福建省部分地市校2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C2．B3．D4．C5．A6．D7．A8．C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．ABC10．BCD11．BD12．AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。354,13．-814．15．16．323四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）222（1）由余弦定理知cab2abcos3，······1分方法1：cababab3abab所以c1ab·······3分34211，當(dāng)ab時(shí)取等，此時(shí)ABC為正三角形.·········4分221故c的最小值為2.·······5分方法2：cababa1aa1a1113a3a13a244所以c11，當(dāng)a時(shí)取等.221故c的最小值為2.（2）方法1：因?yàn)锳BC2.·····1分322A23cosAcosAcos所以原式23····3分·13cosAcosAsinAcosA····4分·2231313····5分cosAsinAcosAsinA0·2222第1頁（共8頁）方法2：因?yàn)锳BC原式coscos2，3ABABABABABcoscos22222ABABABABABABABABABcossinsincoscossinsincos2222222222cos2coscosABABABcoscos2223cosABABcos22ABABcos022AB0.2綜上所述：cosAcosBcos（12分）18．（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以ABAD，因?yàn)槠矫鍭BCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，ABAD，所以AB平面ADEF，·····1分又因?yàn)锳F平面ADEF，所以ABAF，連接AC，則AC22，·····2分在△ACF中，AF2AC222(22)2(23)2CF2，所以AFAC，因?yàn)锳FAC，ABAF，AB,AC平面ABCD，且ABACA，從而AF平面ABCD，又AD平面ABCD，·····3分所以AFAD，因?yàn)锳BAD，AFAD，AB,AF平面BAF，且ABAFA，所以AD平面BAF，·····4分又AN平面BAF，所以ADAN，又因?yàn)锳D∥BC，所以BCAN，又N是BF中點(diǎn)，AFAB，所以ANBF，·····5分第2頁（共8頁）因?yàn)锳NBF，BCAN，BF,BC平面BCEF，且BFBCB，所以AN平面BCEF，又因?yàn)镃M平面BCEF，所以ANCM．·····6分（2）由（1）知，AF平面ABCD，且ABAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AF所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，·····1分則A0,0,0、B2,0,0、D0,2,0、E0,1,2，則BE(2,1,2)，AB(2,0,0)，AE(0,1,2)，2EFME1424由BCMEFM得，，所以BMBE(,,)，····3分BCBM23333244224M,,MD,,，所以····4分，3333332x0nAB0設(shè)面ABE的法向量為nx,y,z，由得，，取y2，則y2z0nAE0n0,2,1，····5分設(shè)直線MD和平面ABE所成角為，第3頁（共8頁）sincosMD,n則842533，····6分5416161499925．5所以直線MD和平面ABE所成角的正弦值為（12分）19．（1）當(dāng)n1時(shí)，2aS2aa2，所以a2，····1分n2時(shí)，2aS2①，2aS2②，····3分①-②得2an2an1SnSn10，即2an2an1an0，an2an1，····4分所以an是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以a2，····5分所以blog2alog22log2n1；····6分（2）T2Tbbb1，即T23n····1分③，aaa22223n1④，····3分122n111111n122④-③，得T22222112132n1n12nn1n3····5分3n，n22n31因?yàn)?，n0，所以T3.····6分22（12分）20．（1）fxabaxb，x0，a0，xx當(dāng)b0時(shí)，f￠(x)>0，fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增；b當(dāng)b0，且x0,時(shí)，fx0，fx單調(diào)遞減；a第4頁（共8頁）b當(dāng)x,時(shí)，f￠(x)>0，fx單調(diào)遞增.a綜上，當(dāng)b0時(shí)，fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增；bb當(dāng)b0時(shí)，fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，在區(qū)間,上單調(diào)遞增.aa2（2）當(dāng)ab1時(shí)，gxxfxxxlnxx，x0，故gx2xlnx2.令hx2xlnx2，x0，所以hx2x1，x1當(dāng)x0,時(shí)，hx0，hx單調(diào)遞減；21當(dāng)x,時(shí)，hx0，hx單調(diào)遞增.211又h10，hln210，h22e11故x02,，使得hx00.e2220，e當(dāng)x0,x0時(shí)，hx0，gx0，gx單調(diào)遞增；當(dāng)xx0,1時(shí)，hx0，gx0，gx單調(diào)遞減；當(dāng)x1,時(shí)，hx0，gx0，gx單調(diào)遞增，故gx存在極小值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)為x1.（12分）21．（1）x304050607050，5152435y87，又xi(i1,2,3,,5)的方差為xix200，5i15?所以bxxyyxy5xyi1ii55i15xix2i1ii520022820550871.07，1000?871.075033.5，故y?1.07x33.5，當(dāng)x100時(shí)，y140.5，?ybxa故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分．（2）零假設(shè)為H0：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)．根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：第5頁（共8頁）2nadbc2abcdacbd2202513035301655560160211012.22，9因?yàn)?2.2210.828，所以依據(jù)0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)22.（12分）92pt9p5，（1）設(shè)Mt,3，由題意可得p，即2p2t52解得p1或p9（舍去），所以拋物線C的方程為y22x.（2）如圖，設(shè)經(jīng)過Ax,y，Bx,y兩點(diǎn)的直線方程為l：xmy1（mR），與拋物線方程y22x聯(lián)立可得y2my2，即y2my20，4m80∴yy2m，y1y22.∵y22x，則y2x，∴y12x1，yy11xxyx，yy2∴過點(diǎn)A作C的切線l方程為y2yy1令y0，得x，即P,0.22同理，過點(diǎn)B作C的切線l2方程為yy1x，y2y22y,0.令y0，得x，即Q22第6頁（共8頁）2y2y12∴PQ.22y聯(lián)立兩直線方程yy1x1y12y1y2x12，解得，即D1,m，y21yy2y1xmy2221mm1m12則D到直線l的距離dDABm22m12.又∵過點(diǎn)A作直線l3垂直于l，直線l3的方程為yyxxyyyx2y12y1R1,0令y0，得x，即1.22yy，2y同理，直線l4的方程為yyxy，2y22y1,0.令y0，得x1，即S22y22y12∴RS.22yy1x聯(lián)立兩直線方程yyx2y12y22y1y2y13x1y122，解得，yyyyy232y121y222x2m22整理后可得，即E2m2,2m，y2m則E到直線l的距離d2m2m2m1m11m1.11y22y121m2