2.2等差數列的前n項和8種常見考法歸類課程標準學習目標1.探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關系．2．能在具體問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題．1.了解等差數列前n項和公式的推導過程．(邏輯推理、數學運算)2．掌握有關a1，an，d，n，Sn的基本運算．(數學運算)3．能利用等差數列的通項公式、前n項和公式解決最值問題、實際問題等．(數學建模、數學運算)知識點01等差數列的前n項和公式已知量首項，末項與項數首項，公差與項數求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數列的前n和公式的推導對于一般的等差數列{an}，如何求其前n項和Sn？設其首項為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過程實際上用到了等差數列性質里面的首末“等距離”的兩項的和相等．我們不妨將上面的推導方法稱為倒序相加求和法.今后，某些數列求和常常會用到這種方法．(2)公式的結構①Sn＝na②Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?(3)等差數列{an}的前n項和公式的函數特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當d≠0時，Sn關于n的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標為正整數的一系列孤立的點．且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.【即學即練1】設等差數列的前n項和為．(1)已知，，求；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【解析】(1)等差數列中，，，，解得，．．(2)等差數列中，，，，即得，解得．(3)等差數列中，，，，解得，，．(4)等差數列中，，，，，成等差數列，，即，解得．【即學即練2】設是等差數列的前n項和為，若，，則______．【解析】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，所以，故答案為：2知識點02等差數列前n項和的性質（1）等差數列被均勻分段求和后，得到的數列仍是等差數列，即SKIPIF1<0成等差數列，公差為n2d；（2）設數列是等差數列，且公差為，（Ⅰ）若項數為偶數2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項數為奇數，設共有項，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項)；②.等差數列中，,則,.注：在等差數列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數列，且前項和分別為與，則.（5）若{an}是等差數列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；【即學即練3】在等差數列中，若，則數列的前項和（

）A．15 B．20 C．30 D．35【解析】.故選：D【即學即練4】在前n項和為的等差數列中，，，則______．【解析】由等差數列片段和性質：成等差數列，所以，故.故答案為：27【即學即練5】等差數列中，，前項和為，若，則______.【解析】設的公差為，由等差數列的性質可知，因為，故，故為常數，所以為等差數列，設公差為，，，，，則故答案為：【即學即練6】已知數列，都是等差數列，記，分別為，的前n項和，且，則=（

）A． B． C． D．【解析】由，.故選：D知識點03等差數列的前n項和的最值(1)利用等差數列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值．在等差數列{an}中，當，時，有最大值(即所有非負項之和)；，時，有最小值(即所有非正項之和)；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數使得取最大值，當，時，滿足的項數使得取最小值.(2)利用等差數列的前n項和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數,))，若d≠0，則從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數時，Sn取到最值,通過配方或借助圖像，二次函數的性質等，將等差數列的前n項和最值問題轉化為二次函數的最值的方法求解.注：當a1>0，d>0時Sn有最小值S1，當a1<0，d<0時Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一．【即學即練7】在數列中，若，前項和，則的最大值為______．【解析】由題意，=21，解得，，屬于二次函數，對稱軸為，故當n=5或6時取得最大值，，，的最大值為66；故答案為：66.【即學即練8】【多選】已知等差數列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以，，故等差數列首項為負，公差為正，所以，，故A正確，B錯誤；由，可知，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確．故選：AD【即學即練9】已知等差數列的前n項和為．若，且，則滿足的最大正整數的n的值為________．【解析】因為，所以，因為，且，所以，，故要使，則需．故答案為：33.題型一：等差數列前n項和的基本運算例1．（2024上·寧夏固原·高三統考期末）已知等差數列的前項和為，若，，則（）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【分析】首先根據等差數列通項公式和前項和公式將題干條件中的等式轉化成基本量和，然后聯立方程組解出和，最后根據公式求解即可.【詳解】為等差數列，，，，解得..故選：A.變式1．（2024上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）在等差數列中，，其前項和為，若，則.【答案】100【分析】由等差數列性質得數列為等差數列，設其公差為d，進而得，故，進而得，再計算即可.【詳解】∵數列為等差數列，∴數列為等差數列，設其公差為d，又，解得：，又∵，∴，即∴故答案為：.變式2．（2024上·江蘇無錫·高三統考期中）設等差數列{an}的前n項和為，且，則.【答案】4【分析】先利用關系式，求出公差，進而用等差數列的通項公式和求和公式得到方程組，即可求出答案.【詳解】由題意得：，，則等差數列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.變式3．（2024上·江西·高三校聯考開學考試）等差數列的前n項和為，若，，則．【答案】7【分析】方法一：設出公差，利用題干條件得到，進而求出公差，再求出首項，利用求和公式進行求解；方法二：利用題干條件得到，再利用求和公式的性質進行求解.【詳解】方法一：設公差為d，由，∴，又，∴，，∴．方法二：由已知得，∴，又，所以．故答案為：7變式4．（2024·河南開封·高三校考階段練習）記為等差數列的前n項和．若，則．【答案】【分析】因為是等差數列，根據已知條件，求出公差，根據等差數列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數列，且，設等差數列的公差根據等差數列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據等差數列前項和公式：可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求等差數列的前項和，解題關鍵是掌握等差數列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.變式5．（2024·江蘇）已知數列是等差數列，是其前n項和.若，則的值是.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數列、等比數列的基本計算問題，是高考必考內容，解題過程中要注意應用函數方程思想，靈活應用通項公式、求和公式等，構建方程（組），如本題，從已知出發，構建的方程組.【方法技巧與總結】a1，d，n稱為等差數列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯立方程組求解，在求解過程中要注意整體思想的運用．題型二：利用Sn求an例2．（2024下·內蒙古·高二校考階段練習）若是數列的前項和，若，則是（）A．等比數列，但不是等差數列 B．等差數列，但不是等比數列C．等差數列，而且也是等比數列 D．既非等比數列，也非等差數列【答案】B【分析】當時，；當時，.【詳解】當時，;當時，又時，，滿足通項公式，所以此數列為等差數列.故選B.【點睛】本題考查根據數列前n項和求數列通項，注意檢驗時的公式對是否適用.變式1．（2024上·江蘇·高二期末）已知數列的前n項和為，且，則數列（）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】C【分析】利用的關系可判定數列為等差數列，求出首項，公差再根據數列的函數特性判定選項即可.【詳解】由知，顯然時，，所以，易知，即數列為等差數列，首項，公差，所以等差數列為遞增數列，有最小項，無最大項.故選：C變式2．（2024·高二課時練習）已知一個數列的前項和．(1)當時，求證：該數列是等差數列；(2)若數列是等差數列，求滿足條件．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用可得答案．【詳解】（1）當時，，令，，所以時，，所以，此時，所以，所以，可得數列是公差為的等差數列.（2），令，得，所以時，，所以，所以，可得時，數列是公差為的等差數列，若數列是等差數列，則，所以．【方法技巧與總結】利用Sn求an的方法已知數列{an}的前n項和求通項公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必須注意它成立的條件是n≥2，除此之外還要注意以下幾點：(1)求a1時不能使用an＝Sn－Sn－1，因為S0在數列前n項和中無意義，而應該是a1＝S1;(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時，若恰好a1＝S1，則an＝Sn－Sn－1就是其通項公式；(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1時，若a1≠S1，則數列的通項公式就用分段的形式來表示，S題型三：等差數列前n項和性質的應用等差數列前n項和與中項性質例3．（2024下·黑龍江綏化·高一校考期末）等差數列的前項和為，若，則A．27 B．36 C．45 D．54【答案】B【分析】利用等差數列的性質進行化簡，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.變式1．（2024·海南海口·統考二模）設公差不為0的等差數列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據等差數列的前項和的性質及等差數列通項公式化簡可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，設等差數列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.變式2．（2024·四川成都·統考一模）已知數列為等差數列，為其前項和，，則（

）A．2 B．7 C．14 D．28【答案】C【分析】由等差數列的性質與前項和公式求解，【詳解】由題意得，則，而，故選：C等差數列片段和的性質例4．（2024·高二課時練習）設等差數列的前項和為，若，，則．【答案】32【分析】由等差數列前n項和的性質，可得，，，成等差數列，進而即得.【詳解】由等差數列前n項和的性質，可得，，，成等差數列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數列，可得，解得.故答案為：32.變式1．（2024上·上海長寧·高二上海市延安中學校考階段練習）已知等差數列的前n項和為，若，，則【答案】【分析】由等差數列片段和的性質知成等差數列，再由等差中項的性質求結果.【詳解】由題設成等差數列，所以，則，所以.故答案為：變式2．（2024·安徽淮南·統考二模）已知等差數列的前n項和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依據等差數列的性質去求的值【詳解】等差數列的前n項和為，，則，，，構成首項為2，公差為2的等差數列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D變式3．（2024下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期末）在等差數列中，其前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等差數列前項和的性質求解即可【詳解】由等差數列前項和的性質可得，成等差數列，設，則，即成等差數列，故，解得，故即，故，，故故選：D等差數列前n項和與n的比值問題例5．（2024·全國·高三專題練習）已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝﹣2024，，則S2024等于（

）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【答案】C【分析】根據等差數列前n項和的性質，結合等差數列的通項公式進行求解即可.【詳解】∵Sn是等差數列{an}的前n項和，∴數列{}是等差數列．∵a1＝﹣2024，，∴數列{}的公差d，首項為﹣2024，∴2024+2024×1＝1，∴S2024＝2024．故選：C．變式1．（2024·貴州畢節·統考模擬預測）等差數列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】等差數列前n項和構成的數列{}為等差數列，公差為原數列公差的一半【詳解】設的公差為d，∵∴，即{}為等差數列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒變式2．（2024上·湖南·高三湖南師大附中博才實驗中學階段練習）在等差數列中，，其前項和為，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，再求出，由等差數列的定義可知為首項是，公差為的等差數列，由此能求出的值．【詳解】解：在等差數列中，，其前項和為，若，，，由等差數列的定義可知為首項是，公差為的等差數列，，．故選：C．變式3．（2024上·河北邯鄲·高三校考開學考試）在等差數列中，，其前項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數列性質可知數列為等差數列，由已知等式可求得其公差，結合等差數列通項公式可求得，進而得到結果.【詳解】數列為等差數列，數列為等差數列，設其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.兩個等差數列前n項和的比值問題例6．（2024下·天津·高二校聯考期末）若等差數列，的前項和分別為，，滿足，則.【答案】【分析】根據等差數列下標和性質及等差數列前項和公式計算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：變式1．（2024下·吉林長春·高二長春外國語學校校考開學考試）兩個等差數列則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等差中項結合已知可解.【詳解】因為所以，故選：A變式2．（2024上·江蘇泰州·高二江蘇省黃橋中學校考階段練習）已知兩個等差數列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數的正整數n的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據給定條件結合等差數列性質及前n項和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數，當且僅當是正整數，而，則是32的大于1的約數，又32的非1的正約數有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，所以使得為整數的正整數n的個數為5.故選：B變式3．（2024上·黑龍江·高三校聯考階段練習）等差數列，的前項和分別為，，若對任意正整數都有，則的值為.【答案】【分析】利用等差數列的下標和性質即可得到結果.【詳解】因為，是等差數列，所以，因為.故答案為：【點睛】本題考查等差數列的性質和求和公式，涉及整體思想，屬于基礎題．變式4．（2024下·陜西西安·高一校考階段練習）有兩個等差數列，其前項和分別為.（1）若，則.（2）若，則.【答案】【分析】利用可得填空1的答案；若，則可設，，然后可計算的值.【詳解】若，則；若，則可設，所以，，所以，故答案為：；【方法技巧與總結】等差數列前n項和的常用性質(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差數列．(2)數列Snn是等差數列，公差為數列{an}的公差的(3)涉及兩個等差數列的前n項和之比時，一般利用公式ambn＝2n?1(4)用公式Sn＝na1+an2時常與等差數列的性質a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋題型四：等差數列前n項和的最值問題例7．（2024·北京）若等差數列滿足，則當時，的前項和最大．【答案】8【詳解】試題分析：由等差數列的性質，，，又因為，所以所以，所以，，故數列的前8項最大.考點：等差數列的性質，前項和的最值，容易題.變式1．（2024上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）記為等差數列的前項和，已知．(1)求的公差；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意得到方程組，解得即可；（2）由（1）求出的通項公式及，再根據二次函數的性質計算可得.【詳解】（1）解：依題意得，解得，所以的公差；（2）解：由（1）知，所以，由二次函數性質得，當時，．變式2．（2024下·四川成都·高一校聯考期中）已知數列為等差數列，首項，若，則使得的的最大值為（

）A．2007 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【分析】根據等差數列的首項和性質,結合可判斷出,.結合等差數列的前n項和公式,即可判斷的最大項.【詳解】數列為等差數列,若所以與異號首項,則公差所以則,所以由等差數列前n項和公式及等差數列性質可得所以的最大值為,即故選:B【點睛】本題考查了等差數列的性質應用,等差數列前n項和公式的應用,不等式性質的應用,屬于中檔題.變式3．（2024上·河南·高三校聯考開學考試）已知等差數列的前n項和為，且，則滿足的正整數n的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，則可知，由此即可選出答案.【詳解】因為，所以所以故，所以滿足的正整數的最大值為21．故選：C．變式4．（2024下·廣東佛山·高二校考階段練習）設是等差數列的前項和，，，當取得最小值時，（

）A．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】由等差數列的基本量法求得和，得前項和，確定的單調性，找到中相鄰項是一正一負的兩項，比較絕對值大小可得結論．【詳解】設數列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時，時，，所以時，遞減，時，遞增，其中，由的表達式得，，，所時，最小．故選：D．變式5．（2024上·福建莆田·高二階段練習）設等差數列的前項和，且，則滿足的最大自然數的值為A．6 B．7 C．12 D．13【答案】C【詳解】由,利用等差數列的性質可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，則滿足Sn>0的最大自然數n的值為12.故選C.點睛：求解等差數列問題時，要多多使用等差數列的性質，如為等差數列，若，則.由此得：，當為奇數時，，當為偶數時，.變式6．（2024下·高二課時練習）已知等差數列的前n項和為，，且，則取得最小值時n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差數列的通項公式，求得，，進而得到當當時，，當時，，即可求解.【詳解】由等差數列的通項公式，得，又，所以則等差數列中滿足，，且，數列為遞增數列，且當時，，當時，，所以當取得最小值時，n的值為.故選：B.變式7．（2024下·安徽六安·高一六安一中校考期中）已知等差數列的前項和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得到此數列為遞減數列，進而可以推出，，，進而可得出答案.【詳解】由，得到；由，得到，∴等差數列為遞減數列，且，,,當時，，且最大，最小，所以最大；當時，，此時；當時，，且，，所以，綜上所述，，，…，中最大的是.故選：C．【點睛】此題考查了等差數列的前項和公式，等差數列的性質，以及數列的函數特性，熟練掌握等差數列的性質及求和公式是解決本題的關鍵，屬于中檔題.【方法技巧與總結】1．二次函數法等差數列{an}中，由于Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?d2n，所以若a1>0，d<0，則Sn必有最大值；若a2．通項公式法若a1>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組an若a1<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組an≤0,3．圖象法利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取最值．題型五：等差數列偶數項或奇數項的和例8．（2024下·高二課時練習）設項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，則這個數列的中間項是，項數是．【答案】117【分析】根據奇數項和與偶數項和的關系即可求解.【詳解】設等差數列的項數為，＝＝，＝＝，所以，解得，所以項數，，即為所求中間項．故答案為：①11；②7.變式1．（2024下·高二課時練習）等差數列共有項，所有的奇數項之和為，所有的偶數項之和為，則等于．【答案】【分析】利用等差數列的基本性質以及等差數列的求和公式可得出，即可求得的值.【詳解】因為等差數列共有項，所有奇數項之和為，所有偶數項之和為，所以，，解得.故答案為：.變式2．（2024上·山西太原·高二太原師范學院附屬中學校考階段練習）已知等差數列的前項和為377，項數為奇數，且前項中，奇數項的和與偶數項的和之比為7:6，則中間項為．【答案】29【分析】由題意可得，求出，再利用等差數列求和公式的性質可求得答案【詳解】因為為奇數，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項為29．故答案為：29變式3．（2024下·四川·高一樹德中學階段練習）已知等差數列共有項，其中奇數項之和為290，偶數項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差數列的求和公式與等差數列的性質求解即可【詳解】奇數項共有項，其和為，∴．偶數項共有n項，其和為，∴．故選：B．題型六：含絕對值的等差數列的前n項和例9．（2024上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知數列中，，（，），數列滿足．(1)證明是等差數列，并求的通項公式；(2)求；(3)求數列中的最大項和最小項，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①時，=；②時(3)，；理由見解析【分析】（1）根據，代入證明為常數即可；（2）由（1）可得，再分與兩種情況，去絕對值后求和即可；（3）由（1）可得，再根據函數的單調性判斷中的最值即可.【詳解】（1）證明：，又，∴數列是為首項，1為公差的等差數列．∴（2）記的前n項和為，則由，得，即時，；時，，①時，=．②時=．（3）由，得．又函數在和上均是單調遞減．由函數的圖象，可得：，．變式1．（2024下·遼寧·高二校聯考期中）已知在前n項和為的等差數列中，，．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前20項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據等差數列前n項和、通項公式求首項與公差，進而寫出通項公式.（2）首先判斷、對應n的范圍，再根據各項的符號，應用分組求和及等差數列前n項和求.【詳解】（1）由，則，由，則，所以，即，故，則.（2）由（1）知：，可得，即，故時，所以.變式2．（2024上·福建漳州·高三福建省漳州第一中學校考階段練習）已知數列為等差數列，且，.(1)求數列的通項公式及前項和；(2)求數列的前項和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據題意，由等差數列的通項公式，求出和，計算可得結果；（2）由（1）的結論可得數列的前4項均為負數，從第5項開始都為非負數．據此分2種情況求出，綜合可得答案.【詳解】（1）設的公差為，則，解得，所以，.（2）由，得，所以當時，；當時，，所以當時，；當時，，所以，.變式3．（2024上·北京海淀·高二校考期末）在①②若為等差數列，且③設數列的前項和為，且．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答(1)求數列的通項公式(2)求數列的前項和為的最小值及的值(3)記，求【答案】(1)(2)當或時，取得最小值為.(3)【分析】（1）選①結合等差數列的定義求得；選②通過求來求得；選③利用求得.（2）由求得的最小值以及對應的值.（3）結合等差數列前項和公式求得.【詳解】（1）選①，，，，所以數列是以為首項，公差的等差數列，所以.選②，設等差數列的首項為，公差為，.選③，，當時，，當時，，當時上式也符合，所以.（2）由得，所以當或時，最小，且最小值為.（3），結合（2）可知.題型七：含取整符號的等差數列的前n項和例10．（2024上·福建寧德·高二階段練習）設數列和的前項和分別為和，已知，，其中．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）符號表示不超過的最大整數，例如．當時，試求.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由數列的前n項和可利用求解通項公式；（2）首先整理數列的通項公式，依據特點采用裂項相消法求和；（3）結合取整函數可知為等差數列求和.【詳解】（1）解令，或（舍去）①，當②，①②得，化簡得，，，數列為首項為3，公差為2的等差數列，.（2）由（1）得，，，，.（3）．變式1．（2024上·河南焦作·高二期中）已知等差數列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設數列的前項和為，用符號表示不超過x的最大數，當時，求的值.【答案】(1)(2)9【分析】(1)首先根據已知條件分別求出的首項和公差，然后利用等差數列的通項公式求解即可；(2)首先利用等差數列求和公式求出，然后利用裂項相消法和分組求和法求出，進而可求出的通項公式，最后利用等差數列求和公式求解即可.【詳解】（1）不妨設等差數列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項公式為.（2）由題意可知，，所以，故，因為當時，；當時，，所以，由可知，，即，解得，即的值為9.題型八：等差數列前n項和公式的實際應用例11．（2024上·河南安陽·高二安陽市第三十九中學校考階段練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【分析】根據等差數列的通項公式以及前項和公式即可求解.【詳解】設8個兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數列是公差為17的等差數列，因為綿的總重量為996斤，所以，解得，則第八個兒子分到的綿．故選：D．變式1．（2024·高二課時練習）“蘇州碼子”發源于蘇州，作為一種民間的數字符號曾經流行一時，廣泛應用于各種商業場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知某鐵路的里程碑所刻數字代表距離始發車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在點處里程碑上刻著“〣〤”，在點處里程碑上刻著“〩〢”，則從點到點的所有里程碑上所刻數字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【答案】B【分析】根據規定確定，兩處的里程碑的數值，再由等差數列通項公式確定里程碑的數量，并利用等差數列前項和公式求從點到點的所有里程碑上所刻數字之和.【詳解】根據題意知，點處里程碑上刻著數字34，點處里程碑上刻著數字92，里程碑上刻的數字成等差數列，公差為2，因此從點到點的所有里程碑個數為，從點到點的所有里程碑上所刻數字之和為，故選：B．變式2．（2024下·江西上饒·高二校聯考期末）廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結構，塔高九層，沿塔內石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢峭拔.上個世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，問這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周止共需幾步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368【答案】C【分析】設從第層到第層所走的臺階數為，繞第層一周所走的步數為，由條件確定兩個數列的特征，再分別求兩個數列的前8項和即可.【詳解】設從第層到第層所走的臺階數為，繞第層一周所走的步數為，由已知可得，，，，，，所以數列為首項為，公差為的等差數列，故，數列為公差為的等差數列，故，設數列，的前項和分別為，所以，，這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周止共需332步，故選：C.變式3．（2024下·四川巴中·高一統考期末）2024年北京冬奧會開幕式始于24節氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現代生活的畫面和諧統一起來．我國古人將一年分為24個節氣，如圖所示，相鄰兩個節氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始．已知冬至日晷長為13.5尺，夏至日晷長為1.5尺，則一年中夏至到秋分的日晷長的和為（

）尺．A．24 B．60 C．40 D．31.5【答案】D【分析】根據給定條件可得以冬至日晷長為首項，夏至日晷長為第13項的等差數列，求出公差即可列式計算作答.【詳解】依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，夏至日晷長為1.5尺，記為，因相鄰兩個節氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到夏至日晷長的各數據依次排成一列得等差數列，數列的公差，因夏至日晷長最短，冬至日晷長最長，所以夏至到冬至的日晷長依次排成一列是遞增等差數列，首項為1.5尺，末項為13.5尺，公差為1，共13項，秋分為第7項，故，所以一年中夏至到秋分的日晷長的和為(尺).故選：D.【方法技巧與總結】遇到與正整數有關的應用題時，可以考慮與數列知識聯系，建立數列模型，具體解決要注意以下兩點：①抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數列模型．②深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數n.一、單選題1．（2024·高二課時練習）在等差數列中，公差，，，則等于（

）．A．或3 B．或7 C．3或5 D．5或7【答案】A【分析】根據已知條件利用等差數列的通項公式和求和公式列方程組求解即可.【詳解】因為在等差數列中，公差，，，所以，解得或，故選：A2．（2024下·安徽·高一安徽師范大學附屬中學校考期末）已知在等差數列中，則項數為A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數列的性質和題意可得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn240，代入可得答案．【詳解】由等差數列的性質可得S918，解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn16n＝240，解得n＝15，故選D．【點睛】本題考查等差數列的性質和求和公式，利用性質整體代入是解決問題的關鍵，屬于基礎題．3．（2024·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知等差數列與等差數列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設等差數列、的公差分別為、,由題意利用等差數列的性質求出它們的首項、公差之間的關系,可得結論.【詳解】設等差數列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C4．（2024上·江西·高三校聯考階段練習）已知某等差數列的項數為奇數，前三項與最后三項這六項之和為，所有奇數項的和為，則這個數列的項數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數列的性質與求和公式求解即可【詳解】由已知，，所以，所有奇數項的和為，于是可得.故選：A.5．（2024上·北京·高三統考開學考試）等差數列的前n項和為.已知，.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，列方程求得，再求解的最小值即可.【詳解】解：設等差數列的公差為，因為等差數列中，，，所以，解得，所以，且時，所以的最小值為.故選：A6．（2024上·湖南長沙·高三長沙市明德中學校考開學考試）設等差數列的前n項和為，且，，則取最小時，（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．2024【答案】D【分析】由已知，利用等差數列前n項和公式及其性質得，，進而得出結論．【詳解】等差數列的前項和為，且，，，，，，，公差，則當時最小．故選：D7．（2024下·河北張家口·高二階段練習）記為等差數列的前n項和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數學計算等素養．利用等差數列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．8．（2024上·湖南常德·高三湖南省桃源縣第一中學校考階段練習）設等差數列的前項和為，已知，，則（

）A．310 B．210 C．110 D．39【答案】B【分析】根據等差數列的公差以及求和公式，可得答案.【詳解】由等差數列，則公差，即.故選：B.9．（2024·北京海淀·人大附中校考模擬預測）記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（

）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.【詳解】設等差數列的公差為，則，，聯立，解得.故選：C.10．（2024·湖北武漢·統考三模）設公差不為零的等差數列的前n項和為，，則（

）A． B．1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項，及等差數列前n項和的性質即可求解.【詳解】解：在等差數列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.11．（2024下·云南昆明·高一統考期末）設等差數列的前項和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【分析】根據等差數列的前項和的性質，列式求解.【詳解】由等差數列的項和的性質可知，成等差數列，即，，成等差數列，所以，所以.即.故選：C12．（2024上·安徽六安·高二階段練習）設等差數列的前項和為,若,則()A．12 B．8 C．20 D．16【答案】C【分析】由等差數列的性質得：成等差數列，由此能求出的值．【詳解】解：∵等差數列的前項和為，，由等差數列的性質得：成等差數列又∴．故選C．【點睛】本題考查等差數列的四項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．13．（2024上·廣東揭陽·高二統考期末）設是等差數列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數列的性質可知、、、成等差數列，根據題意可將都用表示，可求得結果.【詳解】由等差數列的性質可知、、、成等差數列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.14．（2024·全國·高三專題練習）在等差數列{an}中，a1＝－2018，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2018的值等于（

）A．－2018 B．－2016C．－2019 D．－2017【答案】A【分析】由題意得數列為等差數列，其公差為1，利用等差數列的通項公式求解即可.【詳解】由題意知，數列為等差數列，其公差為1，所以＝＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.所以S2018＝－2018.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用構造等差數列求解的問題.屬于較易題.15．（2024上·福建龍巖·高二福建省永定第一中學校考階段練習）已知數列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由題意可得數列是以首項為25，公差的等差數列，結合等差數列的通項公式以及前n項和的性質分析運算.【詳解】由，可得，所以數列是以首項為25，公差的等差數列，且為單調遞減數列，其通項公式為．當且時，Sn最大，解得且，則，即數列{an}的前15項均為非負值，第16項開始為負值，故S15最大，.故選：C．16．（2024上·陜西商洛·高二校考階段練習）已知數列中，則數列的前項和最大時，的值為（

）A．8 B．7或8 C．8或9 D．9【答案】C【分析】由條件確定數列的前項和，，根據二次函數的特點確定函數的最大值，以及的值.【詳解】，數列是等差數列，并且公差為，，對稱軸是，，所以當或時，取得最大值.故選：C【點睛】本題考查等差數列的前項和的最大值，屬于基礎題型.17．（2024上·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考階段練習）等差數列的前項和為，，，則滿足的（

）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【分析】由題意和等差數列求和公式與性質可得；，進而可得，據此分析可得答案．【詳解】根據題意，等差數列中，，，則有，則有；又由，則有；則有，若，必有；故選：．【點睛】本題考查等差數列的前項和公式的應用，涉及等差數列的性質，屬于基礎題．18．（2024下·吉林長春·高一長春市實驗中學校考期末）已知數列是等差數列，若，，且數列的前項和有最大值，那么取得最小正值時等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件，判斷出的符號，再根據等差數列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數列的前項和有最大值，故可得因為，故可得，整理得，即，又因為，故可得.又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：D.【點睛】本題考查等差數列的性質，以及前項和的性質，屬綜合中檔題.二、多選題19．（2024·福建龍巖·統考三模）已知數列的前項和是，則下列結論正確的是（

）A．若數列為等差數列，則數列為等差數列B．若數列為等差數列，則數列為等差數列C．若數列和均為等差數列，則D．若數列和均為等差數列，則數列是常數數列【答案】BCD【分析】由數列為等差數列，得到，根據不確定，可判定A不正確；由數列為等差數列，設公差為，求得，證得，可判定B正確；由數列為等差數列，得到，得到，根據得出數列的定義，得到，可判定C正確；由數列為等差數列，得到，得到，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，若數列為等差數列，可得，因為首項不確定，所以數列為不一定是等差數列，所以A不正確；對于B中，若數列為等差數列，設公差為，則，可得，當時，；當時，，則，由，則，所以，所以數列為等差數列，所以B正確；對于C中，由數列為等差數列，可得，則，可得，則常數，所以，即，所以，所以，且，所以，所以C正確；對于D中，由數列為等差數列，可得，則，可得，因為為等差數列，所以為常數，所以，所以，所以數列是常數數列，所以D正確.故選：BCD.【點睛】在解決等差、等比數列的運算問題時，有兩個處理思路,一是利用基本量,根據通項公式和求和公式，列出方程組,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確；二是利用等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形.在解決等差、等比數列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.20．（2024下·浙江·高二校聯考階段練習）若等差數列的公差為，前項和為，記，則（

）A．數列是公差為的等差數列B．數列是公差為的等差數列C．數列是公差為的等差數列D．數列是公差為的等差數列【答案】AC【分析】利用等差數列的定義可判斷各選項的正誤.【詳解】由已知可得，對于AB選項，，所以，數列是公差為的等差數列，A對B錯；對于C選項，，所以，數列是公差為的等差數列，C對；對于D選項，，所以，數列是公差為的等差數列，D錯.故選：AC.21．（2024上·福建寧德·高二福建省福安市第一中學校考階段練習）已知等差數列中，，公差，則使其前n項和取得最大值的自然數n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】BC【分析】由等差數列中，可求出，從而判斷，，即可求得答案.【詳解】∵在等差數列中，，∴.又公差，∴，，∴使其前n項和取得最大值的自然數n是5或6,故選：BC.22．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）若為等差數列，前項和為，其中，則下列說法正確的是（

）A． B．C．數列單調遞減 D．數列前8項和最大【答案】AC【分析】根據題意求出數列的首項與公差，進而可求出數列的通項，即可判斷AC；求出數列的前項和即可判斷BD.【詳解】設公差為，由，得，解得所以，故A正確；因為，所以數列單調遞減，故C正確；，所以，故B錯誤；所以數列前7項和最大，故D錯誤.故選：AC.23．（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）設數列的前項和為，滿足，其中，，則下列選項正確的是（

）A．為等差數列B．C．當時，有最大值D．設，則當或時，數列的前項和取得最大值【答案】ABD【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以數列是首項19，公差為的等比數列，即.故選項A正確.因為，所以，故選項B正確.因為，所以當時，有最大值，故選項C錯誤.因為，因為，所以，，故，，，，設數列的前項和為，則由以上計算可知且所以當或時，數列的前項和取得最大值，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題24．（2024上·全國·高三校聯考階段練習）已知等差數列的前項和為，，，則.【答案】【分析】設等差數列的公差為，推導出數列為等差數列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，，則，所以，數列為等差數列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.25．（2024下·全國·高三校聯考階段練習）若等差數列滿足，則的最大值為．【答案】【分析】設數列的公差為，由等差數列通項公式及性質化簡，結合所給條件等式可化簡得，根據等差數列前n項和公式，可表示出，代入等式即可得方程，由方程由