第H-一章DlSHlYlZHANG

11選考部分

第1節坐標系與參數方程

第1課時坐標系

考綱要求1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情

況；2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直

角坐標的互化；3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.

.知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.平面直角坐標系中的坐標伸縮變換

Iy=癡(2>0),

設點P(X,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換0：,；的作用下，點

Iy="如>o)

P(x,y)對應到點P(X',y),稱夕為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換.

2.極坐標系與點的極坐標

(1)極坐標系：如圖所示，在平面內取一個定點。(極點)，自極點O引一條射線0x(極軸)；

再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆皿方向)，這樣就

建立了一個極坐標系.

M(p.θ)

(2)極坐標

①極徑：設M是平面內一點，極點。與點M的距離IoM叫做點M的極徑，記為p.

②極角：以極軸OX為始邊，射線OM為終邊的角∕xθM叫做點M的極角，記為。.

③極坐標：有序數對S，。)叫做點M的極坐標，記作“S，9)?

3.極坐標與直角坐標的互化

點M直角坐標y)極坐標S，。)

x=pcosθ,y

互化公式O2=x2+V2,tanO=((x≠O)

y="Sinθ

4.常見曲線的極坐標方程

曲線圖形極坐標方程

圓心在極點，半徑為r的圓0=r(0W<9V2兀)

θ((√0))~?-/兀兀、

圓心為S0）,半徑為r的圓ρ=2rcos々一］WeV/

圓心為（r,芍，半徑為r的圓

0=2rsin—夕(OWOVTC)

O*

①6=aS∈R)或

0=π+cz(p≡R)

過極點，傾斜角為α的直線-V

②。=刈2。)和

θ=π+a(p^O)

(π兀、

過點30）,與極軸垂直的直線PCOS5V夕<5,

O-(",0)X

過點（“，軟，與極軸平行的直線

〃Sine=α(OVKVττ)

o↑X

?——常用結論與微點提醒

1.極坐標的四要素：（1）極點；（2）極軸；（3）長度單位；（4）角度單位和它的正方向，四者缺

一不可.

2.由極徑的意義知"'O,當極角，的取值范圍是［0,2π）時，平面上的點（除去極點）與極坐標

S，⑨SWo）建立一一對應關系，約定極點的極坐標是極徑2=0,極角可取任意角.

3.曲線的極坐標方程與直角坐標方程互化：對于簡單的可以直接代入公式PCOs，=x,"sin，

=y,p2=∕+y,但有時需要作適當的變化，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同乘以P等.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結論正誤（在括號內打“J”或“X”）

（1）平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也是一一對

應關系.（）

（2）若點P的直角坐標為（1,-√3）,則點P的一個極坐標是（2,-∣）.（）

（3）在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的.（）

（4）極坐標方程6=πS>0）表示的曲線是一條直線.（）

答案（1）×（2）√（3）√（4）×

解析（1）一般認為0NO,當，∈[0,2兀）時，平面上的點（除去極點）才與極坐標建立一一對應

關系；（4）極坐標方程0=τr（p20）表示的曲線是一條射線.

〉教材衍化

2.若以直角坐標系的原點為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y=l—

MoWXWI）的極坐標方程為（）

1π

A.P=7Γ"i?7），OWeW77

rCoS。十Slne2

1兀

b?P=COSe+sin'底吟

兀

C."=cos9+Sin仇OWOW]

π

D.P=COS夕+sin仇O≤0≤^

答案A

解析Vy=l-χ（O≤x≤l）,

/.psinΘ=1—pcos0（O≤pcos0≤1）,

.?.p=--r?-∕θ≤0≤?）.

Lsin6+cos隊2）

3.在極坐標系中，圓〃=-2sin。的圓心的極坐標是（）

A.（l,§B.（1,一§

C.（1,0）D.（1,π）

答案B

解析由p=-2sin。得p2=-22Sin0,化成直角坐標方程為/+y2=—2y,即/+（），+1）2

=1,圓心坐標為（0,—1）,其對應的極坐標為（1,一號.

＞考題體驗

4.（2021.北京四中周測）在極坐標系中，已知點/（2,則過點P且平行于極軸的直線方

程是（）

A."SinO=IB.psin8=小

C.pcosθ=1D.pcosθ=yβ

答案A

解析先將極坐標化成直角坐標表示，《2,目轉化為直角坐標為X=PCOSe=2cos5=小，

y=psin0=2sin季=1,SP（√3,1）,過點（小，1）且平行于X軸的直線為y=l,再化為極坐標

為psinθ=1.

5.在直角坐標系x。)，中，以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線

C的極坐標方程為0=2Sin仇則曲線C的直角坐標方程為.

答案x2+Cv-l)2=l

解析由〃=2sin8,得p2=2,sin0,所以曲線。的直角坐標方程為好+產―2,=。，即d+

UT)2=1.

6.(2018?北京卷)在極坐標系中,直線PCoS6+psin8=4(q>0)與圓〃=2COS。相切，則〃=

答案∣+√2

解析直線的方程為x+y-α=O,圓的方程為(X—l)2+y2=ι,所以圓心(1,0),半徑r=l,

由于直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即??浸=1，又。>0,所以a=l+√E?

考點分層突破f考點聚焦?題型剖析

考點一平面直角坐標系中的伸縮變換師生共研

【例1】(1)曲線C:N+y2=1經過伸縮變換，—'得到曲線C',則曲線C'的方

Iy=y

程為.

fxf=2x,

(2)曲線C經過伸縮變換，后所得曲線的方程為x'2+y，2=1,則曲線C的方程

σ=3y

為.

χ'2

答案(l)h+y'2=1(2)4Λ2+9∕=1

解析(1)因為，一`

Iy=y，

所以，F

j=y'，

χ'2

代入曲線C的方程得U：~+y,2=L

W=2X9

⑵根據題意，曲線C經過伸縮變換，后所得曲線的方程為/2+y2=1,貝∣](2χ)2

口=3y

+(3y)2=l,即4/+9)2=1,所以曲線C的方程為4爐+9丁2=1.

x,=ZX(A>0),

感悟升華L平面上的曲線y=∕U)在變換小，的作用下的變換方程的求法

Iy=MM>0)

是將I,代入y=∕(x),得整理之后得到y'=h(x'),即為所求變換

b,=?r

之后的方程.

2.解答該類問題應明確兩點：一是明確平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；

二是明確變換前的點P(X,y)與變換后的點P'(x',y')的坐標關系，用方程思想求解.

【訓練1】(1)在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換依］；,一：：則點A(},一2)經

過變換后所得的點4'的坐標為.

⑵雙曲線C:x2-?=l經過伸縮變換φ-.,后所得曲線C的焦點坐標為

“I2y=y

答案(1)(1,-D(2)(-5,0),(5,0)

X

x'=3x,-3x，

解析(1)設A'(x',y'),由伸縮變換Q?J,`得到＜,1由于點A的坐標

I2y=yU=P

為—2),于是x'=3×∣=1,y'=∣×(-2)=—1,所以點的坐標為(1‘-1).

f1,,

(2)設曲線C'上任意一點P(X',y'),將3代入爐一抬=1,得丁一M=

OH-y。4

Iy=2y，

X'2y'2

1,化簡得于一七-=1,即為曲線C'的方程，知C'仍是雙曲線，其焦點坐標分別為

(-5,0),(5,0).

考點二極坐標與直角坐標的互化自主演練

I.將直角坐標方程與極坐標方程互化：

(l)γ2=4x;

(2)∕+X2-2Λ-1=0；

-C兀

(3)。=押∈R);

(4)pcos2,=1；

(5)p2cos29=4；

(6)2=2-COS6

解(1)將X=PCOSay=psin。代入y2=4χ,得SSin9)2=4"CoS。.化簡得〃Sin2j=4cos6.

⑵將X=PCOS8,y=psinθ代入y2+x2-2x~1=0,得SSin0)2÷(pcos0)2—2pcosΘ-1=0,

化簡得P2-2ρcos8-1=0.

(3)當x≠0時，由于tan。=%故tang=?=/,化簡得y二小X(X≠0);

當X=O時，y=0.顯然(0,0)在上，故。=1S∈R)的直角坐標方程為

(4)因為PCOS弓=1,所以p?----廣一=L而2+pcos9=2,所以化簡得y2=一

4(χ-1).

(5)因為p2cos26=4,所以p2cos?-p2sin20=4,即x2-γ2=4.

(6)因為p=τ~.一R所以22一〃COSθ=1,

因此2#/+爐-X=[,化簡得3x2+4y2-2%—1=0.

2.(1)若點P的極坐標為(3,一；)，求點P的直角坐標；

(2)求直線6=*"∈R)和圓?=2的交點的極坐標.

Λ=pcos0,

解由極坐標與直角坐標表示同一點的坐標，那么它們之間可以互化，貝Il或

y=psιn/

22

ρ=y∣x+y9

tan

IX

八、場_.3√2-3√2

(T)P_3,θ—_甲故X—PCOSe_29y——2,

從而點P的直角坐標為(羊，一啜).

(2)顯然(2,W是一個交點，由于圓和直線都關于原點對稱，所以另一個交點是(2,空).

感悟升華1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式；X=PCoSθ,y=

PSinθ,p2=x2+y2,tan6=*xz≠0).

2.進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意p,。的取值范圍及其影響；要善于對方

程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧.

考點三求曲線的極坐標方程師生共研

【例2】(2019?全國Il卷)在極坐標系中，0為極點，點MS。，%)So>O)在曲線C：0=4sin

。上，直線/過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

TT

⑴當夕0=]時，求Po及/的極坐標方程；

(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

解(1)因為MS。，%)在曲線C上，

當為=W時，po=4sin^=2√3.

由已知得IoPI=KMlCOS§=2.

設QS,。)為/上除P外的任意一點.

在RtaOPQ中，pcos(。一：)=IoPI=2.

經檢驗，點、2,在曲線PCoS(6一5)=2上，

所以，/的極坐標方程為PCoS(O一號=2.

⑵設P(p,0),在RtZXOAP中，|。Pl=IoAlCoS6=4COSθ,即p=4cosθ.

因為「在線段OM上，且APLoM,

TTTT

所以。的取值范圍是由，I.

ππ

所以，P點軌跡的極坐標方程為p=4cosaee[],2-

感悟升華求曲線的極坐標方程的步驟

(1)建立適當的極坐標系，設Rp,8)是曲線上任意一點.

(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑P和極角。之間的關系式.

(3)羽■列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程.

【訓練2]在極坐標系中，已知直線/的極坐標方程為PSinb+習=1,圓C的圓心是

《1，穿，半徑為1.求：

(1)圓C的極坐標方程；

(2)直線/被圓C所截得的弦長.

解⑴設0為極點，Oo為圓C的直徑，A(p,6)為圓C上的一個動點，貝1]NAO￡>=；-6

TT

或NA。。=。一不

IOAl=I8|COS(Aa或IoAI=IoZ)ICOS(O一胃,

所以圓C的極坐標方程為p=2cos(e-：).

(2)由PSir1(。+：)=1,得乎0(Sin0+cosθ)=?,

因為X=PCoSθ,y=psinθ,

所以直線/的直角坐標方程為x+y—√5=0,

又圓心C的直角坐標為RF,W)滿足直線/的方程，

所以直線/過圓C的圓心，

故直線/被圓C所截得的弦長為直徑2.

考點四極坐標方程的應用師生共研

【例3】(2021.鄭州質檢)已知曲線G：Λ2+(y—3)2=9,A是曲線G上的動點，以坐標原

點O為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點。為中心，將點A繞點。逆時針

旋轉90。得到點8,設點B的軌跡方程為曲線C2.

⑴求曲線C∣,C2的極坐標方程；

Sir_

(2)射線e=wS>O)與曲線G,Q分別交于P,Q兩點，定點M(—4,0),求aMPQ的面積.

解(1)曲線G：χ2+(γ-3)2=9,即/+y2—6y=0.

從而p2=6"sinθ.

所以曲線G的極坐標方程為p=6sinθ.

設B(p,仍，則。一D，

則有p=6sin(<9-&=_6cos8.

所以曲線C2的極坐標方程為P=-6cos0.

STrSTr

(2)M到射線e=χ^S>O)的距離為d=4sin%^=2,

射線6=3%>>0)與曲線Cl的交點P(Pp,引，

其中，pp=6sin^=3,

射線9=票S>0)與曲線C2的交點Q(P°，引，

其中，PQ=-6cosy=3√3,

則IPQI=以-Pd=3√5-3,

則SAMPQ=T∣PQ∣"=3小一3.

感悟升華1.若把直角坐標化為極坐標求極角，時，應注意判斷點P所在的象限(即角J的

終邊的位置)，以便正確地求出角。.利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉化為熟悉

的問題.

2.在極坐標系中，如果Pl(P1,Θ↑),P2(p2,O2),那么兩點間的距離公式∣P∣B∣=

?ρτ+ρi—2〃∣p2c0s(仇—仇).

兩種特殊情況：⑴當仇=9+2也,k∈Z時，F∣P2∣=H-P2∣;

（2）當仇=&+兀+2E,Λ∈Z,∣PιP2∣=hι+P2∣.

3.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉化

為直角坐標方程，然后求解.

x=2÷rcosφ,

【訓練3】（2021.南昌模擬）在平面直角坐標系中，曲線Cl的參數方程為

y=rsinφ

（r>0,8為參數），以坐標原點O為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G經過點

2

曲線C2的極坐標方程為p（2+cos26）=6.

（1）求曲線G的極坐標方程;

⑵若入仇，a-》α+∣）是曲線C2上兩點，求j1.1

IOAFTlo?的值.

解（1）將Cl的參數方程化為普通方程得,

（X—2）2+3?2=/2,

由X=PeOSθ,y=psinθ得G的極坐標方程為p2-4pcos0÷4-r2=0,

將點、2小，§代入G中得，

12—8√3cos5+4—產=0,解得r2=4,

代入G的極坐標方程整理可得〃=4CoSθ,

/.Ci的極坐標方程為p=4cosθ.

π

（2）將點A∣"ι,a—B（P2,α+?代入曲線C2的極坐標方程得,

3,

汨2÷cos

），2+COS（2a+專）］=p12—cos（2a冶）

P'

1111.1

-?0AΓ?0B^pVpi

2+cos÷2-cos

=2

6??'

課后鞏固作業，分層訓練?提升能力

1.（2020?江蘇卷）在極坐標系中，已知點AQ∣,§在直線/：PeoS6=2上，點B&2,2在圓

C：p=4sin。上（其中O≤0<2π）.

⑴求"2的值；

(2)求出直線/與圓C的公共點的極坐標.

兀71

解(1)由〃]8SQ=2,得pι=4;p2=4sin5=2,

又(0,0(即(0,朋也在圓C上，因此"2=2或0.

pcos9=2,

⑵由得4sinOcos。=2,所以sin20=1.

p=4sinθ,

因為p20,0W0<2τc,所以6=；,p=2√2.

所以公共點的極坐標為

2.在極坐標系中，已知兩點A(3,β(√2,。直線/的方程為psin(嗚)=3.

⑴求A,B兩點間的距離;

⑵求點B到直線/的距離.

解(1)設極點為。.在AOAB中，A3

由余弦定理，得

(2)因為直線/的方程為PSinM+習=3,

所以直線/過點(3卷傾斜角為當

又B(√L

所以點B到直線/的距離為

(3√2-√2)×sin(y-^)-2.

%—2—t—12,

3.(2020?全國川卷)在直角坐標系XOy中，曲線C的參數方程為，，“為參數且

y-2~3t+t-

r≠l),C與坐標軸交于A,B兩點.

⑴求HBI；

(2)以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線A3的極坐標方程.

解(1)因為f≠l,由2—f—∕2=0得，=—2,所以C與y軸的交點為(0,12)；

由2—3/+於=0得f=2,所以C與X軸的交點為(-4,0).故IABl=4√而.

(2)由(1)可知，直線AB的直角坐標方程為5+右=1,將x="cos&y="sin9代入，得直

線AB的極坐標方程為3pcos(9-psin0+12=0.

4.(2021?貴州模擬)如圖，在以。為極點，OX軸為極軸的極坐標系中，曲線Ci,C2,C3的

(1)若C∣,C2相交于異于極點的點M，求點M的極坐標S>0,O≤0<2π);

(2)若直線/：J=αSGR)與G，C3分別相交于異于極點的A,8兩點，求IABl的最大值.

解(1)曲線G,C2的方程分別為p=4sinθ,

p=4sin^+v),相交于點M,

'p=4sin仇

所以「49+及

由于∕)>O,O≤6^2π,

所以O=季，ρ=2,故點從2,看).

(2)設43，α),B(p2,α),?A,B?=?p?-pι?=4sina—4sin(a-引=4小卜in(a+*)∣W4√5,

所以IABI的最大值為4√3.

5.在直角坐標系Xo)，中，以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線Cl

的極坐標方程為PCoS6=4.

⑴設點M為曲線Cl上的動點，點P在線段OM上，且QMHoPl=16,求點P的軌跡Cz的

直角坐標方程；

⑵設點A的極坐標為(2,多，點8在曲線C?上，求AOAB面積的最大值.

解(1)設點P的極坐標為S，J)S>O),M的極坐標為Si，J)3>0)?

4

由題設知IOPl=p,IoMl=Pl=嬴/.

由IoM?∣0P∣=16得C2的極坐標方程為p=4cosθ(p>O).

因此C2的直角坐標方程為(x—2)2+?Y2=4(X≠0).

(2)設點8的極坐標為SB,a)(pβ>O).

由題設知IOAl=2,∕>s=4cosa,

于是AOAB的面積S=∣∣(9A∣?pβ?sinZA0B

=4cos??Isin^a-?J∣

=21in(2a-§-乎I≤2+√3.

當。=一盍時，S取得最大值2+小.

所以aOAB面積的最大值為2+√l

x=2cosQ,

6.(2020?玉溪二模)已知曲線C：?(α為參數)，設曲線C經過伸縮變換

y=2sιna

(x,=χ

\,1f得到曲線C',以直角坐標中的原點O為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極

Iy=2>,

坐標系.

(1)求曲線C'的極坐標方程；

(2)若A,B是曲線C'上的兩個動點，且OALOB,求IO4F+∣OB∣2的最小值.

[x=2CoSa,

解(1)曲線C：3為參數)，轉換為普通方程為/+爐=4,曲線C經過伸縮

Iy=2sιna

'x'—x,.

r)

變換V,1得到曲線C'：?+∕=l,極坐標方程為〃=/I=

y=^y4qi+3sm~0

(2)設AS1，例，β(p2,6+9，

44

所以QAF+∣03F=P?+P歸京彘+正■病^

8+12(siM6+cos2、)____________20_________

=(1+3sin20(l+3cos2^)=(l+3sin20(l+3cos2/9)

_____________20_________________20___16

9=9與于

1+3(sin20÷cos20)+τsin2204+τsin220

當sin26=±l時，IOAF+1。BF取得最小值3

第2課時參數方程

考綱要求1.了解參數方程，了解參數的意義；2.能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓的

參數方程.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.曲線的參數方程

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標(X,y)都是某個變數t的函數

χ-J(t),

并且對于，的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(X,y)都在這條曲線上,

ly=g(f)

那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數X,y的變數t叫做參變數，簡稱參

數.

2.參數方程與普通方程的互化

通過消去參數從參數方程得到普通方程,如果知道變數X,y中的一個與參數/的關系，例

χ=∕W，

如X=/⑺，把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系y=g(f),那么,就是

3=g(f)

曲線的參數方程.在參數方程與普通方程的互化中，必須使X,y的取值范圍保持一致.

3.常見曲線的參數方程和普通方程

點的軌跡普通方程參數方程

廠優=%=Ai)+/cosa,

直線..Q為參數)

tan?(x-?o)二=yo÷∕sma

X=rcosθ,

圓Λ2+y2=r2(。為參數)

y=rs↑nUn

ZTZZ

?JI7一x=acoss，

橢圓,.”為參數)

y=?sιnφ

l(α>∕7>0)

?——常用結論與微點提醒

?

I.將參數方程化為普通方程時，要注意防止變量X和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據

參數的取值范圍，確定函數yω和g(r)的值域，即X和y的取值范圍.

2.直線的參數方程中，參數f的系數的平方和為1時，f才有幾何意義且幾何意義為：用是

直線上任一點M(x,y)到Mo(XO，州)的距離.

診斷自測

?■思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內打“J”或“X”)

x=flj),

(1)參數方程中的χ,y都是參數，的函數.()

3=g⑺

X=Xo+fcosa,

(2)過MOaO，州)，傾斜角為α的直線I的參數方程為，Q為參數).參數，的

)=泗十/Sma

幾何意義表示：直線/上以定點MO為起點，任一點M(x,y)為終點的有向線段疝區的數

量?()

X=2CoS仇

(3)方程八(。為參數)表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()

y=l+ι2sm0

∣x=2cos6

(4)已知橢圓的參數方程。為參數)，點M在橢圓上，對應參數Z=以π點。為原

[y=4sint3

點，則直線OM的斜率為√i()

答案⑴√(2)√(3)√(4)×

解析(4)當，=鼻時，點M的坐標為(2COS$4sin1),即M(l,2??∕5),二OM的斜率α=2小.

〉教材衍化

IX=-1÷cosθ,

2.曲線一."S為參數)的對稱中心()

Iy=2+sinθ

A.在直線y=2x上B.在直線y=—2x上

C.在直線y=x—1上D.在直線y=x+l上

答案B

X=-1+cosθ,cosθ-x+1,

解析由得

.y=2+sinθsinθ-y-2.

所以(x+1)2+6—2)2=1.曲線是以(一1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對稱中心為(一1,2),

在直線y=-2x上.

x=3cosφ,

3.在平面直角坐標系xθy中，若直線/：{t為參數)過橢圓C：

.y=2sin(P

為參數)的右頂點，則常數a的值是.

答案3

解析直線/的普通方程為x—y—α=0,橢圓C的普通方程為看+9=1,所以橢圓C的右

頂點坐標為(3,0),若直線/過點(3,0),則3—〃=0,所以。=3.

??考題體驗

X—1+3f,

4.(2019?北京卷)已知直線/的參數方程為Q為參數)，則點(1,0)到直線/的距

[y=2+ι4f

離是()

6

ABD.

?5-55

答案D

解析由題意可知直線/的普通方程為4χ-3γ+2=0,則點（1,0）到直線/的距離d=

∣4X1—3X0+2∣=?∣.故選D.

√42+(-3)2

X=Zcosa,

5.已知直線/的參數方程是。為參數），若/與圓N+j2—4x+3=0交于A,B

Iy=ISIna

兩點，且HBI=小，則直線/的斜率為.

”:案+亞^

口不^15

x=fcosα,

解析由彳。為參數），得y=xtanα,

j=%sιna

設k=Ianα,得直線的方程為y=?‰

由/+產―4X+3=0,得（x—2）2+y2=l,圓心為（2,0）,半徑為1,

???圓心到直線y="的距離為

[x=2÷2cosθ,

6.（2019?天津卷）設直線αχ-y+2=0和圓

[y=l+2sinθ

（。為參數）相切，則實數Q=.

3

答案4

解析圓的參數方程消去仇得（X—2）2+0—1）2=4.

圓心（2,1）,半徑r=2.

又直線Or—y+2=0與圓相切.

∣2t∕-l+2∣3

d==2,解得

yja2-?^1

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一參數方程與普通方程的互化自主演練

I.下列參數方程與方程γ2=x表示同一曲線的是（）

x=tfX=Sin2/,

A.B.

y=t2J=Sint

1—cos2t

x=t,

X1+cos2f

C.D.1

j=√7ιj=tant

答案D

解析對于A,消去，后所得方程為爐=),,不符合V=心對于B,消去/后所得方程為V

=χ,但要求0≤%≤l,也不符合V=x；對于C,消去/得方程為V=R,且要求yeo,x

也不符合2對于;1—c匕o一s2彳/=部?ein-f2符合.故選

∈R,y=x;D,X==tan2f=y,V=XD.

1Icos/rI

2.把下列參數方程化為普通方程.

X=1+J,

⑴,（f為參數）;

y=5

X=Sinθ,

（2>“（。為參數，0∈[O,2π））.

J=COS化

解(1)由已知得，=2x—2,代入y=5+坐，中得y=5+乎(2χ-2).

即它的普通方程為√5x—y+5—√5=0?

(2)因為sin20+cos20=1,所以x2+y=1,即y=1-χ2.

又因為ISin0∣≤1,所以其普通方程為y=l—x2(∣x∣≤l)?

3.將下列參數方程化成普通方程.

X=P-1>

（1?,.（f為參數）;

y=t2+?1

X=COSθ,

為參數，，

（2）'6θe5

,y=sinθ

解(1)消去參數f,得y=x+2,由于戶》0,所以普通方程為y=χ+2(χ>-i),表示一條射

線.

(2)消去參數θ,得/+y2=l,由于J∈?,兀，所以x∈[-1,0],yeLOJJ,所以普通方程

為/+y2=1(-IWxWO,OWyWl),表示圓的四分之一.

感悟升華1.化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，常用的消參方法有代入消去

法、加減消去法、恒等式(三南的或代數的)消去法.另外，消參時要注意參數的范圍.

2.普通方程化為參數方程時，先分清普通方程所表示的曲線類型，結合常見曲線的參數方

程直接寫出.

考點二參數方程的應用師生共研

X=3COSθ,

【例1】在直角坐標系Xoy中，曲線C的參數方程為C(6為參數)，直線/

j=sιnθ

[x=a+4t,

的參數方程為Q為參數).

Iy=I

(1)若4=-1,求C與/的交點坐標；

(2)若C上的點到/距離的最大值為4萬，求α

解(I)Q=-I時，直線/的普通方程為x+4y-3=0.

曲線C的標準方程是看+)2=1,

x+4y—3=0,

聯立方程1χ2x=3

解得?

y+y2=?，J=O

(2)直線I的普通方程是x+4y-4-a=0.

設曲線。上點P(3cos0,sinθ),

Ll丁】叱f∣3CoSo+4Sine—4—α∣∣5Sin(O+勿)-4—?α∣

則P到/距離d=--------而-----I=J_----l,

3

其中tan0=]

又點C到直線/距離的最大值為M萬，

所以∣5sin(6+o)-4-3的最大值為17.

若則一5—4—a=—17,,4=8.

若”0,則5—4—a=17,???〃=-16.

綜上，實數。的值為。=-16或α=8.

x=λ∕5cosα,

【例2】(2021?河南省八市重點高中聯考)在直角坐標系JVoy中，曲線G：J

j=2÷?5sina

(。為參數).以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2：p2=4.cos夕一

3.

(1)求G的普通方程和C2的直角坐標方程；

⑵若曲線G與C2交于A,B兩點，A,3的中點為點尸(0,-1),求IPM?∣AB∣的值.

解(1)曲線α的普通方程為/+(γ-2)2=5.

由p2=A2+)2,PCOSe=X,得曲線。2的直角坐標方程為X2+J2-4X+3=0.

(2)將兩圓的方程x2+(y-2)2=5與x2+y2-4x+3=0作差，得直線AB的方程為χ-y-l=

0.

點P(0,—1)在直線AB上，設直線AB的參數方程為?為參數),

代入/+>2—4x+3=0化簡得產一3Λ∕2Z+4=0,顯然/>0,所以f】+，2=3，^,∕∣∕2=4.

因為點M對應的參數為中=平，

所以IPMMBI="苧?∣rl-f2∣

—3^^×??J(fι+?)2—4Z√2—3^^×^?∣18—4X4=3.

感悟升華1.在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，

尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值

條件求解.

X=?θ-∣-/cosQf,

2.過定點Po(XO,州)，傾斜角為α的直線參數方程的標準形式為,,?為參數),

J=)'o+fsina

一[x=xo+αr,

r的幾何意義是POP的數量，即I力表示PO到尸的距離，f有正負之分.對于形如

[y=yo+bt

(f為參數)，當“2+∕≠l時，應先化為標準形式后才能利用f的幾何意義解題.

X=COSθ,

【訓練1】(2021?南昌摸底測試)在直角坐標系中，曲線C的參數方程為(。為

.y=cos2θ

x=t,

參數)，直線/的參數方程為?為參數）.

j=-5+2l√2r/

(1)求曲線C和直線/的普通方程；

(2)設RQ分別是直線/和曲線C上的動點，求∣P0∣的最小值.

解⑴因為y=cos26=2cos2。-1,X=COS仇

所以曲線C:y=2Λ2—1(-lWx≤l)