一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優化（5）巧用直線方向向量解題_第1頁
一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優化（5）巧用直線方向向量解題_第2頁
一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優化（5）巧用直線方向向量解題_第3頁
一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優化（5）巧用直線方向向量解題_第4頁
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例談圓錐曲線壓軸題破解之策與算法優化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應用的形式呈現，考察動態情形下的范圍、最值、定點、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數的關系法（主流方法）．設出動直線的方程（），與圓錐曲線方程聯立消元得到關于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數聯動變換法．此種方法有別于方法1，不聯立方程消元求解，而是直接將所設出點的坐標代入曲線（直線）方程和題設中，得到若干個關于點的坐標與參數間的關系式，對這些關系式進行整體變形整體代換而求解．如弦中點問題常用點差法處理．此種方法對多變量多參數的代數式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗．3、設點求點法．方法1、2均采用了設而不求的策略．當問題中直線與曲線的交點易求時，可考慮直接求出點的坐標進行求解，即設點求點法．如：動直線過曲線上一已知點時，則另一交點坐標可直接求出；再如動直線與橢圓的交點易求出．【雙曲線綜合題一例】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點為頂點的三角形的周長為.一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，且它的實軸長等于虛軸長，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和，其中在軸的同一側.(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；(2)是否存在題設中的點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1),(2)見解析【解析】(1)對于橢圓由題意可知,解得，從而于是橢圓方程為，雙曲線方程為.(2)【方法一】斜率單參+韋達法+巧用直線方向向量對于雙曲線易證得，故設設由得，則由得，則直線的方向向量為，故直線的方向向量為，故由于在軸的同一側，故若即整理得，即故，當時，直線方程為，與雙曲線方程聯立得則，故，代入直線方程得,故點,由對稱性知，滿足題意的點的坐標為.【方法二】韋達法+多參聯動+巧用數量積的定義及坐標運算設，則，因為點在雙曲線上，所以，設設由得，則由得，則由題意知：可得,所以又所以所以，即存在點.【點評】1.韋達法是解決圓錐曲線綜合問題的有力工具和主流方法.2.方法一巧用，將轉化為斜率的方程，屬通性通法；方法二結合

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