2023-2024學年河北省承德市平泉市八年級第一學期期末數學試卷一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1～6小題各3分，7～16小題各2分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．3？＝，則？是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．32．AD是△ABC的中線同時平分∠BAC，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．下列運算正確的是（）A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a﹣3）2＝a6 D．2a2?a﹣1＝2a4．如圖，C處在B處的北偏西40°方向，C處在A處的北偏西75°方向，則∠ACB的度數為（）A．30° B．35° C．40° D．45°5．1012等于（）A．1002+2×100+1 B．1002﹣2×100+1 C．1002+1 D．1002﹣16．若k為任意整數，則（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除7．人體中樞神經系統中含有1千億個神經元．某個神經元的直徑約為52微米，52微米為5.2×10﹣5米．將5.2×10﹣5用小數表示為（）A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.00000528．下面四幅作品分別代表二十四節氣中的“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．如圖，若△MNP≌△MEQ，則點Q應是圖中的（）A．點A B．點B C．點C D．點D10．如圖，八邊形ABCDEFGH每條邊都相等，且∠C＝∠E＝∠H，若△BDF，四邊形ABFG的周長分別為a，b，則下列正確的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小無法比較11．在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，則邊AB：BC是（）A．1：2 B．2：1 C．3：1 D．1：312．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°13．在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內角和等于180°”的是（）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥BC C．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC14．如圖，若x為正整數，則表示的值的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④15．如圖，直線l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之間，一三角板直角邊在l1上，三角板斜邊在同一直線上，則∠α＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°16．如圖，用一把長方形直尺的一邊壓住射線OB，再用另一把完全相同的直尺的一邊壓住射線OA，兩把直尺的另一邊交于點P．下列判斷錯誤的是（）A．射線OP是∠AOB角平分線 B．△POC是等腰三角形 C．OP是∠AOB角平分線依據是角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 D．OP是∠AOB角平分線依據是在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上二、填空題（本大題共3個小題，共9分.17題18題每空2分，19每空1分）17．若分式的值為0，則x＝．18．如圖，已知點P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB＝60°，OP＝8，PD⊥OA，如果點C是OB上一個動點．（1）若PC＝OC時，PC與OA的位置關系；（2）PC最小值為．19．如圖①，有A、B兩個正方形，邊長分別為a，b，若將這兩個正方形疊放在一起可得到圖②，則圖中陰影部分面積為1，若將A，B并列放置構造出新的正方形可得到圖③，圖中陰影部分面積為24．則：（1）（b﹣a）2＝；（2）ab＝；（3）新構造出的正方形面積為．三、解答題（本大題共7個小題，共73分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步20．已知：A＝（m﹣4）（m+1）+3m，B＝2m2﹣4m．（1）將A分解因式；（2）比較A、B的大小；（m≠2）（3）求m＝3時的值．21．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D均為格點（網格線的交點）．（1）畫出線段AB關于平面鏡CD所成像A1B1；（2）一束光線從A點出發經平面鏡上P點反射后經過點B，請在平面鏡上確定點P，保留作圖痕跡；（提示此時△PAB周長最小）（3）描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．22．機器人AD在水平線路BC間（不含B，C）做往返運動，BC＝10，D為BC上動點，AD⊥BC，AD＝6，連接AB，AC．（1）機器人在運動中，△ABC周長是否改變？（填“變”或“不變”）；△ABC面積是否改變？（填“變”或“不變”）．（2）機器人運動到BC中點時，判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）機器人運動中△ABC為等腰三角形，點D的位置有處．23．已知多項式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9（x為整數）．（1）試說明：多項式P被5整除．（2）若P＝15，求的值．24．甲乙兩船從B港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中速度都是30km/h，水流速度時akm/h，6h后兩船同時到達A、C兩港口；卸裝貨物后，又同時出發，甲船駛往C港口，乙船駛往A港口．（提示：順水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速）（1）AC兩港口相距多遠？（2）卸裝貨物后兩船再同時出發，乙船到達A港口時，甲船距C港口120km，求a值．25．已知：AB⊥CD于點O，AB＝AC＝CD，點I是∠BAC，∠ACD的平分線的交點，連接IB，ID．（1）∠AIC＝度；（2）求證：IB＝IC且IB⊥IC；（3）探究：①∠AIC+∠BID＝度；②S△IBDS△AIC．（填“＞”“＜”“＝”）26．圖1，Rt△ACB中∠ACB＝90°，在CA上取E，使CE＝CB，延長BC至D，使得CD＝CA．（1）求證：AB＝DE．（2）判斷AB與DE的位置關系，并說明理由．（3）若DE的延長線過AB的中點，求∠B的度數．遷移應用：圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于F．（4）直接寫出線段BE與FD的數量關系，并在圖2中畫出探究時所需要的輔助線．

參考答案一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1～6小題各3分，7～16小題各2分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．3？＝，則？是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【分析】根據負整數指數冪的性質：進行解答即可．解：∵，3？＝，∴3﹣1＝3？，∴？＝﹣1，故選：A．【點評】本題主要考查了負整數指數冪的性質，解題關鍵是熟練掌握負整數指數冪的性質：．2．AD是△ABC的中線同時平分∠BAC，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【分析】過D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，由角平分線的性質得DE＝DF，再證Rt△BDE≌△CDF（HL），得∠B＝∠C即可得出結論．解：如圖，過D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵AD是BC邊的中線，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C．∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握等腰三角形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵．3．下列運算正確的是（）A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a﹣3）2＝a6 D．2a2?a﹣1＝2a【分析】根據平方差公式，完全平方公式，冪的乘方，單項式與單項式的乘法法則逐項計算即可．解：A．（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，故不正確；B．（a+1）2＝a2+2a+1，故不正確；C．（a﹣3）2＝a﹣6，故不正確；D．2a2?a﹣1＝2a，正確．故選：D．【點評】本題考查了平方差公式，完全平方公式，冪的乘方，單項式與單項式的乘法法則，以及負整數指數冪，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．4．如圖，C處在B處的北偏西40°方向，C處在A處的北偏西75°方向，則∠ACB的度數為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根據題意可得：∠CAD＝75°，∠CBE＝40°，AD∥BE，然后利用平行線的性質可得∠EBA+∠BAD＝180°，從而可得∠EBA+∠BAC＝105°，最后利用三角形內角和定理進行計算即可解答．解：如圖：由題意得：∠CAD＝75°，∠CBE＝40°，AD∥BE，∴∠EBA+∠BAD＝180°，∴∠EBA+∠BAC＝180°﹣∠DAC＝105°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE+∠EBA+∠BAC）＝35°，故選：B．【點評】本題考查了方向角，三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．5．1012等于（）A．1002+2×100+1 B．1002﹣2×100+1 C．1002+1 D．1002﹣1【分析】根據完全平方公式進行展開，即可得到答案．解：1012＝（100+1）2＝1002+2×100+1；故選：A．【點評】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵是學會利用完全平方公式計算．6．若k為任意整數，則（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【分析】利用平方差公式分解因式后可得結論．解：（2k+3）2﹣（2k﹣2）2＝[（2k+3）+（2k﹣2）][（2k+3）﹣（2k﹣2）]＝（2k+3+2k﹣2）（2k+3﹣2k+2）＝5（4k+1），∴（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值總能被5整除．故選：C．【點評】本題考查了因式分解的應用，正確進行因式分解是解題關鍵．7．人體中樞神經系統中含有1千億個神經元．某個神經元的直徑約為52微米，52微米為5.2×10﹣5米．將5.2×10﹣5用小數表示為（）A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.0000052【分析】只需將5.2的小數點向左平移5個數位即可．解：5.2×10﹣5＝0.000052，故選C．【點評】本題考查求科學記數法的原數，掌握科學記數法法則是求解本題的關鍵．8．下面四幅作品分別代表二十四節氣中的“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解即可．解：A、不是軸對稱圖形，本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．9．如圖，若△MNP≌△MEQ，則點Q應是圖中的（）A．點A B．點B C．點C D．點D【分析】根據全等三角形的性質和已知圖形得出即可．解：∵△MNP≌△MEQ，∴點Q應是圖中的D點，如圖，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質，能熟記全等三角形的性質的內容是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．10．如圖，八邊形ABCDEFGH每條邊都相等，且∠C＝∠E＝∠H，若△BDF，四邊形ABFG的周長分別為a，b，則下列正確的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小無法比較【分析】可先求得BD＝DF＝AG，再根據四邊形ABFG的周長＝AG+AB+FG+BF＝b，△BDF的周長＝BD+DF+BF＝a，DE+EF＞DF，即可得到a、b的大小關系．解：在△BCD和△DEF中，，∴△BCD≌△DEF（SAS），∴BD＝DF．同理可得：BD＝AG．∴BD＝DF＝AG．∵四邊形ABFG的周長＝AG+AB+FG+BF＝b，AB＝FG＝DE＝EF，∴四邊形ABFG的周長＝BD+DE+EF+BF＝b．又△BDF的周長＝BD+DF+BF＝a，DE+EF＞DF，∴a＜b．故選：A．【點評】本題主要考查全等三角形的判定及性質、三角形的三邊關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．11．在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，則邊AB：BC是（）A．1：2 B．2：1 C．3：1 D．1：3【分析】利用三角形的面積公式可得答案．解：∵，AD＝2，CE＝4，∴4AB＝2BC，∴AB：BC＝2：4＝1：2，故選：A．【點評】本題考查的是三角形的高、三角形的面積公式，熟記三角形的面積公式是解題的關鍵．12．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分兩種情況討論，當BC＝B′C′時，則△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，當BC≠B′C′時，如圖，利用等腰三角形的性質求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，從而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．解：當BC＝B′C′時，△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠C′＝∠C＝n°，當BC≠B′C′時，如圖，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形全等的性質，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是解題的關鍵．13．在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內角和等于180°”的是（）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥BC C．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【分析】根據平行線性質和三角形內角和定理即可求解．解：A、∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∠B＝∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°，得∠BCA+∠BAC+∠B＝180°，故A不符合題意；B、∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，得∠B+∠BAC+∠C＝180°，故B不符合題意；C、∵DE∥BC，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，無法證得三角形的內角和等于180°，故C符合題意；D、如圖，∵DE∥BC，∴∠B＝∠AOE＝∠BOP，∠C＝∠AMP，∵∠A+∠AMP＝∠AOP，∴∠A+∠C＝∠AOP，∵∠BOP+∠AOP＝180°，∴∠BOP+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了三角形內角和定理和平行線的性質的知識點，熟悉以上知識點是解題關鍵．14．如圖，若x為正整數，則表示的值的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【分析】根據分式的性質進行化簡，然后取特殊值即可求解．解：∵且x為正整數，取x＝1時，，，∴表示的值的點落在段③，故選：C．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．15．如圖，直線l1∥l2，一副三角板放置在l1，l2之間，一三角板直角邊在l1上，三角板斜邊在同一直線上，則∠α＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】先根據兩直線平行，內錯角相等得出∠1＝∠2＝30°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得出∠3＝∠α+∠2，從而求出∠α的度數．解：如圖，∵直線l1∥l2，∴∠1＝∠2＝30°，∵∠3＝∠α+∠2，且∠3＝45°，∴∠α＝45°﹣30°＝15°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，一副三角板各角的度數，熟練掌握這兩個性質是解題的關鍵．16．如圖，用一把長方形直尺的一邊壓住射線OB，再用另一把完全相同的直尺的一邊壓住射線OA，兩把直尺的另一邊交于點P．下列判斷錯誤的是（）A．射線OP是∠AOB角平分線 B．△POC是等腰三角形 C．OP是∠AOB角平分線依據是角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 D．OP是∠AOB角平分線依據是在角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【分析】過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據題意可得PE＝PF，再根據角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，可得OP平分．解：如圖所示：過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF，∵PE⊥AO，PF⊥BO，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°在△PEO和△PFO中，，∴△PEO≌△PFO（HL），∴∠POE＝∠POF，∴OP平分∠AOB，∴A選項和D選項說法正確．∵PE＝PF，PF＝OG，∴PE＝OG，∵長方形直尺，∴∠CGO＝90°，∴∠CGO＝CEP，在△CGO和△CEP中，，∴△GCO≌△ECP（AAS），∴OC＝PC，∴△POC為等腰三角形，∴B選項說法正確．故選：C．【點評】此題主要考查了角平分線的判定和等腰三角形的判定，關鍵是正確畫出輔助線．二、填空題（本大題共3個小題，共9分.17題18題每空2分，19每空1分）17．若分式的值為0，則x＝．【分析】根據分式的值為零，則分子為零，分母不為零，求解即可．解：∵分式的值為0，∴，解得：．故答案為：【點評】本題考查了分時值為零的條件，熟知分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可是解題的關鍵．18．如圖，已知點P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB＝60°，OP＝8，PD⊥OA，如果點C是OB上一個動點．（1）若PC＝OC時，PC與OA的位置關系PC∥OA；（2）PC最小值為4．【分析】（1）根據角平分線的性質、等腰三角形的性質及平行線的判定進行解答即可；（2）根據角平分線的定義可得，再根據直角三角形的性質求得，然后根據角平分線的性質和垂線段最短得到結果．解：（1）∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠COP，∵PC＝OC，∴∠CPO＝∠COP，∴∠CPO＝∠AOP，∴PC∥OA，故答案為：PC∥OA；（2）過點P作PH⊥OB，∵P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB＝60°，∴，∵PD⊥OA，OP＝8，∴，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PH＝PD＝4，∵點C是OB上一個動點，∴PC的最小值為P到OB距離，即PH的長，∴PC的最小值＝PH＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，直角三角形的性質，熟記性質并作出輔助線構造成直角三角形是解題的關鍵．19．如圖①，有A、B兩個正方形，邊長分別為a，b，若將這兩個正方形疊放在一起可得到圖②，則圖中陰影部分面積為1，若將A，B并列放置構造出新的正方形可得到圖③，圖中陰影部分面積為24．則：（1）（b﹣a）2＝1；（2）ab＝12；（3）新構造出的正方形面積為49．【分析】（1）利用正方形性質，可知疊放在一起后陰影部分的小正方形邊長是b﹣a＝1；（2）由（a+b）2﹣a2﹣b2＝24，求出ab的值即可；（3）由b﹣a＝1，ab＝12，通過完全平方式的變形，即可得出結果．解：（1）由圖可知①中小正方形的邊長為b﹣a，面積為1，∴（b﹣a）2＝1，故答案為：1；（2）∵b＞a，∴b﹣a＝1，由圖可知②中新構造出的正方形邊長為a+b，∴面積＝（a+b）2，∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝24，∴ab＝12，故答案為：12；（3）∵b﹣a＝1，ab＝12，∴新構成的正方形面積為（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝12+4×12＝49．故答案為：49．【點評】本題考查了完全平方公式的應用，掌握完全平方公式及其變形是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7個小題，共73分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步20．已知：A＝（m﹣4）（m+1）+3m，B＝2m2﹣4m．（1）將A分解因式；（2）比較A、B的大小；（m≠2）（3）求m＝3時的值．【分析】（1）先化簡整理多項式，再根據平方差公式即可分解因式；（2）利用差值法比較大小；（3）先分式化簡，再求值即可．解：（1）A＝（m﹣4）（m+1）+3m＝m2﹣3m﹣4+3m＝m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）；（2）B﹣A＝2m2﹣4m﹣（m2﹣4）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵m≠2，∴（m﹣2）2＞0，∴B＞A；（3），當m＝3時，．【點評】此題考查了因式分解和分式化簡求值，熟練掌握運算法則和乘法公式是解題的關鍵．21．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D均為格點（網格線的交點）．（1）畫出線段AB關于平面鏡CD所成像A1B1；（2）一束光線從A點出發經平面鏡上P點反射后經過點B，請在平面鏡上確定點P，保留作圖痕跡；（提示此時△PAB周長最小）（3）描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．【分析】（1）找到線段AB的端點關于直線CD的對應點即可完成作圖；（2）連接AB1即可完成作圖；（3）以為AB對角線作出矩形，即可確定其中點M，根據格點三角形全等作出垂線，即可；完成作圖．解：（1）如圖，A1B1即為所求．（2）如圖，點P即為所求．（3）如圖，即MN為所求．如圖，取格點E，F，G，由題意，ME＝MF，FB＝AE，∠BFM＝∠AEM＝90°∴△BFM≌△∠AEM，∴AM＝BM同理，△NGM≌△MEA，∠GMN＝∠MAE，∵∠AME+∠MAE＝90°，∴∠AME+∠GMN＝90°，∴AB⊥MN，∴直線MN垂直平分線段AB．【點評】本題考查了網格作圖，掌握軸對稱、垂直平分線及線段和最小等相關結論是解題關鍵．22．機器人AD在水平線路BC間（不含B，C）做往返運動，BC＝10，D為BC上動點，AD⊥BC，AD＝6，連接AB，AC．（1）機器人在運動中，△ABC周長是否改變？變（填“變”或“不變”）；△ABC面積是否改變？不變（填“變”或“不變”）．（2）機器人運動到BC中點時，判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）機器人運動中△ABC為等腰三角形，點D的位置有3處．【分析】（1）根據周長公式和面積公式，將數值代入即可判斷；（2）當機器人運動到中點時，可用全等三角形△ABD≌△ACD得出△ABC的形狀；（3）△ABC為等腰三角形的情況，需要根據兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進行判斷，注意分情況討論．解：（1）設BD為x．∵BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣x，∵AD⊥BC，AD＝6，BD＝x，CD＝10﹣x，∴，，∴△ABC的周長為：，∴△ABC的周長在機器人運動的過程中會發生改變．∵△ABC的面積為：，∴，∴△ABC的面積在機器人運動的過程中不會發生改變．故答案為：變；不變；（2）當機器人運動到BC中點時，△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵機器人在BC中點，∴BD＝BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（3）△ABC為等腰三角形分三種：當AC＝BC＝10時，∵AD＝6，∠ADC＝90°，∴，BD＝BC﹣DC＝2，∵∠ADB＝90°，∴，根據兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可以判斷出，此時存在等腰三角形△ABC，當AB＝BC＝10時，同理可得：，此時也存在等腰三角形△ABC，當AB＝AC時，根據小題（2）可知，此時△ABC是等腰三角形．故答案為：3．【點評】本題考查了三角形的周長、面積、勾股定理、全等三角形的性質與判定以及等腰三角形的判定，解題的關鍵在于結合圖形作答．23．已知多項式P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9（x為整數）．（1）試說明：多項式P被5整除．（2）若P＝15，求的值．【分析】（1）利用完全平方公式、單項式乘多項式去括號、合并同類項，即可證明；（2）根據P＝15，求出x的值，然后代入即可．解：（1）P＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9＝x2+4x+4+x﹣x2﹣9，＝5x﹣5，＝5（x﹣1），∴多項式P被5整除；（2），＝，＝，∵P＝15，∴5（x﹣1）＝15，解得x＝4，將x＝4代入得，原式＝＝．【點評】本題考查了整式的乘法和分式的化簡求值，熟練掌握法則是解題的關鍵．24．甲乙兩船從B港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中速度都是30km/h，水流速度時akm/h，6h后兩船同時到達A、C兩港口；卸裝貨物后，又同時出發，甲船駛往C港口，乙船駛往A港口．（提示：順水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速）（1）AC兩港口相距多遠？（2）卸裝貨物后兩船再同時出發，乙船到達A港口時，甲船距C港口120km，求a值．【分析】（1）根據“甲船行駛路程＝乙船行駛路程”列式計算即可；（2）根據“甲船行駛時間＝乙船行駛時間”列分式方程求解即可．解：（1）由題意可得：AC＝6（30+a）+6（30﹣a）＝180+6a+180﹣6a＝360（km），故AC兩港口相距360km；（2）由題意得：，解得：a＝6，經檢驗a＝6是原方程的解且符合題意，∴a＝6．【點評】本題考查順水、逆水速度，分式方程的實際應用；解決題目的關鍵是找到等量關系．25．已知：AB⊥CD于點O，AB＝AC＝CD，點I是∠BAC，∠ACD的平分線的交點，連接IB，ID．（1）∠AIC＝135度；（2）求證：IB＝IC且IB⊥IC；（3）探究：①∠AIC+∠BID＝180度；②S△IBD＝S△AIC．（填“＞”“＜”“＝”）【分析】（1）根據角平分線的定義和三角形內角和即可求解；（2）證明△ABI≌△ACI（SAS），然后根據性質即可求解；（3）①由△DCI≌△ACI（SAS），通過性質即可求解；②連接AD，證明△DCI≌△ACI，通過性質即可求解；解：（1）∵點I是∠BAC，∠ACD的平分線的交點，∴，，∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，∴，∵∠IAC+∠ACI+∠AIC＝180°，∴∠AIC＝135°，故答案為：135；（2）∵由點I是∠BAC，∠ACD的平分線的交點，∴∠BAI＝∠CAI，在△ACI和△ABI中，，∴△ABI≌△ACI（SAS），∴IB＝IC，∵由點I是∠BAC，∠ACD的平分線的交點，∴，∴∠AIC＝180°﹣45°＝135°＝∠AIB，∴∠BIC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，即IB⊥IC；（3）①同（2）理可證△DCI≌