行社收費標準如下：春游活動結束后，該班共支付給該旅行社活動費用2800元，請問該班共有多少人參加這次春游活動？21．已知甲同學手中藏有三張分別標有數字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．（2）現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．22．如圖，以等腰△ABC的一腰AB上的點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O交底邊BC于點D．過D作⊙O的切線DE，交AC于點E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AB=BC=CA=2，問圓心O與點A的距離為多少時，⊙O與AC相切？23．某工廠生產一種合金薄板（其厚度忽略不計），這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5～50之間，每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與薄板的大小無關，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數據．薄板的邊長（cm）2030出廠價（元/張）5070（1）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數關系式；（2）40cm的薄板，獲得的利潤是26元（利潤=出廠價﹣成本價）．①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數關系式；②當邊長為多少時，出廠一張薄板獲得的利潤最大？最大利潤是多少？24．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．（1）求這個二次函數的表達式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．參考答案與試題解析一、精心選一選，一錘定音．每小題3分，共30分．每小題只有一項是正確的．1．方程x2﹣4=0的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4【考點】解一元二次方程-直接開平方法．【分析】先移項，然后利用數的開方解答．【解答】解：移項得x2=4，開方得x=±2，∴x1=2，x2=﹣2．故選C．【點評】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同號且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”；（2）運用整體思想，會把被開方數看成整體；（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．2．在平面直角坐標系中，點A（l，3）關于原點O對稱的點A′的坐標為（）A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣3）【考點】關于原點對稱的點的坐標．【分析】根據關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接得到答案．【解答】解：點A（l，3）關于原點O對稱的點A′的坐標為（﹣1，﹣3）．故選：D．【點評】此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規律．3．下列函數中，當x＞0時，y的值隨x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=【考點】二次函數的性質；一次函數的性質；反比例函數的性質．【分析】分別根據反比例函數與一次函數的性質進行解答即可．【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴對稱軸x=0，當x＞0時，y隨著x的增大而減小，故本選項錯誤；B、∵反比例函數y=﹣中，k=﹣1＜0，∴當x＞0時y隨x的增大而增大，故本選項正確；C、∵k＜0，∴y隨x的增大而減小，故本選項錯誤；D、∵k＞0，∴y隨著x的增大而增大，故本選項錯誤．故選B．【點評】本題考查了一次函數、反比例函數以及二次函數的性質，主要掌握二次函數、反比例函數、正比例函數的增減性（單調性），是解題的關鍵，是一道難度中等的題目．4．商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為O.1”．下列說法正確的是（）A．抽10次獎必有一次抽到一等獎B．抽一次不可能抽到一等獎C．抽10次也可能沒有抽到一等獎D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎【考點】概率的意義．【分析】根據概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現進行解答即可．【解答】解：根據概率的意義可得“抽到一等獎的概率為O.1”就是說抽10次可能抽到一等獎，也可能沒有抽到一等獎，故選：C．【點評】此題主要考查了概率的意義，概率是對事件發生可能性大小的量的表現．5．如圖，將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉15°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【考點】解直角三角形；等腰直角三角形；旋轉的性質．【專題】計算題．【分析】根據旋轉的性質可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的長度，再利用三角形的面積公式列式計算即可求解．【解答】解：根據題意，AC′=AC=1，∵∠B′AB=15°，∴∠BAC′=45°﹣15°=30°，∴C′D=AC′tan30°=，∴S陰影=AC′?C′D=×1×=．故選B．【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的兩直角邊相等，銳角等于45°的性質，是基礎題，難度不大．6．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止．點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒．如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6【考點】相似三角形的判定．【專題】動點型．【分析】根據相似三角形的性質，由題意可知有兩種相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求運動的時間是3秒或4.8秒．【解答】解：根據題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是x秒，①若△ADE∽△ABC，則AD：AB=AE：AC，即x：12﹣2x=x：6，解得：x=3；②若△ADE∽△ACB，則AD：AC=AE：AB，即x：12=12﹣2x：6，解得：x=4.8；所以當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒．故選B．【點評】此題考查了相似三角形的性質，解題時要注意此題有兩種相似形式，別漏解；還要注意運用方程思想解題．7．如圖，直線AB、AD與⊙O相切于點B、D，C為⊙O上一點，且∠BCD=140°，則∠A的度數是（）A．70° B．105° C．100° D．110°【考點】切線的性質；圓周角定理；圓內接四邊形的性質．【分析】過點B作直徑BE，連接OD、DE．根據圓內接四邊形性質可求∠E的度數；根據圓周角定理求∠BOD的度數；根據四邊形內角和定理求解．【解答】解：過點B作直徑BE，連接OD、DE．∵B、C、D、E共圓，∠BCD=140°，∴∠E=180°﹣140°=40°．∴∠BOD=80°．∵AB、AD與⊙O相切于點B、D，∴∠OBA=∠ODA=90°．∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．故選C．【點評】此題考查了切線的性質、圓內接四邊形性質、圓周角定理、四邊形內角和定理等知識點，難度中等．連接切點和圓心是解決有關切線問題時常作的輔助線．8．已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的兩根，則x12+x22的值為（）A．3 B．5 C．7 D．4【考點】根與系數的關系．【分析】首先，根據根與系數的關系求得x1+x2=，x1?x2=1；其次，對所求的代數式進行變形，變為含有兩根之和、兩根之積的形式的代數式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的兩根，∴x1+x2=，x1?x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1?x2=5﹣2=3．故選A．【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．9．如圖，在⊙O內有折線OABC，點B、C在圓上，點A在⊙O內，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，則AB的長為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考點】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】計算題．【分析】延長AO交BC于D，過O作BC的垂線，設垂足為E，根據∠A、∠B的度數易證得△ABD是等邊三角形，設AB的長為xcm，由此可表示出OD、BD和DE的長；在Rt△ODE中，根據∠ODE的度數，可得出OD=2DE，進而可求出x的值．【解答】解：延長AO交BC于D，作OE⊥BC于E，設AB的長為xcm，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB為等邊三角形；∴BD=AD=AB=x；∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：x=6．故選B．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質以及勾股定理的應用．解答此題時，通過作輔助線將半徑OB置于直角三角形OBE中，從而利用勾股定理求得．10．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，其對稱軸x=﹣1，給出下列結果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0；則正確的結論是（）A．①②⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①④⑤【考點】二次函數圖象與系數的關系．【分析】由拋物線與x軸的交點個數，可判斷b2﹣4ac；由開口方向、對稱軸的位置以及與y軸的交點，可判斷a，b，c的符號；由對稱軸x=﹣，可求得a與b的關系；由x=1時，y=a+b+c，x=﹣1時，y=a﹣b+c，可分別判斷其符號．【解答】解：①∵二次函數y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故正確；②∵開口向上，∴a＞0，∵﹣＜0，∴b＞0，∵交于y軸的負半軸，∴c＜0，∴abc＜0；故錯誤；③∵﹣=﹣1，∴b=2a，即2a﹣b=0；故錯誤；④當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，故正確；⑤∵當x=1時，y=a+b+c＞0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＞0；故正確．故選D．【點評】此題考查了二次函數的系數與圖象的關系．注意熟練掌握各判定方法，準確認識圖形是關鍵．二、細心填一填，試試自己的身手．每小題3分，共18分．11．若x=2為一元二次方程x2﹣ax﹣2=0的一根，則a=1．【考點】一元二次方程的解．【分析】根據方程的解的定義，把x=2代入已知方程，列出關于a的新方程，通過解新方程可以求得a的值．【解答】解：依題意，得22﹣2a﹣2=0，即﹣2a+2=0，解得，a=1．故答案是：1．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．12．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是150度．【考點】扇形面積的計算；弧長的計算．【專題】計算題．【分析】根據扇形的面積公式求出半徑，然后根據弧長公式求出圓心角即可．【解答】解：扇形的面積公式=lr=240πcm2，解得：r=24cm，又∵l==20πcm，∴n=150°．故答案為：150．【點評】此題主要是利用扇形的面積公式先求出扇形的半徑，再利用弧長公式求出圓心角．13．某校準備組織師生觀看北京奧運會球類比賽，在不同時間段里有3場比賽，其中2場是乒乓球賽，1場是羽毛球賽，從中任意選看2場，則選看的2場恰好都是乒乓球比賽的概率是．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式求出該事件的概率．【解答】解：由樹狀圖可知共有3×2=6種可能，選看的2場恰好都是乒乓球比賽的有2種，所以概率是．【點評】畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．14．若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2﹣9x+8=0，則ABC的周長是3或24或17．【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．【專題】計算題．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=8，然后分類討論：當三角形三邊都是1時，當三角形三邊都是8時，當三角形三邊為8、8、1時，再分別計算對應的周長即可．【解答】解：（x﹣1）（x﹣8）=0，x﹣1=0或x﹣8=0，所以x1=1，x2=8，當三角形三邊都是1時，三角形的周長為3；當三角形三邊都是8時，三角形的周長為24；當三角形三邊為8、8、1時，三角形的周長為17，所以ABC的周長為3或24或17．故答案為3或24或17．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了三角形三邊的關系．15．在同一平面直角坐標系內，將函數y=x2﹣3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到的圖象的頂點坐標為（2，﹣4）．【考點】二次函數圖象與幾何變換．【分析】根據函數圖象向左平移加，向右平移減，向上平移加，向下平移減，可得答案．【解答】解：將函數y=x2﹣3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到新函數解析式為y=（x﹣2）2﹣3﹣1，即y=（x﹣2）2﹣4，其頂點坐標為（2，﹣4），故答案為：（2，﹣4）．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．16．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=上，第二象限的點B在反比例函數y=上，且OA⊥OB，∠A=30°，則k的值為﹣．【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．設A（x，）（x＞0），由點A在反比例函數y=上可得ON?AN=，由tan∠A==，再證明△MBO∽△NOA，可得===，進而可得BM=ON，OM=AN，然后再利用反比例函數圖象上點的坐標特點可得k=﹣OM?BM=﹣ON×AN=﹣×=﹣．【解答】解：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M．∵第一象限內的點A在反比例函數y的圖象上，∴設A（x，）（x＞0），ON?AN=．∵∠A=30°，∴tan∠A==，∵OA⊥OB，∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，∴∠MBO=∠AON，∴△MBO∽△NOA，===，∴BM=ON，OM=AN．又∵第二象限的點B在反比例函數y=上，∴k=﹣OM?BM=﹣ON×AN=﹣×=﹣．故答案為﹣．【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握反比例函數圖象上的點，橫縱坐標之積等于k．三、用心做一做，顯顯自己的能力．滿分72分．17．解下列方程．（1）（3x﹣1）（x﹣2）=2（2）2x2﹣1=3x．【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】（1）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）3x2﹣7x=0，x（3x﹣7）=0，x=0或3x﹣7=0，所以x1=0，x2=；（2）2x2﹣3x﹣1=0，△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，x=，所以x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．18．已知關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．【考點】根與系數的關系；根的判別式．【專題】計算題．【分析】（1）方程有兩個實數根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范圍；（2）結合（1）中k的取值范圍，由題意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去絕對值號結合等式關系，可得出k的值．【解答】解：（1）由方程有兩個實數根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得，k≤；（2）依據題意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1?x2=k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1?x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．答：（1）k的取值范圍是k≤；（2）k的值是﹣3．【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種經常使用的解題方法；注意k的取值范圍是正確解答的關鍵．19．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋轉后能與△DFA重合．（1）△BEA繞A點逆時針旋轉90度能與△DFA重合；（2）若AE=cm，求四邊形AECF的面積．【考點】旋轉的性質．【分析】（1）根據旋轉的性質直接填空得出即可；（2）根據垂直的定義可得∠AEB=∠AEC=90°，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△ADF和△ABE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠F，全等三角形對應邊相等可得AE=AF，然后證明四邊形是矩形，再根據鄰邊相等的矩形是正方形可得四邊形AECF是正方形，然后根據正方形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：（1）△BEA繞A點逆（或順）時針旋轉90度（或270度）能與△DFA重合；故答案為：A，逆（或順）；90（或270度）；（2）∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵AB=AD，△BEA旋轉后能與△DFA重合，∴△ADF≌△ABE，∴∠AEB=∠F，AE=AF，∵∠C=90°，∴∠AEC=∠C=∠F=90°，∴四邊形AECF是矩形，又∵AE=AF，∴矩形AECF是正方形，∵AE=cm，∴四邊形AECF的面積為（）2=6（cm2）．【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的判定與性質，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小得到全等三角形，然后證明四邊形AECF是正方形是解題的關鍵．20．為豐富學生的學習生活，某校九年級組織學生參加春游活動，所聯系的旅行社收費標準如下：春游活動結束后，該班共支付給該旅行社活動費用2800元，請問該班共有多少人參加這次春游活動？【考點】一元二次方程的應用．【專題】閱讀型．【分析】先要根據付給旅行社的費用來判斷這次春游人數的大致范圍．然后根據相應范圍的不同的費用基數按方法來列出方程，求出符合題意的值．【解答】解：∵25人的費用為2500元＜2800元∴參加這次春游活動的人數超過25人．設該班參加這次春游活動的人數為x名，根據題意得[100﹣2（x﹣25）]x=2800整理得x2﹣75x+1400=0解得x1=40，x2=35當x1=40時，100﹣2（x﹣25）=70＜75，不合題意，舍去．當x2=35時，100﹣2（x﹣25）=80＞75，符合題意．答：該班參加這次春游活動的人數為35名．【點評】可根據題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．本題中根據工費用判斷人數的大致范圍是解題的基礎．21．已知甲同學手中藏有三張分別標有數字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．（2）現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．【考點】游戲公平性；根的判別式；列表法與樹狀圖法．【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．【解答】解：（1）畫樹狀圖得：∵（a，b）的可能結果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），∴（a，b）取值結果共有9種；（2）∵當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=7＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=2＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，當a=，b=1時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，當a=，b=3時，△=b2﹣4ac=8＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，當a=，b=2時，△=b2﹣4ac=3＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，當a=1，b=1時，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，當a=1，b=3時，△=b2﹣4ac=5＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，當a=1，b=2時，△=b2﹣4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=＞P（乙獲勝）=，∴這樣的游戲規則對甲有利，不公平．【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．22．如圖，以等腰△ABC的一腰AB上的點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O交底邊BC于點D．過D作⊙O的切線DE，交AC于點E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AB=BC=CA=2，問圓心O與點A的距離為多少時，⊙O與AC相切？【考點】切線的判定與性質；平行線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）連接OD，由切線性質求出OD⊥DE，根據等腰三角形性質求出∠B=∠ODB=∠C，推出OD∥AC，即可求出DE⊥AC．（2）作OF⊥AC于F，設AF=x，根據等邊三角形的性質求出∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，根據OA+OB=AB得出x+2x=2，求出x即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，又AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，又∵DE⊥OD，∴DE⊥AC．（2）解：過O作OF⊥AC于F，設AF=x，∵△ABC為等邊三角形，∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，由OA+OB=AB得：x+2x=2，解得：x=4﹣2，∴OA=2x=8﹣4，答：圓心O與點A的距離為8﹣4時，⊙O與AC相切．【點評】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，平行線的性質的應用，通過做此題培養了學生的推理能力和計算能力，題型較好，綜合性比較強．23．某工廠生產一種合金薄板（其厚度忽略不計），這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5～50之間，每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單