9.2獨立性檢驗1.通過實例,理解2×2列聯表的統計意義.2.通過實例,了解獨立性檢驗及其應用.

2×2列聯表假設兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯

表為XY合計y1y2x1aba+bx2cdc+d合計a+cb+da+b+c+d2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數.

與獨立性檢驗相關的概念

1.χ2公式一般地,對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有兩類取值,即類A和類B(如吸煙與不吸煙);

Ⅱ也有兩類取值,即類1和類2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病).我們得到如下

列聯表所示的抽樣數據:

Ⅱ合計類1類2Ⅰ類Aaba+b類Bcdc+d合計a+cb+da+b+c+d記n=a+b+c+d,則χ2=①

.用χ2統計量研究兩類變量是否有關的方法稱為獨立性檢驗.

獨立性檢驗的思想(1)要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”,可按下面的步驟進行:①提出假設H0:Ⅰ與Ⅱ沒有關系;②根據2×2列聯表與χ2=

計算χ2的值;③根據臨界值(如表所示),作出判斷.P(χ2

≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82

8(2)常用檢驗結論①若χ2>10.828,則有②

99.9%

的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;②若χ2>6.635,則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;③若χ2>2.706,則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;④若χ2≤2.706,則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”,但也不能作出結

論“H0成立”,即Ⅰ與Ⅱ③

沒有關系

.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.×2列聯表中的數據是兩個分類變量的頻數.

(√)2.分類變量中的變量與函數中的變量是同一概念.

(

?)變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量,有時

可以把分類變量的不同取值用數字表示,但這時的數字除了分類以外沒有其他含

義,而函數中的變量分為自變量與因變量,都是數的集合,有它們各自的意義.3.獨立性檢驗的方法就是反證法.

(

?)獨立性檢驗的思想類似于反證法,但不能說它就是反證法.4.獨立性檢驗中可通過統計表從數據上說明兩分類變量的相關性的大小.

(√)獨立性檢驗是對兩個分類變量有關系的可信度的判斷,其結論是有多大的把握確

認兩個分類變量有關系,可以通過統計表從數據上進行運算,再進行判斷.A與B經獨立性檢驗后得到結論“A與B無關”,則兩個事件互不影響.

(

?)只能說明“A與B無關”這一結論犯錯誤的可能性很小.×2列聯表中的數據計算得χ2≈4.013,那么有95%的把握認為兩個變量

之間有關系.

(√)χ2≈4.013>3.841,故有95%的把握認為兩個變量之間有關系.

由χ2進行獨立性檢驗“人機大戰,柯潔哭了,機器贏了”,2017年5月27日,19歲的世界圍棋第一人柯潔

0∶3不敵人工智能系統AlphaGo,落淚離席.許多人認為這場比賽是人類的失利,

也有許多人持反對意見,有網友為此進行了調查.在參與調查的2600名男性中,有

1560人持反對意見,2400名女性中,有1118人持反對意見.問題1.在運用這些數據判斷“性別”與“人機大戰是不是人類的失利”的關系時,應

采用哪種統計方法?提示:判斷“性別”與“人機大戰是不是人類的失利”這兩個變量的關系時,符合獨立性檢驗的基本思想.2.如何根據問題中的數據對分類變量作出分析?提示:列出2×2列聯表,計算χ2,將求得的χ2的值與臨界值比較,即可得相應結論.

獨立性檢驗的關注點在2×2列聯表中,如果兩個分類變量沒有關系,則應滿足ad-bc≈0,因此|ad-bc|越小,

兩個分類變量的關系越弱;|ad-bc|越大,兩個分類變量的關系越強.

(1)某校隨機調查了110名性別不同的高中生,詢問他們是否喜歡籃球,得到下表:

男女喜歡籃球4020不喜歡籃球2030附:χ2=

,n=a+b+c+d.參照附表,得到的正確結論是

()A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“喜歡籃球與性別有關”B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“喜歡籃球與性別無關”C.有99%以上的把握認為“喜歡籃球與性別有關”D.有99%以上的把握認為“喜歡籃球與性別無關”(2)有甲、乙兩個班級共計105人進行數學考試,按照大于等于85分為優秀,85分以

下為非優秀統計成績,得到下表:P(χ2≥x0)0.050.0100.001x03.8416.63510.828

優秀非優秀甲班10b乙班c30附:χ2=

,n=a+b+c+d.已知在全部105人中隨機抽取1人,成績優秀的概率為

,則下列說法正確的是

()c的值為30,b的值為35c的值為20,b的值為40C.根據列聯表中的數據,若按95%的可靠性要求,能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據,若按95%的可靠性要求,不能認為“成績與班級有關系”P(χ2≥x0)0.050.0100.001x03.8416.63510.828根據表中的數據,可以求得χ2=

≈7.822,因為當H0成立時,χ2≥6.635的概率約為0.01,所以有99%以上的把握認為“喜歡籃

球與性別”有關.(2)由題意,在全部的105人中隨機抽取1人,成績優秀的概率為

,所以成績優秀的人數為105×

=30,非優秀的人數為105-30=75,所以c=30-10=20,b=75-30=45.提出假設H0:成績與班級無關.根據列聯表中的數據,可以求得χ2=

≈6.109,因為當H0成立時,χ2>3.841的概率約為0.05,所以有95%以上的把握認為“成績與

班級有關”.答案

(1)C(2)C解析

(1)提出假設H0:喜歡籃球與性別無關.

獨立性檢驗與統計、概率的綜合應用

解決與獨立性檢驗有關的統計、概率綜合問題,一般有以下幾個步驟:1.理清題意,理解問題中的條件和所要得出的結論,尤其是直方圖中給定的信息,

找關鍵量.2.分析數據,列出2×2列聯表.3.利用獨立性檢驗的步驟進行判斷.4.利用概率公式求事件的概率.5.反思回顧、檢查關鍵點、易錯點及答題規范.

隨著新冠疫情防控進入常態化,人們的生產生活逐步步入正軌.為促進消費,某市發行2億元消費券.為了解該消費券使用人群的年齡結構情況,該市隨機抽取了50

人,對是否使用過消費券的情況進行調查,結果如下表所示,其中年齡低于45歲的

人數占總人數的

.年齡(單位:歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)調查人

數5m1510n5使用消

費券的人

數51012721(1)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統計數據完成下面2×2列聯表,并判斷

是否有99%的把握認為是否使用消費券與人的年齡有關;參考數據及公式:

年齡低于45歲的人數年齡不低于45歲的人數合計使用消費券的人數

未使用消費券的人數

合計

P(χ2≥x

0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2=

,其中n=a+b+c+d.(2)從使用消費券且年齡在[15,25)與[25,35)的人中按分層隨機抽樣方法抽取6人,

再從這6人中選取2人,記抽取的2人中年齡在[15,25)的人數為X,求X的概率分布與

數學期望.解析

(1)由題意得

解得

填寫完整的2×2列聯表如下:

年齡低于45歲的人數年齡不低于45歲的人數合計使用消費券的人數271037未使用消費券的人數31013合計302050提出假設H0:是否使用消費券與人的年齡無關.根據列聯表中的數據,可以求得χ2=

≈9.979,因為當H0成立時,χ2≥6.635的概率約為0.01,所以有99