《第二十一章一元二次方程》同步練習第一部分：《第二十一章一元二次方程》自我小測21.2.1配方法復習鞏固1．方程x2－256＝0的根是()A．16B．－16C．16或－16D．14或－142．用直接開平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根為()A．x＝3＋B．x1＝3＋，x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋，x2＝3－3．以下的配方運算中，不正確的是()A．x2＋8x＋9＝0，化為(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化為C．x2－2x－99＝0，化為(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化為4．若將方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，則m，n的值分別是()A．3和5B．－3和5C．－3和14D．3和145．若x2＋6x＋a2是一個完全平方式，則a的值是()A．3B．－3C．±3D．6．用適當的數填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解為__________．8．當x＝__________時，代數式x2－8x＋12的值是－4.9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的兩邊長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一個實數根，則該三角形的面積是()A．24B．24或C．48D．12．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，則k的值為()A．±12B．－11或－12C．13D．13或－1113．當x取任意值時，代數式x2－4x＋9的最小值為()A．0B．9C．5D．414．在實數范圍內定義一種運算“※”：a※b＝a2－b，按照這個規則，(x＋3)※25的結果剛好為0，則x的值為__________．15．若(x2＋y2－5)2＝4，則x2＋y2＝__________.16．用配方法解方程(x－1)2－2(x－1)＋＝0.17．閱讀理解：解方程4x2－6x－3＝0.解：4x2－6x－3＝0，配方，得4x2－6x＋－－3＝0，即4x2－6x＋9＝12.故(2x－3)2＝12.即，以上解答過程出錯的原因是什么？請寫出正確的解答過程．參考答案復習鞏固1．C因為x2－256＝0，所以x2＝256.故x1＝16，x2＝－16，應選C.2．B因為(x－3)2＝8，所以x－3＝.故x1＝3＋，x2＝3－.3．A由x2＋8x＋9＝0，配方可得(x＋4)2＝7.4．C將x2－6x－5＝0配方，得(x－3)2＝14，對應(x＋m)2＝n，可得出m＝－3，n＝14.故選C.5．C原式＝x2＋6x＋9－9＋a2＝(x＋3)2＋(a2－9)，由其是一個完全平方式知a2－9＝0，得a＝±3.6．(1)(2)11(3)4b22b7．3或－2因為(2x－1)2－25＝0，所以(2x－1)2＝25.所以2x－1＝±5.所以x1＝3，x2＝－2.8．4因為據題意可得x2－8x＋12＝－4，所以x2－8x＋16＝0.所以(x－4)2＝0.所以x＝4.9．解：原式兩邊都除以6，移項得x2－＝2.配方，得，即因此或，所以，.10．解：原方程可化為x2＋8x＝16，配方，得x2＋8x＋42＝16＋42，即(x＋4)2＝32，所以x＋4＝.所以，.能力提升11．B解方程x2－16x＋60＝0，得x1＝10，x2＝6.根據三角形的三邊關系，知x1＝10，x2＝6均合題意．當三角形的三邊分別為6,8,10時，構成的是直角三角形，其面積為×6×8＝24；當三邊分別為6,6,8時，構成的是等腰三角形，根據等腰三角形的“三線合一”性質及勾股定理，可求得底邊上的高為，此時三角形的面積為.故選B.12．D因為4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，即k－1＝±12.所以k＝13或k＝－11.13．Cx2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5.因為(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值為5，即x2－4x＋9的最小值為5.14．2或－8由規則可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8.15．7或3由題意可知x2＋y2－5＝，即x2＋y2＝5±2，所以x2＋y2＝7或x2＋y2＝3.16．解：設x－1＝y，則原方程可化為y2－2y＋＝0.解得.因此x－1＝，即.故x1＝2＋，x2＝2－.17．解：錯在沒有把二次項系數化為1.正解：原式可化為，配方，得，即，，得，.自我小測21.2.2公式法第1課時復習鞏固1．一元二次方程2x2－3＝4x化為一般形式后，a，b，c的值分別為()A．2，－3,4B．2，－4，－3C．2,4，－3D．2，－3，－42．一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝－1，x2＝－4D．x1＝1，x2＝43．用公式法解方程x2－6x－6＝0，正確的結果是()A．x＝－3＋B．x＝－3－C．x＝－3±D．x＝3±4．用公式法解方程2t2＝8t＋3，得到()A．B．C．D．5．若兩個相鄰正奇數的積為255，則這兩個奇數的和是()A．30B．31C．32D．346．一元二次方程3x2＋5＝4x中，b2－4ac的值為__________．7．方程3x2－x－2＝0的解是____________．8．若關于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3＝0有一根為0，則m的值是__________．9．有一長方形的桌子，長為3m，寬為2m，一長方形桌布的面積是桌面面積的2倍，且將桌布鋪到桌面上時各邊垂下的長度相同，則桌布長為__________，寬為__________．10．用公式法解下列方程：(1)2x2＋8x－1＝0；(2)(x＋1)(x－1)＝.能力提升11．關于x的一元二次方程x2－m(3x－2n)－n2＝0中，二次項系數、一次項系數、常數項分別是()A．1,3mn,2mn－n2B．1，－3m,2mn－n2C．1，－m，－n2D．1,3m,2mn－n212．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0時，我們可以將x－1看成一個整體，設x－1＝y，則原方程可化為y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.當y＝1時，即x－1＝1，解得x＝2；當y＝4時，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解為x1＝2，x2＝5.則利用這種方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解為()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝－3，x2＝－1D．x1＝－1，x2＝－213．如果x2＋1與4x2－3x－5互為相反數，則x的值為__________．14．已知線段AB的長為a.以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB.取AB邊上一點E.以AE為邊在AB的上方作正方形AENM.過點E作EF⊥CD，垂足為F點．若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長為__________．15．解關于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．16．閱讀材料，回答問題．材料：為解方程x4－x2－6＝0，可將方程變形為(x2)2－x2－6＝0，然后設x2＝y，則(x2)2＝y2，原方程化為y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.當y＝－2時，x2＝－2無意義，舍去；當y＝3時，x2＝3，解得.所以原方程的解為，.問題：(1)在由原方程得到方程①的過程中，利用__________法達到了降次的目的，體現了__________的數學思想．(2)利用上述的解題方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.參考答案復習鞏固1．B2．A因為a＝1，b＝3，c＝－4，b2－4ac＝32－4×1×(－4)＝25，所以.所以x1＝1，x2＝－4.3．D因為a＝1，b＝－6，c＝－6，b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以.4．A原方程可化為2t2－8t－3＝0.因為a＝2，b＝－8，c＝－3，b2－4ac＝(－8)2－4×2×(－3)＝88，所以.5．C設這兩個正奇數分別為x，x＋2(x＞0)，則x(x＋2)＝255.解得x1＝15，x2＝－17(舍去)．故這兩個奇數的和為15＋17＝32.6．－44原方程可化為3x2－4x＋5＝0，故b2－4ac＝(－4)2－4×3×5＝－44.7．，8．－3由題意，得m2＋2m－3＝0，且m－1≠0.解得m＝－3.9．4m3m桌布的面積為3×2×2＝12(m2)．設垂下的長度為x，則(3＋2x)(2＋2x)＝12，解得.故桌布的長為4m，寬為3m.10．解：(1)a＝2，b＝8，c＝－1，代入公式，得，.(2)原方程化簡得x2－－1＝0，a＝1，，c＝－1，代入公式，得，.能力提升11．B原方程可化為x2－3mx＋2mn－n2＝0.故選B.12．D由題意可知，這種解方程的方法為整體代入法，設2x＋5＝y，則(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0可化為y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.當y＝1時，即2x＋5＝1，解得x＝－2；當y＝3時，即2x＋5＝3，解得x＝－1.所以方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解為x1＝－1，x2＝－2.13．或由題意，得＋1＋4x2－3x－5＝0，解得或.14．設AE的長為x，則BE的長為a－x，根據題意，得x2＝(a－x)·a.解得.故AE的長為.15．解：將原方程化為一般形式為x2－3mx＋(2m2－mn－n2)＝0.因為a＝1，b＝－3m，c＝2m2－mn－n2，所以b2－4ac＝(－3m)2－4×1×(2m2－mn－n2)＝m2＋4mn＋4n2＝(m＋2n)2≥0.所以.所以x1＝2m＋n，x2＝m－n.16．解：(1)換元轉化(2)令x2－x＝y，則原方程可化為y2－4y－12＝0.因為a＝1，b＝－4，c＝－12，所以b2－4ac＝16－4×1×(－12)＝64＞0.所以，即y1＝－2，y2＝6.當y＝－2時，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程無解；當y＝6時，x2－x＝6，解得x1＝－2，x2＝3.所以原方程的解為x1＝－2，x2＝3.自我小測21.2.2公式法第2課時復習鞏固1．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情況是()A．有兩個相等的實數根B．有兩個不相等的實數根C．只有一個實數根D．無實數根2．下列方程中，有兩個相等實數根的是()A．x2－＋5＝0B．2x2＋4x＋35＝0C．2x2－15x－50＝0D．3．一元二次方程x2＋4x＋c＝0中，c＜0，該方程的根的情況是()A．沒有實數根B．有兩個不相等的實數根C．有兩個相等的實數根D．不能確定4．若關于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有兩個相等的實數根，則m的值是()A．0B．8C．4±D．0或85．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有兩個實數根，則a的值可以是()A．0B．1C．2D．36．若關于x的方程x2＋x－1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是()A．k＞－1B．k≥－1C．k＞1D．k≥07．關于x的一元二次方程x2－ax＋(a－1)＝0的根的情況是__________．8．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有實數根，則k的取值范圍是__________．9．當k取何值時，關于x的一元二次方程x2－4x＋k－5＝0(1)有兩個不相等的實數根；(2)有兩個相等的實數根；(3)沒有實數根．能力提升10．對于關于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列說法正確的是()A．當k＝0時，方程無解B．當k＝1時，方程有一個實數解C．當k＝－1時，方程有兩個相等的實數解D．當k≠0時，方程總有兩個不相等的實數解11．已知a，b，c是△ABC三邊的長，且關于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的兩根相等，則三角形的形狀是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．銳角三角形12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍為__________．13．若關于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有實數根，則整數a的最大值是__________．14．證明不論m為何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0總有兩個不相等的實數根．15．已知關于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整數)．(1)求證：該方程有兩個不相等的實數根．(2)若此方程的兩個實數根分別為x1，x2(x1＜x2)，設y＝x2－x1，判斷y是否為變量k的函數？如果是，請寫出函數解析式；若不是，請說明理由．參考答案復習鞏固1．D因為Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程無實數根．2．A3．B由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此該方程有兩個不相等的實數根．4．D由題意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故選D.5．D由題意，得(－a)2－4×1×2≥0.化簡，得a2≥8.四個選項中滿足a2≥8的只有3，故選D.6．D由題意得解得k≥0.7．有實數根因為Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有實數根．8．k≤4，且k≠0由|b－1|＋＝0，得a＝4，b＝1.故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.因為該方程有實數根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.解得k≤4，且k≠0.9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.(1)因為方程有兩個不相等的實數根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.(2)因為方程有兩個相等的實數根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.(3)因為方程沒有實數根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.能力提升10．C當k＝0時，方程變為x－1＝0，x＝1.故選項A錯誤．當k＝1時，方程變為x2－1＝0，方程有兩個實數解x1＝1，x2＝－1.故選項B錯誤；當k＝－1時，方程變為－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故選項C正確，選項D錯誤．故選C.11．B原方程可變形為(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.依題意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.整理，得b2＋c2＝a2.所以此三角形是直角三角形．故選B.12．，且a≠0因為方程ax2－2x＋4＝0有兩個不相等的實數根，所以4－16a＞0，解得.因為ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0.13．8討論：(1)若a＝6，則原方程變為－8x＋6＝0.此時.(2)若a≠6，則b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得.綜上，.故整數a的最大值為8.14．證明：因為b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，所以不論m為何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0總有兩個不相等的實數根．15．(1)證明：因為k是整數，所以.所以2k－1≠0.因為b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有兩個不相等的實數根．(2)解：y是k的函數．解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得.所以x＝3或x＝1＋.因為k是整數，k≠0，所以.所以1＋≤2＜3.又因為x1＜x2，所以x1＝1＋，x2＝3.所以.自我小測21.2.3因式分解法復習鞏固1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－12．一元二次方程x2－x＋＝0的根是()A．，B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝D．x1＝x2＝3．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，較為簡便的方法是()A．直接開平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法4．方程x(x－4)＝32－8x的解是()A．x＝－8B．x1＝4，x2＝－8C．x1＝－4，x2＝8D．x1＝2，x2＝－85．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成兩個一元一次方程，下列分解中正確的是()A．x－5＝0，x＋2＝0B．x－1＝3，x－2＝4C．x－1＝2，x－2＝6D．x＋5＝0，x－2＝06．如果方程x2＋mx－2m＝0的一個根為－1，那么方程x2－6mx＝0的根為()A．x＝2B．x＝0C．x1＝2，x2＝0D．以上答案都不對7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．8．如果代數式3x2－6的值為21，那么x的值為__________．9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一個根，則m的值是__________．10．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.能力提升11．已知關于x的方程x2＋px＋q＝0的兩根為x1＝3，x2＝－4，則二次三項式x2＋px＋q可分解為()A．(x＋3)(x－4)B．(x－3)(x＋4)C．(x＋3)(x＋4)D．(x－3)(x－4)12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0時，將左邊分解后有一個因式為x＋1，則m的值為()A．7B．－7C．6D．－613．定義新運算“”如下：當a≥b時，ab＝ab＋b；當a＜b時，ab＝ab－a.若(2x－1)(x＋2)＝0，則x＝__________.14．按指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2－32＝0(直接開平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．15．小張和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小張將方程左邊分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的兩個解為，x2＝6.小林的解法是這樣的：移項，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程兩邊都除以(3x＋2)，得x＝6.小林說：“我的方法多簡便！”可另一個解哪里去了？小林的解法對嗎？你能解開這個謎嗎？16．有一大一小兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形邊長的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形面積的2倍少32cm2，求這兩個正方形的邊長．參考答案復習鞏固1．C由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.故選C.2．D因為x2－x＋＝0，即，所以x1＝x2＝.3．B4．B移項，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.5．A原方程可化為x2－3x－10＝0，即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0.6．C因為x2＋mx－2m＝0的一個根為－1，所以(－1)2－m－2m＝0，得.所以方程x2－6mx＝0即為x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0.7．x1＝－2，x2＝3移項，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.8．±3由題意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.9．0或4把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解這個方程，得m1＝0，m2＝4.10．解：(1)因為將原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，(7x＋5)(－x－7)＝0，所以7x＋5＝0或－x－7＝0.所以，x2＝－7.能力提升11．B因為方程x2＋px＋q＝0的兩根為x1＝3，x2＝－4，所以x2＋px＋q＝(x－3)[x－(－4)]＝(x－3)(x＋4)．12．C由題意可得x＋1＝0，則x＝－1，即方程x2－mx－7＝0有一個解為－1.因此(－1)2－m×(－1)－7＝0.故m＝6.13．－1或若2x－1＜x＋2，此時x＜3.根據定義，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)－(2x－1)＝0，解得x1＝－1，，這兩個解均符合題意．若2x－1≥x＋2，此時x≥3.根據定義，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)·(x＋2)＋(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，這兩個解均不符合題意．綜上所述，x＝－1或.14．解：(1)將原方程整理，得(2x－1)2＝64，開平方，得2x－1＝±8,2x＝1±8，，所以，.(2)將原方程移項，得3x2＋4x＝－1，方程兩邊同時除以3，得，配方，得，即，，.所以，.(3)因為b2－4ac＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以，即，.(4)原方程可化為x2－1－3x＋3＝0，即(x＋1)(x－1)－3(x－1)＝0，(x－1)(x＋1－3)＝0，于是x－1＝0或x－2＝0，所以x1＝1，x2＝2.15．解：小林的解法不對，因為3x＋2可能為0，等式兩邊不能同時除以一個等于零的整式．16．解：設大正方形的邊長為xcm，根據題意，得－x2＝32.整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合題意，舍去)．因此16×＋4＝12(cm)．答：大正方形的邊長為16cm，小正方形的邊長為12cm.自我小測21.2.4一元二次方程的根與系數的關系復習鞏固1．下列方程中，兩個實數根之和為2的一元二次方程是()A．x2＋2x－3＝0B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0D．x2＋2x＋3＝02．設一元二次方程x2－2x－4＝0的兩個實根為x1和x2，則下列結論正確的是()A．x1＋x2＝2B．x1＋x2＝－4C．x1x2＝－2D．x1x2＝43．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的兩根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，則a，b的值分別是()A．a＝－3，b＝1B．a＝3，b＝1C．，b＝－1D．，b＝14．若一元二次方程x2＋kx－3＝0的一個根是x＝1，則該方程的另一個根是()A．3B．－1C．－3D．－25．已知方程x2－5x＋2＝0的兩個根分別為x1，x2，則x1＋x2－x1x2的值為()A．－7B．－3C．7D．36．已知m，n是方程x2＋＋1＝0的兩根，則代數式的值為()A．9B．±3C．3D．57．已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，則x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.8．若方程x2－2x＋a＝0的一個根是3，則該方程的另一個根是__________，a＝__________.9．若x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個實數根，則x21＋3x1x2＋x22的值為__________．10．已知方程x2＋3x－1＝0的兩實數根為α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3).能力提升11．關于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的兩個實數根分別是x1，x2，且x12＋x22＝7，則(x1－x2)2的值是()A．1B．12C．13D．2512．若關于x的一元二次方程x2＋(m2－9)x＋m－1＝0的兩個實數根互為相反數，則m的值是__________．13．設a，b是方程x2＋x－2015＝0的兩個不相等的實數根，則a2＋2a＋b的值為__________．14．在解方程x2＋px＋q＝0時，小張看錯了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯了q，解得方程的根為4與－2.這個方程正確的根應該是什么？15．已知關于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有兩個實數根x1，x2.(1)求k的取值范圍；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．16．閱讀材料：已知p2－p－1＝0,1－q－q2＝0，且pq≠1，求的值．解：由p2－p－1＝0,1－q－q2＝0，可知p≠0，q≠0.又因為pq≠1，所以p≠.所以1－q－q2＝0可變形為.所以p與是方程x2－x－1＝0的兩個不相等的實數根．故p＋＝1，即＝1.根據閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．已知2m2－5m－1＝0，，且m≠n，求的值．參考答案復習鞏固1．C選項B中的方程無實數根．本題易誤選為B.2．A3．D由根與系數的關系知，x1＋x2＝－2a，x1x2＝b.因此－2a＝3，b＝1，即，b＝1.故選D.4．C設方程的另一個根為x1，由x1·1＝－3，得x1＝－3.5．D由根與系數的關系，得x1＋x2＝5，x1x2＝2.故x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.6．C根據一元二次方程的根與系數的關系，得m＋n＝，mn＝1.故.7．4－78．－1－3設方程的另一個根是x1，則解得x1＝－1，a＝－3.9．7x12＋3x1x2＋x22＝(x1＋x2)2＋x1x2＝32＋(－2)＝7.10．解：因為α，β是方程x2＋3x－1＝0的兩個實數根，所以α＋β＝－3，αβ＝－1.(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.(3).能力提升11．C由根與系數的關系，得x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，則(x1－x2)2＝－2x1x2＝7－2(2m－1)＝9－4m；又因為(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－4(2m－1)，所以9－4m＝m2－8m＋4，解得m1＝5，m2＝－1.當m＝5時，Δ＜0，故m＝－1.此時(x1－x2)2＝9－4×(－1)＝13.12．－3由根與系數的關系，得－(m2－9)＝0，解得m＝±3.但當m＝3時，原方程無實根，故m＝－3.13．2014因為a，b是方程x2＋x－2015＝0的兩個不相等的實數根，故由根與系數的關系可得a＋b＝－1①，由根的定義，得a2＋a－2015＝0，即a2＋a＝2015②.再由①＋②得a2＋2a＋b＝2014.14．解：由題意，得1×(－3)＝q,4＋(－2)＝－p.從而可得p＝－2，q＝－3.因此原方程為x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.故這個方程正確的根為3與－1.15．解：(1)依題意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得.(2)依題意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分兩種情況討論：①當x1＋x2≥0時，則有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因為，所以k1＝k2＝1不合題意，舍去．②x1＋x2＜0時，則有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.因為，所以k＝－3.綜合①②可得k＝－3.16．解：由2m2－5m－1＝0知m≠0.因為m≠n，所以.所以.根據與的特征，可知與是方程x2＋5x－2＝0的兩個不相等的實數根．所以根據根與系數的關系，得.自我小測21.3實際問題與一元二次方程第1課時復習鞏固1．某種襯衣原價168元，連續兩次降價a%后售價為128元．下面所列方程中正確的是()A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝1282．某農機廠4月份生產零件50萬個，第二季度共生產零件182萬個．設該廠5,6月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是()A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1823．初中畢業時，九年級(1)班的每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送1張留作紀念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為()A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070C．2x(x＋1)＝2070D．＝20704．某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出相同數目的小分支，若小分支、支干和主干的總數目是73，則每個支干長出的小分支的數目為()A．7B．8C．9D．105．蘭州市政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調藥品的價格，某種藥品經過兩次降價，由每盒72元調至56元．若每次平均降價的百分率為x，由題意可列方程為__________．6．一個多邊形有9條對角線，則這個多邊形的邊數為__________．7．某種商品的進價為10元，當售價為x元時，能銷售該商品(x＋10)個，此時獲利1500元，則該商品的售價為__________元．8．一個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個兩位數的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來兩位數的乘積為736，求原來的兩位數．能力提升9．一個兩位數等于它的個位數的平方，且個位數字比十位數字大3，則這個兩位數為()A．25B．36C．25或36D．－25或3610．用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板．隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子的長度后一次為前一次的k(0＜k＜1)倍．已知一個釘子受擊3次后恰好全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，設鐵釘的長度為1，那么符合這一事實的一個方程是()A．B．C．D．11．某市為了增強學生體質，開展了乒乓球比賽活動．部分同學進入了半決賽，賽制為單循環式(即每兩個選手之間都賽一場)，半決賽共進行了6場，則共有__________人進入半決賽．12．某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？13．山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：(1)每千克核桃應降價多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？14．據統計，某小區2017年底擁有私家車125輛，2019年底私家車的擁有量達到180輛．(1)若該小區2017年底到2020年底私家車擁有量的年平均增長率相同，則該小區到2020年底私家車將達到多少輛？(2)為了緩解停車矛盾，該小區決定投資3萬元再建若干個停車位，據測算，建造費用分別為室內車位1000元/個，露天車位200元/個．考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，則該小區最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案．參考答案復習鞏固1．B2.B3．A由題意可知，每名同學都送出(x－1)張照片，所以全班共送出x(x－1)張照片，于是有x(x－1)＝2070.故選A.4．B設每個支干長出n個小分支，則據題意得1＋n＋n2＝73，解得n＝8.5．72(1－x)2＝566．6設這個多邊形的邊數為n，則，解得n＝6.7．40由題意，得x(x＋10)－10(x＋10)＝1500.解得x1＝40，x2＝－40(舍去)．8．解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為5－x.根據題意，得[10x＋(5－x)]·[10(5－x)＋x]＝736.整理，得x2－5x＋6＝0.解得x1＝2，x2＝3.當x＝2時，5－x＝3，符合題意，原來的兩位數是23.當x＝3時，5－x＝2，符合題意，原來的兩位數是32.答：原來的兩位數是23或32.能力提升9．C設這個兩位數的十位數字為x，則個位數字為x＋3.依題意，得10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝3.故這個兩位數為25或36.10．A第一次進入木板的鐵釘長度為，第二次進入木板的鐵釘長度為，第三次進入木板的鐵釘長度為，所以.故選A.11．4設共有n人進入半決賽，則需進行場比賽．因此n(n－1)＝6，解得n＝4或n＝－3(舍去)．12．解：設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意，得1＋x＋(1＋x)x＝81.(1＋x)2＝81.x＋1＝9，或x＋1＝－9.解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700.答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染的電腦會超過700臺．13．解：(1)設每千克核桃應降價x元，根據題意，得(60－x－40)＝2240.化簡，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.答：每千克核桃應降價4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降價4元或6元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應降價6元．此時，售價為60－6＝54(元)，×100%＝90%.答：該店應按原售價的九折出售．14．解：(1)設私家車擁有量的年平均增長率為x，則125(1＋x)2＝180，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．故180(1＋20%)＝216(輛)．答：該小區到2020年底私家車將達到216輛．(2)設該小區可建室內車位a個，露天車位b個，則由①得b＝150－5a，代入②得20≤a≤，因為a是正整數，所以a＝20或21.當a＝20時，b＝50；當a＝21時，b＝45.所以方案一：建室內車位20個，露天車位50個；方案二：建室內車位21個，露天車位45個．自我小測21.3實際問題與一元二次方程第2課時復習鞏固1．一個直角三角形的面積是30，其兩直角邊的和是17，則其斜邊長為()A．17B．26C．30D．132．從正方形鐵片上截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是()A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm23．在一幅長60cm、寬40cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是2816cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()A．(60＋x)(40＋2x)＝2816B．(60＋x)(40＋x)＝2816C．(60＋2x)(40＋x)＝2816D．(60＋2x)(40＋2x)＝28164．要用一根鐵絲圍成一個面積為120cm2的長方形，并使長比寬多2cm，則長方形的長是______cm.5．如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動__________m.6．若一直角三角形的三條邊長為三個連續偶數，且面積為24cm2，則此三角形的三條邊長分別為__________．7．今要對一塊長60m、寬40m的矩形荒地ABCD進行綠化和硬化，設計方案如圖所示，已知矩形P，Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等．若使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的，求P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．8．某超市將進價為40元的商品按50元出售，每天可賣500件．如果這種商品每漲價1元，那么其銷售量就減少10件．超市若靠賣這種商品每天賺得8000元的利潤，應把這種商品的售價定為每件多少元？能力提升9．如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點均位于某兩網格線的交點上，若灰色三角形面積為m2，則此方格紙的面積為()A．11m2B．12m2C．13m2D．14m210．把一塊長與寬之比為2∶1的鐵皮的四角各剪去一個邊長為10cm的小正方形，折起四邊，可以做成一個無蓋的盒子．如果這個盒子的容積是1500cm3，那么鐵皮的長和寬各是多少？若設鐵皮的寬為xcm，則正確的方程是()A．(2x－20)(x－20)＝1500B．(2x－10)(x－20)＝1500C．10(2x－20)(x－20)＝1500D．10(x－10)(x－20)＝150011．有一個菱形水池，它的兩條對角線的差為2cm，水池的邊長是5cm，則這個菱形水池的面積為__________．12．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？13．如圖，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，點Q以2cm/s的速度向點D移動．當點P運動到點B停止時，點Q也隨之停止運動．問幾秒時點P和點Q的距離是10cm?參考答案復習鞏固1．D設一直角邊長為x，則另一直角邊長為17－x，由題意，得x(17－x)＝30.解得x1＝5，x2＝12.根據勾股定理得斜邊長為＝13.2．D設正方形的邊長為xcm，則依題意，得x(x－2)＝48.解得x1＝8，x2＝－6(舍去)．故原正方形的面積是82＝64(cm2)．3．D4．12設寬為xcm，則依題意，得x(x＋2)＝120，解得x1＝10，x2＝－12(舍去)．故x＋2＝10＋2＝12.5．－6設梯子的底端滑動xm，據題意得72＋(x＋6)2＝102，解得x＝－6.6．6,8,10設三條邊長分別為x－2，x，x＋2，則依題意，得(x－2)2＋x2＝(x＋2)2，解得x1＝8，x2＝0(舍去)．故三條邊長分別為6,8,10.7．解：設P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為xm，根據題意，得(40－2x)(60－3x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30(不符合題意，舍去)．所以，兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為10m.8．解：設應把這種商品的售價定為每件(50＋x)元，則每件商品的利潤為[(50＋x)－40]元，每天的銷售量為(500－10x)件．根據題意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8000.解得x1＝10，x2＝30.所以每天要賺得8000元的利潤，應把這種商品的售價定為每件60元或80元．能力提升9．B設方格紙的邊長是xm，根據題意，得，x2＝12.所以方格紙的面積是12m2.10．C這個盒子的長、寬、高分別是(2x－20)cm，(x－20)cm，10cm，所以應選C.11．24cm2設這個菱形水池的兩條對角線分別為xcm，(x＋2)cm，則依題意，得，解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．故這個菱形水池的面積是x(x＋2)＝×6×8＝24(cm2)．12．解：設每件襯衫降價x元，依題意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10(元)，x2＝20(元)，因為要盡快減少庫存，所以x＝10(元)舍去．答：每件襯衫應降價20元．13．解：設ts后，點P和點Q的距離是10cm，則AP＝3tcm，CQ＝2tcm.過點P作PE⊥CD于點E，所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.解這個方程，得，.答：P，Q兩點從出發開始到s或s時，點P和點Q的距離是10cm.《第二十一章一元二次方程》單元小測復習鞏固1．下列選項中是一元二次方程的為()A．x2＋2x－3B．x2＋3＝0C．(x2＋3)2＝9D．x＋＝42．方程的二次項系數與一次項系數及常數項之積為()A．3B．C．D．－93．把方程化為一元二次方程的一般形式是()A．5x2－4x－4＝0B．x2－5＝0C．5x2－2x＋1＝0D．5x2－4x＋6＝04．若x＝2是關于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一個解，則m的值是()A．6B．5C．2D．－65．在某次聚會上，每兩人互相握一次手，所有人共握手10次，若設有x人參加這次聚會，則下列方程正確的是()A．x(x－1)＝10B．C．x(x＋1)＝10D．6．一元二次方程2x2＋4x－1＝0的二次項系數、一次項系數及常數項之和為__________．7．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一個根，則m2＋2mn＋n2的值為__________．8．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項、二次項系數、一次項、一次項系數及常數項．9．已知方程(m＋4)x|m|－2＋8x＋1＝0是一元二次方程，求m的值．10．根據題意，列出方程：(1)一個三角形的底比高多2cm，三角形面積是30cm2，求這個三角形的底和高；(2)兩個連續正整數的平方和是313，求這兩個正整數．能力提升11．下列方程化為一般形式后，常數項為零的方程是()A．5x－3＝2x2B．(2x－1)(2x＋4)＝－4C．(3x－1)(2x＋4)＝1D．(x＋3)(x＋2)＝－612．定義：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)滿足a＋b＋c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“鳳凰”方程，且有一個解為－1，則下列結論正確的是()A．a＝c，b＝1B．a＝b，c＝0C．a＝－c，b＝0D．a＝b＝c13．某生物興趣小組的學生將自己收集的標本向本組其他成員各贈送1本，全組共互贈了182本．若設全組有x名同學，則根據題意列出的方程是()A．x(x＋1)＝182B．x(x－1)＝182C．2x(x＋1)＝182D．x(x－1)＝182×214．關于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0.當m__________時，是一元一次方程；當m__________時，是一元二次方程．15．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根為1，且a，b滿足等式，則此一元二次方程是__________．16．已知關于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．17．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個解，且a≠b，求的值．18．若2是關于x的方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一個根，求以2和k為兩邊長的等腰三角形的周長．參考答案復習鞏固1．B選項A是整式，不是方程；選項C中未知數x的最高次數是4，不是一元二次方程；選項D不是整式方程，也不是一元二次方程，只有選項B滿足一元二次方程的三個條件．故選B.2．D題中方程的二次項系數與一次項系數及常數項之積為.故選D.3．A4．A把x＝2代入，得4－2m＋8＝0，解得m＝6.5．B由于每兩人握一次手，所以這x個人中每個人都握了(x－1)次手，由于任何兩人之間只握了一次手，所以x個人共握手次．6．5題中方程的二次項系數、一次項系數及常數項之和為2＋4－1＝5.7．1把x＝1代入一元二次方程x2＋mx＋n＝0，得1＋m＋n＝0，即m＋n＝－1.故m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝(－1)2＝1.8．解：原方程化為一般形式是5x2＋8x－2＝0，其中二次項是5x2，二次項系數是5，一次項是8x，一次項系數是8，常數項是－2.9．解：由題意，得解得m＝4.10．解：(1)設三角形的高為xcm，根據題意，可得方程x(x＋2)＝60；(2)設兩個連續的正整數分別為x，x＋1.根據題意，可得方程x2＋(x＋1)2＝313.能力提升11．B12．C因為－1是方程的解，所以有a－b＋c＝0.又因為a＋b＋c＝0，所以解得a＝－c，b＝0.故選C.13．B每名同學贈送標本(x－1)本，故x名同學共互贈標本x(x－1)本，所以x(x－1)＝182.14．＝4≠±4當時，題中方程是一元一次方程，解得m＝4.當m2－16≠0時，題中方程是一元二次方程，解得m≠±4.15．2x2－x－1＝0由題意，得a＝2，b＝－1.把a＝2，b＝－1代入a＋b＋c＝0，得c＝－1.故ax2＋bx＋c＝0為2x2－x－1＝0.16．解：由題意，得解得k＝－3.故不等式為－3x－2×(－3)＋6≤0，即－3x＋12≤0，解得x≥4.點撥：解答本題的關鍵是求出k的值．根據一元二次方程的定義求解，注意隱含條件a≠0.17．解：把x＝1代入方程，得a＋b＝40，因為a≠b，所以.點撥：解答本題要注意兩點：(1)先將化簡；(2)將a＋b＝40整體代入．18．解：把x＝2代入原方程得4－2(3＋k)＋12＝0，解得k＝5.(1)當以2為腰長時，三邊長為2,2,5，此時，2＋2＜5，所以不能組成三角形，即2不能為三角形的腰長．(2)當以5為腰長時，三邊長為2,5,5，此時，能夠組成三角形，所以三角形的周長為5＋5＋2＝12.第二部分：《第二十一章一元二次方程》基礎練習基礎知識反饋卡·21.1時間：10分鐘滿分：25分一、選擇題(每小題3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是關于x的一元二次方程，則()A．a≠0B．a≠1C．a＝1D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次項的系數為1，一次項的系數為－1，則m的值為()A．－1B．1C．－2D．2二、填空題(每小題4分，共12分)3．方程(