2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案10篇

作為一位杰出的老師，開(kāi)頭教學(xué)前需要預(yù)備好教案，教案是教學(xué)藍(lán)圖，可以有效提高教學(xué)

效率。下面是我為大家細(xì)心收集整理的2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案,盼望對(duì)大家有所關(guān)心。

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案篇1

教學(xué)目標(biāo)

學(xué)問(wèn)目標(biāo)等差數(shù)列定義等差數(shù)列通項(xiàng)公式

力量目標(biāo)把握等差數(shù)列定義等差數(shù)列通項(xiàng)公式

情感目標(biāo)培育同學(xué)的觀看、推理、歸納力量

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的概念的理解與把握

等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列"等差"的理解、把握和應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

由_《紅高粱》主題曲"酒神曲”引入等差數(shù)列定義

問(wèn)題：多媒體演示，觀看-------發(fā)覺(jué)？

一、等差數(shù)列定義：

一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。

例1：觀看下面數(shù)列是否是等差數(shù)列：…。

二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是al,公差是d。

則由定義可得：

?2—al=d

a3—a2=d

a4—a3=d

an—an—l=d

即可得：

an=al+(n—1)d

例2已知等差數(shù)列的首項(xiàng)al是3,公差d是2,求它的通項(xiàng)公式。

分析：知道al,d,求an。代入通項(xiàng)公式

解：0a1=3,d=2

0an=al+(n—1)d

=3+(n-l)×2

=2n+l

例3求等差數(shù)列10,8,6,4…的第20項(xiàng)。

分析：依據(jù)al==10,d=-2,先求出通項(xiàng)公式an,再求出a20

解：團(tuán)al=10,d=8-10=-2,n=20

由an=al+(n—1)d得

0a2O=al+(n-l)d

=10+(20-1)X(-2)

=—28

例4：在等差數(shù)列｛an｝中，已知a6=12,al8=36,求通項(xiàng)an。

分析：此題已知a6=12,n=6；al8=36,n=18分別代入通項(xiàng)公式an=al+(n-l)d中，可

得兩個(gè)方程，都含al與d兩個(gè)未知數(shù)組成方程組，可解出al與d。

解：由題意可得

al+5d=12

al+17d=36

0d=2al=2

0an=2+(n—1)×2=2n

練習(xí)

1、推斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：

02325262823O

’

，27,93,

0OCL0

?(0,

?46,04,

5,O48444O35

>,，15,

?-2一

158229;

-‘_-

答案一：①不是②是①不是②是

2、等差數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)依次為a-6,-3a-5,-IOa-I,則a等于

A、IB、-1C>-1/3D、5/11

提示：(一3a—5)—(a—6)=(—lθ?—1)一(—3a—5)

3、在數(shù)列｛an｝中al=l,an=an+l+4,則a10=?

提示：d=an+l-an=—4

老師連續(xù)提出問(wèn)題

己知數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)和為……

作業(yè)

P116習(xí)題3。21,2

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案篇2

一.課標(biāo)要求：

(1)空間向量及其運(yùn)算

①經(jīng)受向量及其運(yùn)算由平面對(duì)空間推廣的過(guò)程；

②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，把握空間向量的正交分解

及其坐標(biāo)表示；

③把握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

(4)把握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直。

(2)空間向量的應(yīng)用

①理解直線的方向向量與平面的法向量；

(2)能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；

③能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；

④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在討論幾何問(wèn)

題中的作用。

二.命題走向

本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容,

高考對(duì)本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間

向量求夾角和距離。

猜測(cè)20年高考對(duì)本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材

上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何

解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。

三.要點(diǎn)精講

1.空間向量的概念

向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量。

說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相

等，用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示;②平面對(duì)量?jī)H限于討論同一平面內(nèi)的平移，而空間向量

討論的是空間的平移。

2.向量運(yùn)算和運(yùn)算率

加法交換率：

加法結(jié)合率：

數(shù)乘安排率：

說(shuō)明：①引導(dǎo)同學(xué)利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向

量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。

3.平行向量（共線向量）：

假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量。平行于記作0?

留意：當(dāng)我們說(shuō)、共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同始終線，也可能是平行直

線;當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義。

共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，EI的充要條件是存在實(shí)數(shù)使=

注：回上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若回（0）,則有=,其中是唯一確定的實(shí)

數(shù)。②推斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使=（O）,則有回（若用此結(jié)論推斷、所在直線平行，

還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）。

回對(duì)于確定的和，=表示空間與平行或共線，長(zhǎng)度為II，當(dāng)0時(shí)與同向，當(dāng)0時(shí)與

反向的全部向量。

13若直線1回，，P為I上任一點(diǎn)，。為空間任一點(diǎn)，下面依據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。

推論：假如1為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)。，點(diǎn)P在

直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿意等式

①其中向量叫做直線I的方向向量。

在I上取，則①式可化為（2）

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則③

①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式。

留意：團(tuán)表示式（*）、（**）既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形

式;O推論的用途：解決三點(diǎn)共線問(wèn)題。13結(jié)合三角形法則記憶方程。

4.向量與平面平行：

假如表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，

記作0?留意：向量0與直線a回的聯(lián)系與區(qū)分。

共面對(duì)量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面對(duì)量。

共面對(duì)量定理假如兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)

對(duì)x、y，使①

注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。

推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)X、y,使

④或?qū)臻g任肯定點(diǎn)。，有⑤

在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又回代入⑤，整理得

⑥由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P,只要滿意等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一

等式)，點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi);對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P,都滿意等式④、⑤、⑥，

所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、(或不共線三點(diǎn)M、A、B)確定的空間平

面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。

5.空間向量基本定理：假如三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯

一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使

說(shuō)明：回由上述定理知，假如三個(gè)向量、、不共面，那么全部空間向量所組成的集合就

是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把｛,,｝叫做空間的一個(gè)基底，，，

都叫做基向量;回空間任意三個(gè)不共面對(duì)量都可以作為空間向量的一個(gè)基底;團(tuán)一個(gè)基底是指一

個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念煙由于可視

為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都

不是。

推論：設(shè)。、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，

使

6.數(shù)量積

(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)。，作，，則角Ae)B叫做向量與的

夾角，記作

說(shuō)明：⑦規(guī)定0,因而=;

回假如=,則稱與相互垂直，記作

團(tuán)在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，留意圖(3)、(4)中的兩個(gè)向量的夾

角不同，

圖⑶中AoB=,

圖⑷中AOB=,

從而有==.

⑵向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。

(3)向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。

即=>

向量：

⑷性質(zhì)與運(yùn)算率

0?0

0=oa=

00

四.典例解析

題型L空間向量的概念及性質(zhì)

例1.有以下命題：①假如向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系

是不共線;②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)肯定共面;③已知向量

是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是()

①②①③②③①②③

解析：對(duì)于①假如向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系肯定共

線所以①錯(cuò)誤。②③正確。

例2.下列命題正確的是()

若與共線，與共線，則與共線；

向量共面就是它們所在的直線共面；

零向量沒(méi)有確定的方向；

若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得；

解析：A中向量為零向量時(shí)要留意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，

D中需保證不為零向量。

題型2：空間向量的基本運(yùn)算

例3.如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量

是()

例4.已知：且不共面.若回,求的值.

題型3：空間向量的坐標(biāo)

例5.⑴已知兩個(gè)非零向量=(al,a2,a3),=(bl,b2,b3),它們平行的充要條件是

A.：II=：I∣B.albl=a2b2=a3b3

C.albl+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k,使=k

(2)已知向量=(2,4,X),=(2,y,2),若I1=6,則×+y的值是()

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

⑶下列各組向量共面的是()

A.=(1,2,3),=(3,0,2),=(4,2)5)

B.=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,D

C.=(l,1,0),=(1,0,1),=(0,1,D

D.=(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,D

解析：(I)D;點(diǎn)撥：由共線向量定線易知；

(2)A點(diǎn)撥:由題知或;

例6.已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4)。設(shè)=,=,⑴求和的夾

角。)若向量k+與k-2相互垂直，求k的值.

思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的

結(jié)果.

解:0A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4),=,=,

=(1,1,0),=(-1,0,2).

(l)cos==-,

和的夾角為-。

(2)≡lk+=k(l,1,0)+(-1,0,2)=(k-l,k,2),

k-2=(k+2,k,-4),且(k+)(k-2),

(k-l,k,2)(k+2,k,-4)=(k-l)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0,

則k=-或k=2,>

點(diǎn)撥:第(2)問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。(+)(k-2)=k22-k-22=2k2+k-10=0,解得k=-,

或k=2(>

題型4：數(shù)量積

例7.設(shè)、、C是任意的非零平面對(duì)量,且相互不共線,則

①()-()=②II-I11-I?0-()不與垂直

(4)(3+2)(3-2)=9112-41|2中,是真命題的有()

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

解析：①平面對(duì)量的數(shù)量積不滿意結(jié)合律.故①假；

②由向量的減法運(yùn)算可知II、I|、I-I恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由兩邊之差小于第

三邊，故②真；

③由于［(H)J=(H)=O,所以垂直.故③假；

例8.⑴已知向量和的夾角為120,且I∣=2,I|=5,則(2-)=.

(2)設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(XI,yl,0),=(x2,y2,0)與向量=(1,1,1)的夾角都

等于。⑴求xl+y：!和XIyI的值;(2)求，的大小(其中0,。

解析：⑴答案：13;解析:0(2-)=22-=2∣∣2-∣∣∣ICOSI20=24-25(-)=13。

(2)解：(1)0∣∣=∣∣=1,x+y=l,×=y=l.

又回與的夾角為，=|IlIcos==.

又I3=xl+y：l,×l+yl=。

另外X+y=(xl+yl)2-2xlyl=l,2×lyl=()2-1=.×lyl=。

(2)cos,==×l×2+yly2,由(1)知,xl+yl=,×lyl=.×1,yl是方程x2-x+=0的解.

或同理可得或

0,或

COS,+=+=.

00,,,=O

評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。

題型5：空間向量的應(yīng)用

例9.⑴已知a、b、C為正數(shù)，且a+b+c=l,求證：++4。

(2)已知Fl=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若Fl,F2,F3共同作用于同一物體上,使

物體從點(diǎn)Ml(I,-2,1)移到點(diǎn)M2(3,1,2),求物體合力做的功。

解析：⑴設(shè)=(，，)，=(1，1,1),

貝IJII=4,II=.

田1IlI，

=++1111=4.

當(dāng)==時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取=號(hào)。

例10.如圖,直三棱柱中，求證：

證明：

五.思維總結(jié)

本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,平行向量，

垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)。和一個(gè)單位

正交基底｛i,j,k｝建立坐標(biāo)系，對(duì)于。點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，

直線的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化，要充分利用空間圖形中己有的直線的關(guān)系和性質(zhì);空間向量的坐標(biāo)運(yùn)

算同平面對(duì)量類似，具有類似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)

有轉(zhuǎn)變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。如向量的數(shù)量積ab=∣a∣∣b∣cos在二維、三維

都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面

兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是全都的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對(duì)于中點(diǎn)

公式要熟記。

對(duì)本講內(nèi)容的考查主要分以下三類：

1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì)

此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、推斷多邊形外形等問(wèn)題。

2.向量在空間中的應(yīng)用

在空間坐標(biāo)系下,通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示,運(yùn)用計(jì)算的方法討論三維空間幾何圖形的性質(zhì)。

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題,

即源于課本。因此，把握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案篇3

1.如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影

依次為點(diǎn)D、E。

(1)若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；

⑵(理)連接AE、BD,摸索索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于肯定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)

N,懇求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并賜予證明;否則說(shuō)明理由。

(文)若為X軸上一點(diǎn),求證：

2.如圖所示，已知圓定點(diǎn)A(l,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且

滿意，點(diǎn)N的軌跡為曲線E。

⑴求曲線E的方程；

⑵若過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間)，且滿意的

取值范圍。

3.設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一

點(diǎn)P,交X軸正半軸于點(diǎn)Q,且

回求橢圓C的離心率；

回若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線

I：相切，求橢圓C的方程.

4.設(shè)橢圓的離心率為e=

(1)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為Fl、F2、A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和

為4,求橢圓的方程.

(2)求b為何值時(shí)，過(guò)圓×2+y2=t2上一點(diǎn)M(2,)處的切線交橢圓于QI、Q2兩點(diǎn)，而且

OQlOQ2.

5.已知曲線上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)Fl(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.

⑴求曲線的方程；

(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的方程.

6.己知橢圓的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B.過(guò)F、B、C作即，其中

圓心P的坐標(biāo)為(m,n).

(El)當(dāng)m+nθ時(shí)，求橢圓離心率的范圍；

(回)直線AB與EIP能否相切?證明你的結(jié)論.

7.有如下結(jié)論：圓上一點(diǎn)處的切線方程為，類比也有結(jié)論：橢圓處的切線方程為，

過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線I上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.

(1)求證：直線AB恒過(guò)肯定點(diǎn)乂2)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求13ABM的面積

8.已知點(diǎn)P(4,4),圓C：與橢圓E：有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1),Fl、F2分別是橢圓的左、

右焦點(diǎn)，直線PFl與圓C相切.

(勖求m的值與橢圓E的方程；

(勖設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.

9.橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)與點(diǎn)的距離為。

(1)求橢圓的方程；

⑵是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿意，若存在，求直

線的傾斜角；若不存在，說(shuō)明理由。

10.橢圓方程為的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率。

(1)求橢圓的方程；

(2)直線：與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿意，求。

11.已知楠圓的左焦點(diǎn)為F,左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B,過(guò)F,B,C三點(diǎn)作，其中圓

心P的坐標(biāo)為.

(1)若橢圓的離心率，求的方程；

⑵若的圓心在直線上，求橢圓的方程.

12.已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

(勖若，求證：曲線是一個(gè)圓；

(助若，當(dāng)且時(shí)，求曲線的離心率的取值范圍.

13.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線的

距離為.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)Q的直線I交X軸于點(diǎn),較y軸于點(diǎn)M,若，求直線I

的方程.

14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過(guò)其上一點(diǎn)的切線方程為為常

數(shù)).

⑴求拋物線方程；

(II)斜率為的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A,斜率為的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為

B(A、B兩點(diǎn)不同)，且滿意，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

(川)在(II)的條件下，當(dāng)時(shí)，若P的坐標(biāo)為(L-1),求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值

范圍.

15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在X軸、y軸上，且滿意IABI=2,點(diǎn)P在線段AB上，且

設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為c。

⑴求點(diǎn)P的軌跡方程C;

(2)若t=2,點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上)，點(diǎn)Q

坐標(biāo)為求回QMN的面積S的最大值。

16.設(shè)上的兩點(diǎn)，

已知，，若且橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2,為坐標(biāo)原點(diǎn).

(助求橢圓的方程；

(助若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c),(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；

(El)試問(wèn)：回AoB的面積是否為定值?假如是，請(qǐng)賜予證明;假如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

17.如圖，F(xiàn)是橢圓(aθ)的一個(gè)焦點(diǎn)，A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為.點(diǎn)C在X

軸上，BCBF,B,C,F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線II：相切.

(助求橢圓的方程：

(助過(guò)點(diǎn)A的直線12與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且，求直線12的方程.

18.如圖，橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且.

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心?

若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).直線交橢圓于

兩不同的點(diǎn).

20.設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且

(1)當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)設(shè)是曲線上的點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).

21.己知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿意

⑴求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；

(2)已知點(diǎn)在曲線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，推斷：直線是否過(guò)定點(diǎn)?試證

明你的結(jié)論.

22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn).

⑴求橢圓的方程：

(2)若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心

的坐標(biāo)；

(3)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上.

23.過(guò)直角坐標(biāo)平面中的拋物線的焦點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A,B兩

點(diǎn)。

⑴用表示A,B之間的距離；

(2)證明：的大小是與無(wú)關(guān)的定值，

并求出這個(gè)值。

24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)

⑴設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)

⑵設(shè)K是⑴中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程

(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM,

PN的斜率都存在，并記為摸索究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

25.已知橢圓的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

⑴求橢圓的方程；

(II)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，

線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

(川)設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿意求的取值范圍.

26.如圖所示，已知橢圓：，、為

其左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，過(guò)的直線：與橢圓相交于、

兩點(diǎn)，且有：(為橢圓的半焦距)

(1)求橢圓的離心率的最小值；

(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶若，，

求證：、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；

27.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)三點(diǎn)作圓，其中圓心的

坐標(biāo)為

(1)當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍

(2)直線能否和圓相切?證明你的結(jié)論

28.已知點(diǎn)A(-l,O),B(l,-1)和拋物線.，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線I交拋物線C

于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.

⑴證明：為定值；

(H)若團(tuán)Pe)M的面積為，求向量與的夾角；

(團(tuán))證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

29.已知橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，其中的距離的最小值為L(zhǎng)

(1)請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的直線，使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿意條件(。為原點(diǎn)),若

存在,求出的方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)是理由。

30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（助若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

（助在軸上是否存在點(diǎn)，使的值與無(wú)關(guān)?若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31.直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn)。Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋

物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)Q是坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求的取值范圍；

（勖過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作此撒物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn).求證：回；

（0）若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，E）ABN的面積的取值范圍為時(shí)，求該拋物線的方程.

32.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋

物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（助當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（助在（團(tuán)）的條件下，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，假如以線段為直徑

作圓，試推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（助是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

33.已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)滿意：，且存在正常數(shù)，使得。

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。

（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn)E,F,且與y軸的交點(diǎn)為D。若求的值。

34.已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求橢圓的方程；

（勖是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得，并說(shuō)明理由.

35.已知橢圓C：（.

（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在⑴的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐

標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率k的取值范圍；

⑶如圖，過(guò)原點(diǎn)任意作兩條相互垂直的直線與橢圓（）相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形一

邊的距離為，試求時(shí)滿意的條件.

36.已知若過(guò)定點(diǎn)、以（）為法向量的直線與過(guò)點(diǎn)以為法向量的直線相交于動(dòng)點(diǎn).

⑴求直線和的方程；

（2）求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)使得恒為定值；

⑶在⑵的條件下，若是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問(wèn)當(dāng)取最小值時(shí)，向量與是否平行，

并說(shuō)明理由。

37.已知點(diǎn)，點(diǎn)（其中）,直線、都是圓的切線.

（助若面積等于6,求過(guò)點(diǎn)的拋物線的方程；

（助若點(diǎn)在軸右邊，求面積的最小值.

38.我們知道，推斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與

橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行討論并完成下面問(wèn)題。

⑴設(shè)Fl、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)Fl、F2到直線的距離分別為dl、d2,試求dld2的

值，并推斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。

（2）設(shè)Fl、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)Fl、F2到直線

（m、n不同時(shí)為0）的距離分別為dl、d2,且直線L與橢圓M相切，試求dld2的值。

（3）試寫出一個(gè)能推斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。

⑷將⑶中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請(qǐng)同學(xué)們給出自己討論的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。

39.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的

縱坐標(biāo)為，點(diǎn)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn).

（助求直線的方程相）求的面積范圍；

（勖設(shè)，，求證為定值.

40.已知橢圓的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，

線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（川）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿意求的取值范圍.

41.已知以向量為方向向量的直線過(guò)點(diǎn)，拋物線：的頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在該拋

物線的準(zhǔn)線上.

⑴求拋物線的方程；

（2）設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作平行于軸的直線，直線與直線交于點(diǎn)，若

（為坐標(biāo)原點(diǎn)，、異于點(diǎn)），試求點(diǎn)的軌跡方程。

42.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋

物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（助當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（助在（即的條件下，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，

與拋物線交于、，假如以線段為直徑作圓，

試推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（Bl）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

43.設(shè)橢圓的'一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率且

過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).

（助求橢圓C的方程；

（勖是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程;若不存在，說(shuō)明理由.

（勖若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的弦，MNAB,求證：為定值.

44.設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M∏L,0）且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點(diǎn)。

（勖當(dāng)時(shí)，若與的夾角為，求拋物線的方程；

（助若點(diǎn)滿意，證明為定值，并求此時(shí)團(tuán)的面積

45.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿意.

（回）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（斯設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且0,,求實(shí)數(shù),

使，且.

46.已知桶圓的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,P為C上任一點(diǎn)，MN是圓的一條直徑，若與

AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。

（1）已知橢圓的離心率；

⑵若的最大值為49,求橢圓C的方程.

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案篇4

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.

2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其運(yùn)算的幾何意義.

4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想,體會(huì)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.

本章重點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.

本章難點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查無(wú)論是試題的難度，還是

試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢(shì)，常以選擇題、填空題形式消失，多為簡(jiǎn)單題.在復(fù)

習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算放在首位.

學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)

15.1復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算

典例精析

題型一復(fù)數(shù)的概念

【例1】⑴假如復(fù)數(shù)(m2+i)(l+mi)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m=;

⑵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限；

(3)復(fù)數(shù)z=3i+l的共規(guī)復(fù)數(shù)為Z=.

【解析】⑴(m2+D(l+mi)=m2-m+(l+m3)i是實(shí)數(shù)l+m3=0m=-l.

⑵由于l+ii=i(l+i)i2=l-i,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),位于第四象限.

(3)由于z=l+3i,所以z=l-3i.

【點(diǎn)撥】運(yùn)算此類題目需留意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,bR),并留意復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛

數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共輾復(fù)數(shù)等概念.

【變式訓(xùn)練1】(1)假如Z=LaiI+ai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于

A.0B.-lC.lD,-1或1

⑵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z=Lii(i是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于O

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】⑴設(shè)z=xi,×O,則

×i=l-ail+ail+ax-(a+×)i=O或故選D.

(2)z=l-ii=(l-i)(-i)=-l-i,該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選C.

題型二復(fù)數(shù)的相等

【例2】⑴已知復(fù)數(shù)Zo=3+2i,復(fù)數(shù)Z滿意ZZO=3z+zO,則復(fù)數(shù)z=;

⑵已知ml+i=l-ni,其中m,n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m+ni=;

(3)已知關(guān)于X的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實(shí)根,則這個(gè)實(shí)根為,實(shí)數(shù)k的值為.

【解析】⑴設(shè)z=x+yi(x,yR),又zθ=3+2i,

代入zzθ=3z+zθ得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i,

整理得(2y+3)+(2-2x)i=0,

則由復(fù)數(shù)相等的條件得

解得所以Z=L.

(2)由已知得m=(l-ni)(l+i)=(l+n)+(l-n)i.

則由復(fù)數(shù)相等的條件得

所以m+ni=2+i.

(3)設(shè)x=xθ是方程的實(shí)根，代入方程并整理得

由復(fù)數(shù)相等的充要條件得

解得或

所以方程的實(shí)根為x=2或X=-2,

相應(yīng)的k值為k=-22或k=22.

【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z=a+bi(a,bR)的形式，再由相等得實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與

虛部相等.

【變式訓(xùn)練2】⑴設(shè)i是虛數(shù)單位,若l+2il+i=a+bi(a,bR),則a+b的值是()

A.-12B.-2C.2D.12

(2)若(a-2i)i=b+i,其中a,bR,i為虛數(shù)單位，則a+b=.

【解析】(l)C.l+2il+i=(l+2i)(l-i)(l+i)(l-i)=3+i2,于是a+b=32+12=2.

(2)3.2+ai=b+ia=l,b=2.

題型三復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【例3】⑴若復(fù)數(shù)z=-12+32i,貝IJ1+Z+Z2+Z3++Z2008=;

(2)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿意z+∣z∣=2+i,那么z=.

【解析】(1)由已知得z2=-12-32i,z3=l,z4=-12+32i=z.

所以Zn具有周期性，在一個(gè)周期內(nèi)的和為0,且周期為3.

所以1+Z+Z2+Z3++Z2008

=1+Z+(Z2+Z3+Z4)++(Z2006+z2007+z2008)

=l+z=12+32i.

⑵設(shè)z=x+yi(x,yR),則x+yi+x2+y2=2+i,

所以解得所以z=+i.

【點(diǎn)撥】解⑴時(shí)要留意x3=l(X-D(X2+x+l)=0的三個(gè)根為1,,-，

其中=-12+32i,-=-12-32i,則

1++2=0?1+-+-2=0,3=1,-3=1,-=1,2=-,-2=.

解(2)時(shí)要留意∣z∣R,所以須令z=x+yi.

【變式訓(xùn)練3]⑴復(fù)數(shù)ll+i+i2等于()

A.l+i2B.l-i2C.-12D.12

⑵(20_江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z=23-il+23i+(21-i)2010,則復(fù)數(shù)Z等于()

A.0B.2C.-2iD.2i

【解析】(1)D?計(jì)算簡(jiǎn)單有l(wèi)l+i+i2=12.

(2)A.

總結(jié)提高

復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算：①加減法按合并

同類項(xiàng)法則進(jìn)行;②乘法綻開(kāi)、除法須分母實(shí)數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問(wèn)題只需設(shè)z=a+bi(a,bR)

代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

2023高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教案篇5

?學(xué)問(wèn)梳理

函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面：

1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合，如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面學(xué)問(wèn)的綜合.

2.函數(shù)與其他數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)的綜合，如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)

的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.

3.函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的綜合.

?點(diǎn)擊雙基

1.已知函數(shù)f(x)=lg(2x-b)(b為常數(shù)),若x[l,+)時(shí),f(x)O恒成立,則

A.blB.blC.blD.b=l

解析:當(dāng)X口,+)時(shí),f(x)O,從而2x-bl,即b2x-l.而x[l,+)時(shí)，2x-l單調(diào)增加，

b2-l=l.

答案：A

2.若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3)和B(3,-1),則不等式∣f(x+l)-l∣2

的解集是.

解析:由∣f(x+D-Il2得-2

又又)是R上的減函數(shù),且f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,3),B(3,-1),

f(3)

答案：(-1,2)

?典例剖析

【例1】取第一象限內(nèi)的點(diǎn)Pl(xl,yl),P2(×2,y2),使L×1,x2,2依次成等差數(shù)列，

1,yl,y2,2依次成等比數(shù)列，則點(diǎn)Pl、P2與射線hy=x(xθ)的關(guān)系為

A.點(diǎn)Pl,P2都在I的上方B.點(diǎn)Pl、P2都在I上

C.點(diǎn)Pl在I的下方，P2在I的上方D,點(diǎn)Pl、P2都在I的下方

剖析：xl=+1=,×2=1+=,yl=l=.y2=,Ulyl

Pl、P2都在I的下方.

答案：D

【例21已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(2)=O,g(x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)于×R,都有g(shù)(x)=f(x-l),

求f(2O_J的值.

解：由g(x)=f(x-l),xR,得f(x)=g(x+l),又f(-x)=f(x),g(-×)=-g(×),

故有f(×)=f(-×)=g(-x+l)=-g(x-l)=-f(×-2)=-f(2-×)=-g(3-×)=

g(×-3)=f(×-4)>也即f(x+4)=f(×),×R.

f(x)為周期函數(shù)，其周期T=4.

f(20_)=f(4500+2)=f(2)=0.

評(píng)述：應(yīng)敏捷把握和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).

【例3】函數(shù)f(x)=(mθ),xl、x2R,當(dāng)xl+x2=l時(shí)，f(×l)+f(×2)=.

⑴求m的值；

(2)數(shù)列{an},已知an=f(O)+f()+f()++f()+f(l),求an.

解：⑴由f(xl)+f(x2)=,得+=,

4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].

0×1+×2=1,(2-m)(4+4)=(m-2)2.

4+4=2-m或2-m=0.

04+42=2=4,

而mθ時(shí)2-m2,4+42-m.

m=2.

(2)0an=f(O)+f()+f()++f()+f(l),an=f(l)+f()+f()++f()+f(0).

2an=[f(O)+f(l)]+[f()+f()]++[f(l)+f(O)]=+++=.

an=.

深化拓展

用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題是一重要的思想方法.

【例4】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)xθ時(shí),f(x)O,

f(l)=-2.

⑴證明f(x)是奇函數(shù)；

(2)證明f(x)在R上是減函數(shù)；

(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

⑴證明：由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),f(x)+f(-x)=f(O).又f(O+O)=f(O)+f(O),f(0)=0.

從而有f(x)+f(-x)=O.

f(-x)=-f(x).f(x)是奇函數(shù).

(2)證明：任取xl、x2R,且XIo.f(x2-xl)O.

-f(x2-×l)0,即f(xl)f(x2),從而f(x)在R上是減函數(shù).

⑶解：由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在[3,3]上的最大值是的3),最小值是耳3).由隼)=2

得f(3)=f(l+2)=f(l)+f(2)=f(l)+f(l+l)=f(l)+f(l)+f(l)=3f(l)=3(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.從而最大值是6,

最小值是-6.

深化拓展

對(duì)于任意實(shí)數(shù)X、y，定義運(yùn)算x_y=ax+by+cxy,其中a、b、C是常數(shù)，等式右邊的運(yùn)算是

通常的加法和乘法運(yùn)算.現(xiàn)已知1_2=3,2_3=4,并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m,使得對(duì)于任意實(shí)

數(shù)×,都有X_m=x,試求m的值.

提示：由1_2=3,2_3=4,得

b=2+2c)a=-l-6c.

又由X_m=a×+bm+cm×=×對(duì)于任意實(shí)數(shù)X恒成立，

b=0=2+2c.

c=-l.(-l-6c)+cm=l.

-l+6-m=l.m=4.

答案：4.

?闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.已知y=f(x)在定義域口，3]上為單調(diào)減函數(shù)，值域?yàn)閇4,7],若它存在反函數(shù)，則反函數(shù)

在其定義域上

A.單調(diào)遞減且最大值為7B.單調(diào)遞增且最大值為7

C.單調(diào)遞減且最大值為3D.單調(diào)遞增且最大值為3

解析：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義區(qū)間上有相同的增減性，f-l(x)的值域是[1,3].

答案：C

2.關(guān)于X的方程∣x2-4x+3∣-a=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是

解析:作函數(shù)y=∣x2-4x+3∣的圖象，如下圖.

由圖象知直線y=l與y=∣x2-4x+3∣的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程∣x2-4x+3∣=l也就是方程

∣x2-4x+3∣-l=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此a=l.

答案：1

3.若存在常數(shù)pθ,使得函數(shù)f(x)滿意f(p×)=f(p×-XxR),則f(x)的一個(gè)正周期為.

解析：由f(px)=f(px-),

令PX=u,f(u)=f(u-)=f[(u+)-],T=或的整數(shù)倍.

答案：(或的整數(shù)倍)

4.已知關(guān)于X的方程Sin2x-2SinX-a=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

解：a=sin2x-2sinx=(sin×-l)2-l.

0-11,0(sin×-l)24.

a的范圍是Hl,3],

5.記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a?4)(2a-x)](al)的定義域?yàn)锽.

⑴求A;

(2)若BA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴由2-0,得0,

X-I或xl,即A=(-,-1)[1,+).

(2)由(x-a-l)(2a-x)0,得(x-a-D(X-2a)0.

Ξa(chǎn)l,a+12a.B=(2a,a+l).

0BA,2al或a+l√L,即a或a?2.

而al,1或a-2.

故當(dāng)BA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是"-2］［,1).

培育力量

6.(理)已知二次函數(shù)f(×)=×2+bx+c(bθ,cR).

若f(x)的定義域?yàn)椋?，0］時(shí)，值域也是［1，0］,符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在，

求出f(x)的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：設(shè)符合條件的f(x)存在，

EI函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是X=-,

又bθ,-0.

①當(dāng)-0,即01時(shí)，

函數(shù)X=-有最小值-1,則

或(舍去).

②當(dāng)-1-,即12時(shí)，則

(舍去)或(舍去).

③當(dāng)一1,即b2時(shí)，函數(shù)在卜1,0］上單調(diào)遞增，則解得

綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個(gè)，

f(×)=×2-l或f(x)=×2+2×.

(文)已知二次函數(shù)f(x)=×2+(b+l)×+c(bθ,cR).

若f(x)的定義域?yàn)椴?，0］時(shí)，值域也是卜1，0］,符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在，

求出f(x)的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：回函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是

X=-,乂bθ,—.

設(shè)符合條件的f(x)存在，

①當(dāng)一1時(shí)，即bi時(shí)，函數(shù)f(x)在H，0］上單調(diào)遞增，則

②當(dāng)-L,即01時(shí)，則

(舍去).

綜上所述，符合條件的函數(shù)為f(x)=x2+2x.

7.己知函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)?0,+),且f(2)=2+.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N.

(1)求a的值.

(2)問(wèn)：IPMlIPNl是否為定值?若是，則求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值.

解：(l)0f(2)=2+=2+,a=.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xθ,yθ),則有yθ=xθ+,x00,由點(diǎn)到直線的距離公式可知，∣PMI==,

∣PN∣=