微課3含有e'與Inx的組合函數或不等式問題

二題型分類突破

題型一分離e'和InX

［例I］已知函數α。=或一MnX.證明：當x>0時,Xx)<rev+∣.

證明要證"v)ɑe*+1,

只需證ex—Inx<ev+~,即ex—ev<lnx÷~.

IQY--1

令∕z(x)=lnx+菽(x>O),則∕f(x)=w-,

易知恤)在(O,F)上單調遞減，在(：，+8)上單調遞增，則〃(x)mm=/《)=0,

所以lnx+^?=0.

再令0(X)=ex—e*,則°'(x)=e-e”,

易知磯x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

則9(x)max=9(l)=0,所以eχ-e*WO.

因為h(x)與O(X)不同時為0,

所以ex—ejc<lnx+已，故原不等式成立.

感悟升華1.若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個都便于求

導的函數，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標.

2.本題中變形后再隔離分析構造函數，原不等式化為In》+?5一小:。0)(分離InX與e`),

便于探求構造的函數∕z(x)=InX+J和0(X)=ex—e*的單調性，分別求出∕?(X)的最小值與夕(X)

的最大值，借助“中間媒介”證明不等式.

1+inγf(?)2e*I

【訓練1】已知函數加)=一「，證明：當Ql時，不等式4^k成

?e-11VA-I1)\AcI1/

立.

葉口口M一始J(X)2e?c在上山1(x+l)(Inx+l)2-

證明將不等式方廠>變形為；

(x+1)GJ+1)77.^xσv÷1

八(X+1)(InX+1)Vpw2ex~l

分別構建函數g(x)=-------------；-------------和函數h(x)=,.

?XQv-11I

x-]nx

則g<x)=-L-,令磯X)=X-InM

1Y-1

則φ,(x)=?--=-^.

,

因為x>l,所以φ(x)>09所以磯x)在(1,+8)上是增函數,所以^(x)>^(l)=l>O,所以g'(x)>O,

所以g(x)在(1,+8)上是增函數，所以X>l時，g(χ)>g(D=2,故，e+]>R^j^.

2e“?(1—e")

h?x)=-(2+1)2,因為心*1,所以1—e*<O,所以"(x)vθ,所以∕z(x)在(1,+8)上是減

2

函數，所以Ql時，Λ(x)<A(l)=^μγ.

O(X)

綜上所述，?p>Λ(x),

J(X)2ev∣______

e÷l>(x÷1)(xex÷l)

題型二借助e*2x+1和InXWX—1(QO)進行放縮

【例2】已知函數/U)=χ-1—Hnx.

(1)若√U)20,求。的值；

(2)設機為整數，且對于任意正整數%(1+0(1+/)?(1+/)<相，求加的最小值.

解(1次Λ?)的定義域為(O,+∞),

①若αW0,因為τQ=-3+αln2<O,所以不滿足題意.

②若a>0,由/(X)=I—W=LY?P,

當x∈(0,”)時，/(x)<0;當x∈(α,+8)時，/(χ)>0;

所以y(x)在(0,α)單調遞減，在3，+8)單調遞增，

故x=a是y(x)在(0,+8)的唯一最小值點.

因為式1)=0,所以當且僅當”=1時，式x)20,故α=l.

(2)由(1)知當XG(1,+8)時，χ一ι-InX>0,

即Inx<χ-?.

令X=1+/,得In(I+』)</.

從而In(I+3)+In(I+&H------Hn(I+/卜；+/+,II

???÷2^=1-2^<1.

故(l+0(l+?)?…(l+?)<e,

又(1+9(1+演1+這)=鬻?

從而m的最小正整數是m=3.

感悟升華1.第(1)問可借助)，=χ-l與y=αlnx圖象的位置關系，利用導數的幾何意義求解，

請讀者完成.

2.第⑵問利用教材習題結論x>l+lnx(x>O,且X/1)進行放縮，優化了解題過程.若利用e?

替換X,可進一步得到不等式e*2x+l(當x≠O時取等號).

【訓練2】已知函數./U)=ef-α.

(1)若函數小)的圖象與直線/：y=x-1相切，求α的值；

(2)若人r)—InX>0恒成立，求整數”的最大值.

解(Iy(X)=ev,因為函數火x)的圖象與直線y=χ-l相切，所以令/(x)=l,即厘=1,得X

=0,

二切點坐標為(0,-1),則.穴0)=1—。=-1,.?.α=2.

(2)先證明et>x÷1,設F(x)=ex-χ-1,

則尸(X)=e'-l,令尸(X)=0,則X=0,

當x∈(0,+8)時,F((X)>0；當x∈(-8,0)時，F,(x)<O.

所以F(X)在(0,+8)上單調遞增，在(-8,0)上單調遞減，所以尸(x)min=R0)=0,即F(X)

20恒成立.

.".ex^x+1,從而e。一22x—l(x=O時取等號).

以InX代換X得InXWX-1(當X=1時，等號成立)，

所以eA—2>lnx.

當α≤2時，Inx<ev-2≤er-u,

則當a≤2時，βx)-lnx>O恒成立.

當a23時，存在X,使e"一α<lnx,

即e'-α>lnx不恒成立.

綜上，整數”的最大值為2.

題型跟蹤訓練---------------------

1.(2020?重慶調研)函數yU)=eL∣-%x2+(4-l)x+/在(一8,十8)上單調遞增，則實數a

的取值范圍是()

A.{l}B.{-l,1}

C.{0,1}D.{-l,0}

答案A

解析了(x)=eL∣-αx+(α-1)20恒成立，

即er∣20χ-(a—1)恒成立,

由于：ev^x÷?,即e*∣2x,

.二只需要x20r-3—1),即(a—l)(χ-I)Wo恒成立，

所以4=1.

2.已知函數/U)=αr+InX+1,對任意的x>0,∕U)Wxe2v恒成立，求實數。的取值范圍.

解由/(x)=Or+In尤+1,所以對任意的QO,y(x)Wxe2t恒成立，等價于“We2X-"：+L在(0,

+8)上恒成立，

先證明e'2x+l,當且僅當X=O時取等號(證明略).

所以當x>0時，有xe2-v=e,nxe2A=elnv+2λ≥lnx+2x+1,

所以e2κ)乎+2+*即elr一見*》2,當且僅當lnx+2x=0時取等號，

所以實數”的取值范圍為(-8,2].

3.已知人X)=H,g(x)=x+1(e為自然對數的底數).

(1)求證：火X)Nga)恒成立；

(2)設機是正整數，對任意正整數〃，(l+9(l+*)j???(l+∕)<∕n,求相的最小值.

(1)證明令〃(X)=於)一g(x)=eλ-x—1,則"(x)=e'-1,

,

當x∈(-8,0)時，h?x)<O,當x∈(0,+8)時，∕7(χ)>0,

故〃(X)在(一8,0)上單調遞減，在(0,十8)上單調遞增，

所以/Z(X)min=A(O)=O,即∕z(x))O恒成立，

所以y(x)2g(x)恒成立.

1

1-

⑵解由⑴可知0<l+左≤e3”,由不等式的性質得

?j_??

(1+；)(]+=)(1(1÷jw)≤e3?e32?e33e3rt

_I1X1X1lχ

~e332333n

所以加的最小值為2(m∈N*).

4.已知函數段)=lnx+*證明：當。注時，於)一eFO.

、十口口而、τ山?2a_.

證明要證當時rιx，linxl÷--erv>O,

即證ln%+%>er,

x

Vx>O,即證xlnx+a>xe~9

即證Cdnx+4)min>(xe一x)max?

令h(x)=x?nx+a1則h?x)=?nx÷1.

當OaS時，∕W<0;當x>∣?,/(x)>0.

.?.函數〃(X)在(0,§上單調遞減，在+8)上單調遞增，

?'?h(x)mιn=般)=-：+〃，

911

故當〃2展時，Λ(x)≥--÷6Z≥-.Φ

令磯X)=Xer,則φ,(x)=ex-χex=e~χ?-χ).

當04<1時，"(x)>0;當Λ>1時，9’(X)<。

???函數砥萬在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

?*?s(x)max=8(1)=".

故當x>0時，O(X)W土②

顯然，不等式①②中的等號不能同時成立，

故當α話時，lnx÷^-ev>0.