2023年聊城市高考模擬試題

數學試卷（二）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求.

1,已知集合A={3,4,2α-3},5={α},若ACB關0,則"（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據交集結果得到α=3,α=4或α=24-3,檢驗后得到答案.

【詳解】因為AC3/0,所以α=3,α=4或α=2α-3,

當α=3時，2α-3=3,與集合元素的互異性矛盾，舍去；

當α=2α—3時，。=3,與集合元素的互異性矛盾，舍去；

當α=4時，2a-3=5,滿足集合元素互異性，滿足要求.

故選：B

2.若復數Z滿足（l+z）（l—i）=2,則復數Z的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數的除法法則得到Z=i，求出虛部.

/、/、22（l+i）

[詳解]由（l+z）（l—i）=2得z=「-[=?/_]=l+i_[=i,

、八'1-1（l-ι）（l+ι）

故復數Z的虛部為1

故選：C

3.設等差數列{4}的前"項和為s“，已知%>0,%，%是方程M+X—2023=0的兩根，則能使S.>0成

立的〃的最大值為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據韋達定理求出公差d的范圍，再運用等差中項求解.

【詳解】因為《，。9是方程f+X-2023=O的根，，%?佝=-1，6+。9=-2023,

又?.?α∣>0,.1/AOHgVO，公差

2

d-ag—<?<0,(t?—<?)^=(<?+/)--4t?i?—8093>80d-a^—tz8<-80,

,

由等差中項知：ɑ8+α9=al+α16=a2+α∣5=a1+ai0=-l,..S16=al+α2++αl6=-8<0

,即使得的成立的最大〃

a,6=a9+7√<-560,5I5=S16-ΛI6>552>0S“>0=15；

故選：A.

4.在梯形ABeo中AB〃CD,AD=CO=LAB=2,BD4C=—6,則184。的余弦值為()

2

Iiii

A.——B.——C.-D.-

2332

【答案】D

【解析】

【分析】將AD,AB作為基底表達AC和Bo，根據條件按照數量積的運算規則計算.

-..1一

依題意做上圖，BD=AD-AB,ACAD+DCAD+-AB,

2

.?.血AC=（AD一AB）（AD+gAB）=AD^AB-ADAB，

-4-4cosZBAD-8=-6,.,.cosZBAD=?,

故選：D.

5.某正四棱臺形狀的模型，其上下底面的面積分別為2cn√,8cm2，若該模型的體積為14cπ√,則該模

型的外接球的表面積為（）

r,、5兀2

A.20πcm^B.10πcm^C?5τtcm^D.—cm^

2

【答案】A

【解析】

【分析】由棱臺體積得到棱臺的高，并作出輔助線，找到球心位置，利用半徑相等列出方程，求出外接球

半徑和表面積?

【詳解】設正四棱臺形狀的高為〃cm,

故;(2+8+^i)〃=14,解得〃=3cm,

取正方形EFGH的中心為M,正方形ABCD的中心為N,則MN=〃=女m,

故該模型的外接球的球心在MN上，設為點0,連接板,NA,QE,,

設上底面正方形的邊長為αcm,灰：m,則/=2/2=8,解得α=6cm,b=2五cm，

故=lcm,∕√A=2cm,設ON=ycm,則Mo=(3—y)Cm,

23

由勾股定理得七。22222

=OM2+EΛ12=(3-J)+1,AO=ON+AN=y+4,

故(3-yf+l=y2+4,解得y=l,

2

故外接球半徑為Λ∕7+4=小cm，該模型的外接球的表面積為4無?(√5)=20πcm.

故選：A

22

6.設橢圓U=+與=l(4>b>O)的焦點為6(―c,0),E(C,0),點尸是C與圓/+,2=￠2的交點,

ab

NWg的平分線交P居于Q,若IPQl=J。周，則橢圓C的離心率為()

A.3B.√2-lC.—D.y∕3-↑

32

【答案】D

【解析】

【分析】作圖，根據幾何關系以及橢圓的定義求解.

【詳解】

依題意作上圖，因為耳。是NPFFz的角平分線，?.?盥=臂i=：,.??∣PK∣=;舊居I=C,

∣Q%∣r1^2|22

IT

又尸點在圓/+。？的圓周上，..ZFPF是直角三角形，

J/=?t2,?PFIF2

根據橢圓的定義有IP周+1PKI=2a,??.∣P用=2α-c,

由勾股定理得：忻6「=歸用2+歸用2,（242=,2+（2。—可2,整理得:2。一-2tzc—c?=O，

即/+2e-2=0解得e=上一1或e二-后一1（舍）；

故選：D.

7.己知函數/(x)=sin(2x+^)(0<^<π)滿足/(x)≤/,若0＜%＜工2＜］，且

I67

3

/（%1）=/（工2）=一g，則Sin（X2一%）的值為（）

【答案】D

【解析】

TT

【分析】由/（x）≤得函數在X=二時取最值，得函數的解析式，再由三角恒等變換計算Sin（X2一斗）

6

的值.

【詳解】因為/(x)=sin(2x+°)滿足/(x)≤'(部，所以/哈)=±1,

TUTC71

所以2x—?-φ=—Fku,keZ,又。<。<兀，所以O=一,

626

TT

得f(x)=sin(2x+—),

6

3

因為。<%<%2<兀，/(玉)=/(%2)=一《，

LL…兀C兀3兀Cπ13π小兀、4小兀、4

所以一?2XjH—<—<2%2—V----，所以cos(2x∣H—)=—,cos(2%2—)=一，

662~666565

因為0<Λ2<兀，所以Sin(X2—%)=J匕絲?斐匈=1.

故選：D.

8.已知函數/(x)=geχ2-α*(α>0且)有一個極大值點x∣和一個極小值點演，且不<々，貝IJa

的取值范圍為()

A.(of)B.f?,?C.(l,e)D.(e,+∞)

【答案】B

【解析】

【分析】根據導數的正負可知。>1不合題意，當0<α<l時，導數等于0有兩個根轉化為兩個函數有2個

交點，求出y=優Ina的切線，利用數形結合求解即可.

【詳解】由題意知，xw(-8,χ)時，∕,(%)>0,

又/'(x)=er-α*lnα，當。>1時，x<0時,ex<O,-αjtlna<0,所以/'(x)<°，

矛盾，故OVaV1,

由/'(X)=ex-優Ina=O有兩不同實數根可知V=叱，y=優In。有兩個不同交點，

設過原點與y=axIna相切的直線為/,切點為(與,Ina),

因為y'=In?α?4',所以女=In?α?α”=日一見2~~-,解得工()=」一

x0-0Ina

即Z=In%?時,%112〃，如圖，

所以y=er與y=α"Inα有兩個不同交點則需e>eln2a>解得L<a<e,

e

又O<α<l,所以！<α<l,此時滿足極大值點為X],極小值點為巧，且玉<%2?

e

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某短視頻平臺以講故事，贊家鄉，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時代農村生活，吸引了眾

多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉的農產品推銷到全國各地，從而推進了“新時代鄉村振興”.從平臺的

所有主播中，隨機選取300人進行調查，其中青年人，中年人，其他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1

所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（）

A.該平臺女性主播占比的估計值為0.4

B.從所調查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概率為0.7

C.按年齡段把所調查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監管，若樣本量按比例分配,

則中年主播應抽取6名

D.從所調查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，已知該幸運主播是青年人的條件下，又是女性的概率

為0.6

【答案】AC

【解析】

【分析】A選項，結合圖I和圖2求出三個年齡段中女性人數；B選項，在A選項基礎上，求出相應的概

率；C選項，求出三個年齡段主播的比例，從而得到中年主播應抽取的人數；D選項，設出事件，利用條

件概率公式求出答案.

【詳解】A選項，由圖1可以看出選取300人中其他人群人數為300xl0%=30,

青年人人數為300x60%=180,中年人人數為300χ(l-10%—60%)=90,

由圖2可以看出青年人中女性人數為180X40%=72,中年人中女性人數為90x30%=27,

其他人群中，女性人數為30χ70%=21,

故該平臺女性主播占比的估計值為=0.4,A正確；

B選項，中年人中男性人數為90x70%=63,

故從所調查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概率為

-^-=0.21,B錯誤；

300

C選項，三個年齡段人數比例為青年主播，中年主播和其他人群主播比例為6:3:1,

3

故用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監管，若樣本量按比例分配，則中年主播應抽取20x—=-=6

6+3+1

名，C正確；

D選項，從所調查主播中，隨機選取一位做為幸運主播，設幸運主播是青年人為事件A,隨機選取一位

做為幸運主播，設幸運主播是女性主播為事件B,

則〃(A)=I80,MAB)=72,P(MA)=3=麗=0.4,D錯誤.

故選：AC

2t

10.已知函數/(χ)=則()

A.函數“X)是增函數

B.曲線y=∕(χ)關于(0,；)對稱

C.函數/(x)的值域為(o,；)

D.曲線y=/(x)有且僅有兩條斜率為1的切線

【答案】AB

【解析】

【分析】由/(X)=??=1一手片可得“X)是增函數，且對于任意尤6R，滿足/(-x)+∕(x)=1,

所以y=∕(x)關于(o,j對稱，可得AB正確；利用指數函數值域易得函數/(x)的值域為(0,1),即C

錯誤;令/'(尤)=(，整理可得(2A)2—(51n2—2)?2*+l=0,易知25<e%可得A=(51n2-2)2-4<0,

即方程(2,7―(5In2-2)?2*+1=0無解，因此曲線y=∕(x)不存在斜率為！的切線，即D錯誤.

2x11

【詳解】根據題意可得/(不)=正==1一日?,易知丁=］節是減函數，

所以/(x)=l-N?是增函數，即A正確；

2^x12Λ'1

由題意可得/(τ)=--------=--------,所以/(—x)+∕(X)=--------+-------=1,

`)2^x+l2λ+l`)J\)2Λ+12Λ+1

即對于任意％eR,滿足/(—x)+∕(x)=l,所以y=∕(x)關于(0,；］對稱，即B正確；

由指數函數值域可得2'+l∈(l,+x),所以止?e(θ,l),g∣J∕(χ)=l-^--∈(0,l),

所以函數/(x)的值域為(0,1),所以C錯誤；

,/?2ΛIn212

易知/X=萬丁/，令r(x)=M，整理可得(2)-(51n2-2)?2'+l=0,

令2*=∕∈(0,M),即產一(51n2-2"+l=0,

易知A=(5In2—2『—4,又因2$=32<36<6.25?=2.5,<e?*,即25<ei*,

所以51n2<4,即O<51n2-2<2,因此A=(51n2-2)2—4<0；

即關于，的一元二次方程產一(51n2—2)/+1=0無實數根；

所以（2,1—（51n2—2）?2*+l=0無解，即曲線＞=/（x）不存在斜率為1的切線，即D錯誤；

故選：AB

11.已知正方體ABC。一44Ca的棱長為2,點E,F,G分別是線段BG,CR,A4的中點，則（）

A.DE工BG

BAF〃平面BGG

C.直線AB與平面BGG所成的角的余弦值為3

3

D.過點F且與直線OE垂直的平面ɑ,截該正方體所得截面的周長為36+J5

【答案】ACD

【解析】

UUttlUlUU

【分析】以力為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量的性質，DE?BG是否等于零，可判斷A選項；

求出平面BGG的法向量，與AF判斷是否垂直，可判斷B選項；直線AB與平面BGG所成的角的余弦

值可先求出AB與平面BGG的法向量的余弦值，再根據角的關系，求出所要求的結果，即可判斷C選項；

做出過點尸且與直線OE垂直的平面α的截面圖，根據幾何關系即可求出其周長，可計算出D選項.

【詳解】以。為坐標原點，以ZM、DC，分別為x、y、Z軸，建立坐標系，如圖所示，

D(0,0,0),E(l,2,l),8(2,2,0),G(2,l,2),A(2,0,0),E(0,1,1),C1(0,2,2),G(2,l,2)

ULlUUUUl

.?.OE=(1,2,1)，BG=(0,-1,2)

UUllUUll

QDE?3G=lχO+2χ(-l)+lχ2=O

UUUUUU

；.DE工BG，故A選項正確；

UUUUUUUUU

BC1=(-2,0,2),BG=(O,-1,2)，AF=(-2,1,1)

設平面BGG的法向量為〃=(μ,乂,z∣),

∣BG?"=O[-γ,+2z1=0

則〃=(1,2,1)

ULU1

QAF?n=(-2)×l+l×2+l×l=l≠0

，A尸與平面BGG不平行，故B選項不正確;

AB=(0,2,0),

設直線AB與平面BGG所成的角為α,

則

UUUI—

.π.,AB?n4√6

sina=|1cosz(——a)∣=-i*?~F-==——

2?AB??n?2×√63

.*.cosa-Vl-sin2a-，故C選項正確;

3

n=DE

.?.。石_1_平面BCIG

取X、T為42、AA的中點，明=CV=AU=B,由幾何關系可知，WX//vu,WV//TU,

則%Y7LY組成一個平面，由BG〃TU,BC}//TX,TU,7X均在平面WXTUV內，

則DEI平面WXTUV，即過點尸且與直線OE垂直的平面ɑ,截該正方體所得截面如圖所示平面

WXTUV,

則截面皿YTW的周長為

WX+XT+TU+UV+VW

-+1+Ji+ι+,(；)?+1+V22+1+?J22+1

=3√5+√2

故D選項正確；

故選：ACD.

12.設直線/與拋物線V=4x相交于4,B兩點、,與圓(x-5)2+y2=∕(r>o)相切于點M(Xo,%),且

M為AB的中點.()

A.當為=1時，AB的斜率為2B.當為=2時，∣A5∣=8

C.當r=5時，符合條件的直線/有兩條D.當r=3時，符合條件的直線/有四條

【答案】ABD

【解析】

【分析】由點差法得先%=2,由此判斷AB正確；當AS的斜率上不存在時判斷是否符合要求，當AB的

斜率左存在時,由直線與圓切于〃得M必在直線χ=3上，根據給定的『求出M位置，根據M是否在拋物

線內部判斷CD是否正確.

【詳解】如圖,設Aa,X）,8（々，％），〃（％九），

當AB斜率我存在時,玉Hx,,則有"；段.小%=2,

2xl-X2

又M+%=2%,所以ytΛ=2?

當為=1時，k=2,故A正確；

由C"1四,得=

?-5

即χl%=5-Xo,因此2=5-%,玉）=3,即M必在直線χ=3上.

當X）=2時，％=1,點M（3,2）,直線AB的方程為y=x-l,恰好過拋物線焦點（1,0）,

故IABl=Xl+X2+2=2%+2=8,故B正確；

將X=3代入V=4x,得爐=12,由M在拋物線內部得y：<12,

因為點〃在圓上,所以（XO—5）2+乂=產，

當r=5時，(3-5『+乂=25,解得巾=21,與巾＜12矛盾，此時AB的斜率為左的直線不存在，當AB

的斜率k不存在時,符合條件的直線只有一條，故C錯誤；

當r=3時，(3—5『+y；=9,解得y：=5,符合y：＜12,此時A3的斜率為左的直線有兩條.當AB的

斜率A不存在時,符合條件的直線也有兩條，故D正確；

故選：ABD

【點睛】關健點點睛：不要遺漏判斷斜率不存在時的直線是否符合要求.

當斜率存在時，先確定點M一定在直線χ=3上，再用點M一定在拋物線內部判斷給定的，是否符合要求.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知二項式?-上的展開式中，只有第四項的二項式系數最大,則展開式中常數項為________.(用

IXJ

數字作答)

【答案】60

【解析】

【分析】依題意可得〃=6,再寫出展開式的通項，令g凸=0,求出，再代入計算可得.

2

【詳解】因為二項式(4—2］的展開式中，只有第四項的二項式系數最大，所以〃=6,

IX)

r

/八66-r(θλ6z3r

則B展開式的通項為&I=GI--J=q?χ丁?(—2)’,

X-?

令:^=0,解得r=2,所以展開式中常數項為＜=C＞x°?(-2)2=60.

故答案為：60

14.健走是介于散步和競走之間的一種運動方式，它是一項簡單安全，能增強肺活量且有益心臟健康的有

氧運動，某運動生理學家對健走活動人群的體脂率(體脂率是指人體內脂肪含量與總體重的比值)做了大

量的調查，發現調查者的體脂率X服從正態分布N(θ.2,σ?2),規定體脂率小于或等于0.17的人的身材為

良好身材，若參加健走的人群中有16%的人具有良好身材，則＜7的值約為.

參考數據：則。(4―cτ≤X≤//+σ)≈0.6827,P(p-2σ＜X≤∕z+2σ)≈0.9545.

3

【答案】0.03」-

100

【解析】

【分析】根據(I-0?6827)÷2a16%求出。的值約0.03

【詳解】因為(I-0.6827)÷2=16%,P(0.2-σ≤X≤0.2+σ)≈0.6827,

故當σ?=0.03時，P(X≤0.2-0.03)=P(X≤0.17)≈(1-0.6827)÷2≈16%,滿足要求.

故答案為：0.03

15.若互不相等的實數機，〃，S,f滿足Zm=S/,則稱"3",s,f具有“準等比”性質.現從2,4,8,16,

32,64,128這7個數中隨機選取4個不同的數，則這4個數具有“準等比”性質的概率為.

13

【答案】—

35

【解析】

【分析】由列舉法結合組合數公式以及古典概型概率公式得出這4個數具有“準等比”性質的概率.

【詳解】7個數中隨機選取4個不同的數共有C；=35種不同的選法，

因為2=2∣,4=2?,8=2',16=24,32=2$,64=2$,128=27，

所以具有“準等比，，性質的4個數有：{2,16,4,8},{2,32,4,16},

{2,64,8,16},{2,64,4,32},{8,16,4,32},

{2,128,4,64},{2,128,8,32},{4,64,8,32},

{16,32,8,64},{4,128,16,32},{4,128,8,64},

{16,64,8,128},{32,64,16,128},共13種，

13

所以這4個數具有“準等比”性質的概率為一.

35

13

故答案為：—

35

16.已知曲線C:/+孫+y2=ι,過點A(O,-2)的直線交曲線C于M,N兩點，O為坐標原點，則OMN

的面積的取值范圍為.

【答案】(0,亭］

【解析】

【分析】根據給定條件，設出直線MN的方程，與曲線C的方程聯立，求出,OWN面積的函數關系，再

求出其值域作答.

【詳解】依題意，直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為：y^kx-2,

y=∣ζjζ—2

由《孫+戶消去〉并整理得:

1(k2+k+l)x2-2(2%+l)x+3=O,

△=4(2女+1)2-12(r+%+1)=4(/+%-2)>0,解得左<一2或左>1,

4k+23

設M(X,y),N(j?,%)，有玉+/—；-----,XX=—；------，

lk2+k+?117-k2+k+l

IS…,f---------?-；-I(4%+2/12

OMN的面積S——OA?%.—%=J(Xl+X,)-4%∣%-I----------------------------

2'-2v'-12-V(?2+Λ+l)2k2+k+l

2jX+%-2_2?』-2<2"2+:—2_√3

/+女+1(y∣k2+k-2)2+3^2>]k2+k-2-√3?

當且僅當/_2=6,即Z=芍叵時取等號,

因此當女=昔旦時（S（MN="，顯然SeMW=半12>0，

23κ+κ+l

所以QMN的面積的取值范圍是

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫（縱）截距、圖形

上動點的橫（縱）坐標為變量，建立函數關系求解作答.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2S]1

17.設數列｛4｝的前〃項和為S“，已知4=1,且數列∣3-q上[是公比為§的等比數列.

（1）求數列｛α,,｝的通項公式；

3"I

（2）設2=;--------八7--------數列｛%｝的前”項和為T“，證明：Tn<-.

（4+IT）（A+2T）4

【答案】(1)q,=3"T

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據條件，運用等比數列公式法推出｛4｝的通項公式；

(2)運用裂項相消法求解.

【小問1詳解】

252S]1

S∣=4=l,3一一L=I,所以數列《3-一i'是首項為1,公比為一的等比數列,

%a,.3

2V

所以3-2=

an

即2S“=3-C)a,從而2S,+∣=3-a,

ιln+i兩式作差得:

nnn

化簡得：(l-3-)a,,+1-3(l-3-)?=O,Bp(3-l)(?+l-3?)=0,

所以4m=34,所以數列｛0,,｝是以4=1為首項，以3為公比的等比數列,

,,

故數列｛凡｝的通項公式為an=3^'；

【小問2詳解】

,3"3"\(11、

LmMT)(α,,+2T廠(3"-1)(3'角—1)—2(3"-13"

1(11、11

=—X-------------：----I=---------7---------?^

2U-I3"+,-1)42(3^-1),

因為2(3"0≡l)>O'所以

18.隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量越來越大，為了滿足消費者的需求，精品水果店也在大街

小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛.某“鬧鬧”

水果店對某品種的“湖南沃柑”進行試銷，得到一組銷售數據，如下表所示:

試銷單價X(元)34567

產品銷量y件201615126

(I)經計算相關系數ra-0.97,變量X,y線性相關程度很高，求y關于X的經驗回歸方程；

(2)用(1)中所求的經驗回歸方程來擬合這組成對數據，當樣本數據的殘差的絕對值大于1.2時，稱該

對數據為一個“次數據”，現從這5個成對數據中任取3個做殘差分析，求取到的數據中“次數據”個數X的

分布列和數學期望.

λt(D(y,T-

參考公式：線性回歸方程中,α的最小二乘法估計分別為b=上―------------,a=y-bx.

z(??-?

/=I

【答案】⑴9=-3.2x+29.8

(2)分布列見解析，E(X)=∣

【解析】

【分析】(1)利用線性回歸方程的計算公式計算對應數據即可；

(2)先確定“次數據”個數，列出分布列再計算其期望.

【小問1詳解】

由已知，得X=-------------------=5,y=-----------------------=13.8,

55

55

ZXa=313,∑X,2=135,

/=1Z=I

55

Z(XT)“為y∕TN33-5X5X13-32_3.2,

222

?(x,.-x)?X,-5X135-5X52I0

/=1/=1

所以α=y-次=13.8-(-3.2)χ5=29.8,

所以夕=—3.2X+29.8.

【小問2詳解】

當x=3時，9=20.2；當χ=4時，9=17；當χ=5時，9=13.8；

當x=6時，y=lθ?6;當x=7時，γ=7.4.

因此該樣本的殘差絕對值依次為0.2,1,1.2,1.4,1.4,

所以“次數據''有2個.“次數據”個數X可取0,1,2.

?―。)*=Q(X=D=警="(X=2)=警喘

所以X的分布列為:

X012

133

P

Io5io

Q+lx。3

則數學期望E(X)=

105105

19.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,B?]4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2

(1)證明：a+6ccosB=0；

(2)若b=l,求JWC面積的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵』

14

【解析】

【分析】(1)由正弦定理得4/=3。2-3。2,再由余弦定理得到G=YccosB,證明出結論;

(2)由(1)中結論和ZJ=I得至U0</<—，結合cosB=-----得到

46c

S/??sinB=?^49π2?(36-49β2),由基本不等式求出面積的最大值?

【小問1詳解】

由正弦定理及4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c?得，

4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C，

即4sin2A=3sin2§-3sh√C?

再由正弦定理可得4"=3b2-3C2?

由余弦定理〃=/+c?-24ccosB得，?2+c2-IaccosB=g/+c2,

即。=-6ccosB,故α+6ccosB=0；

【小問2詳解】

C4O

由4/=3∕-3C2及力=1,可得C-=I一一a^.

3

由/〉（）得1一&a?〉。，所以o<∕<3

34

Jj49∕（36一49力Jx產"36-490加

84V'，84I2）14

1Q（3、

當且僅當49/=36—49/,即α2=τπ∈0,;時等號成立.

49V4；

3

故.ABC面積的最大值為，.

14

20.如圖，平面ABC平面COEF,四邊形CDE正為矩形，四邊形ABC。為直角梯形，且

AD//BC,ZABC=90o,AB=BC=2AD=2,ZAED=30°,點G在線段BE上.

（1）若點G為線段BE的中點，求證：4G〃平面CQEF；

./g?

（2）若平面CG/與平面5DF的夾角的余弦值為嚀，求EG的長.

31

【答案】（1）證明見解析

⑵逑

5

【解析】

【分析】(1)連接CE,交DF于H，連接G",證明四邊形4G”。為平行四邊形，從而AG〃。/7，

即可根據線面平行的判定定理證明結論.

(2)建立空間直角坐標系，求得相關點和向量的坐標，根據平面CG尸與平面的夾角的余弦值，設

BG=ABE>求得參數義，即可求得答案.

【小問1詳解】

連接CE，交DF于H，連接GH，則H為CE的中點，

因為G,”分別為BE,CE的中點，

所以G"〃3C且G"=，8C.

2

又ABC且AD=

2

所以AO〃G〃且Ao=G//,

所以四邊形AG"。為平行四邊形，從而AG〃。/7,

又AGz平面CDEF,DHU平面CDEF,

所以4G〃平面CDE尸，

小問2詳解】

因為四邊形CDEE為矩形，所以DEJ.CD,

因為平面4581平面CDEF,平面CDEF平面ABC。=CD,

DEU平面以犯尸，所以即_L平面ABCQ.

因為A￡>u平面ABC。，所以及LD!.

以點。為坐標原點，分別以ZM，JDE所在直線為X軸，z軸，

在平面ABCD內過點。作D4的出現為y軸，建立如圖的空間直角坐標系.

x+島-2=0互相垂直.

（I）證明：點用到C的兩條漸近線的距離之積為定值；

（2）已知C的左頂點A和右焦點?直線AAl與直線/:X=L相交于點M試問是否存在常數/1,使得

2

NARW=/INAFTV?若存在，請求出/1的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在;1=2,理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據垂直關系得到漸近線的斜率,得到方程,求出雙曲線方程,進而設出點M的坐標為（Ao，%），

3%J-火=3,利用點到直線距離公式得到點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值；

（2）先考慮“=2時，再考慮XoH2,當“在X軸上方時，設出點的坐標，表達出tanNAKV=二%

結合正切二倍角公式得到tanNA∕jM=tan2NAF7V,故.ZAFM=2ZAFN,當何在無軸下方時，同理

可得結論.

【小問1詳解】

因為雙曲線C的一條漸近線與直線x+3），-2=0互相垂直，

所以其中一條漸近線的斜率為G,則6+2=3則α=l.

a

2

所以雙曲線C的方程為爐—匕=1.

3

設點M的坐標為（XO，%），則說一。=1，即3x：—y：=3.

雙曲線的兩條漸近線4,I2的方程分別為、&—y=0,JiX+y=0,

則點M到兩條漸近線的距離分別為&=叵口1,乩」&。+W,

1氏-W3

4

所以點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值.

【小問2詳解】

存在4=2.

①當x0=2時，IMEl=IAEl=3,又N是AM的中點,

所以ZAFN=NMFN=45。,所以NARW=2ZAE/V,此時2=2.

②當天≠2時.

i)當〃在X軸上方時，由A(—1,0),M(%,%)，可得服M=UL7，

???

所以直線AM的直線方程為y=-?-(?+!),

XO+1

i(13v'

把X=L代入得N個“.

2(22(x0+l)J

3y

-X——0—

所以ANF=2玉＞+1=__?θ-,則tanZAFN=-?-.

1-2?+lx0+1

2

2*一

由二倍角公式可得tan2NAFN=—(Xo+義=2(*°?)%,=^?

+12

1I?oI(?)-?o-?

IXo+U

因為直線MF的斜率k,vF=-?及tanZAFM=-kMF,

?-2

所以tanZAFM=,則tanZAFM=tan2ZARV.

2-?

因為NAEM∈(0,π),ZAFTV∈∣^O,yJ,

所以NABW=2NA/W.

ii)當M在X軸下方時，同理可得N∕VM=2ZARV.

故存在4=2,使得ZAFM=2ZAFN.

【點睛】定值問題常見方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

(2)直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

22.已知函數/(x)=lnx+