5.3.1樣本事件與空間TOC\o"13"\h\z\u題型1樣本點與樣本空間 2題型2事件類型的判斷 6題型3隨機事件的概率 11知識點一.隨機試驗的概念和特點1.隨機試驗∶我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，常用字母E來表示.2.隨機試驗的特點∶①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.知識點二.樣本點和樣本空間定義字母表示樣本點我們把隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點用ω表示樣本點樣本空間把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間通常用大寫希臘字母Ω表示有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…ωn，則稱樣本空間Ω={ω1，ωΩ={ω1，ω2，…知識點三.隨機事件1.不可能事件∶在同樣的條件下重復進行試驗時，始終不會發生的結果.2.必然事件∶在同樣的條件下重復進行試驗時，每次試驗中一定會發生的結果.3.隨機事件∶如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集，而且∶若試驗的結果是A中的元素，則稱A發生（或出現等）；否則，稱A不發生（或不出現等）.在同樣的條件下重復進行試驗時，可能發生，也可能不發生的結果.注意：（1）不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件。（2）任何一個隨機事件既有可能發生，也有可能不發生。4.事件的表示∶不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件．通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的韋恩圖來直觀地表示事件，特別地，只含有一個樣本點的事件稱為基本事件.知識點四.隨機事件的概率（1）我們將不可能事件?發生的概率規定為0，將必然事件Ω發生的概率規定為1，即P（?）=0,P(Ω)=1.任意事件A的概率為∶0≤P（A）≤1.(2)事件發生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發生的可能性越小，它的概率越接近0（如圖）.題型1樣本點與樣本空間【方法總結】1.樣本空間只與問題的背景有關，根據問題的背景明確試驗的每個可能的基本結果；2.根據日常生活經驗，按照一定的順序列舉出所有樣本點，用集合表示成樣本空間.也可以借助樹狀圖、列表等方法幫助我們列出試驗的所有可能結果.【例題1】（2023上·高一課時練習）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】B【分析】根據題意結合列舉法運算求解.【詳解】從A，B，C，D，E五人中選兩人，不同的選法有：A,B,所以樣本空間中樣本點的個數為10．故選：B.【變式11】1．（2023上·高一課時練習）做投擲2枚均勻骰子的試驗，用（x，y）表示結果，其中x表示第一枚骰子出現的點數，y表示第2枚骰子出現的點數．寫出：(1)試驗的樣本空間Ω；(2)事件“出現點數之和大于8”包含的樣本點；(3)事件“出現點數相等”包含的樣本點；(4)事件“出現點數之和等于7”包含的樣本點．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【分析】列舉法寫出樣本點即可.【詳解】（1）試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出現點數之和大于8”包含以下10個樣本點：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出現點數相等”包含以下6個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出現點數之和等于7”包含以下6個樣本點：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).【變式11】2．（2023下·山東菏澤·高一校考階段練習）已知某校高一、高二、高三三個年級的學生志愿者人數分別為180，120，120．現采用樣本按比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取7名同學去敬老院參加獻愛心活動．(1)應從高一、高二、高三三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從該7名同學中隨機抽取2名同學承擔敬老院衛生打掃工作．設7名同學中來自高一的3人分別為A，B，C，記事件M=“抽取的兩名同學中至少有一名來自高一年級”，試用所給字母寫出事件M包含的樣本點；【答案】(1)分別抽取3人，2人，2人(2)答案見解析【分析】（1）利用分層抽樣的定義結合已知條件求解即可，（2）根據題意利用列舉法求解【詳解】（1）由題意知，高一、高二、高三，三個年級的學生志愿者人數之比為180:120:120=3:2:2，又采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取7名同學．故應從高一、高二、高三，三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（2）M=A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，A,G，B,C，B,D，B,E，B,F，B,G，C,D，C,E，C,F，C,G【變式11】3．（2023·高一課時練習）從A、B、C、D、E這5名學生中任意抽取3人參加學校組織的座談會．(1)寫出該試驗的樣本空間；(2)寫出事件“A被選中”包含的樣本點．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用列舉法直接求解樣本空間；（2）利用列舉法直接求解樣本點.【詳解】（1）該試驗的樣本空間為：Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)}（2）事件“A被選中”包含6個樣本點，分別為(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E)．【變式11】4.（2023·高一課時練習）做試驗“從-1，1，2這3個數字中，不放回地取兩次，每次取一個數字，構成有序數對(x,y)，x為第1次取到的數字，y為第2次取到的數字”．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)寫出這個試驗樣本點的總數；(3)寫出“第1次取出的數字是2”這一事件包含的樣本點．【答案】(1)答案見解析(2)6(3)(2,-1)，(2,1)【分析】（1）根據樣本空間的定義求解；（2）直接計數可得；（3）由（1）可得．【詳解】（1）這個試驗的樣本空間Ω={(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)}（2）易知這個試驗的樣本點的總數是6．（3）“第1次取出的數字是2”這一事件包含的樣本點為：(2,-1)，(2,1).題型2事件類型的判斷【方法總結】判斷一個事件是哪類事件要看兩點一看條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；二看結果是否發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件.【例題2】（2022上·黑龍江牡丹江·高二校考階段練習）以下事件是隨機事件的是（

）A．標準大氣壓下，水加熱到100°C，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為【答案】B【分析】根據隨機事件的概念判斷即可【詳解】解：A．標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為D．實系數一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．故選：B．【變式21】1．（多選）（2022·高一課時練習）（多選）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是必然事件【答案】ABC【分析】由隨機事件、不可能事件、必然事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；對于B，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；對于C，因為只有2張藍色卡片，從中任取3張卡片，所以事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件，故C正確；對于D，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D不正確.故選：ABC.【變式21】2．（2021上·高一課時練習）在12件同類產品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品.隨機事件有，必然事件有，不可能事件有.【答案】①②④③【分析】根據正品和次品產品的數目，結合事件的概念，即可得出答案.【詳解】對于①，由題意知，抽出的3件可能都是正品，故①是隨機事件；對于②，由題意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是隨機事件；對于③，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；對于④，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.故答案為：①②；④；③.【變式21】3．（2023上·高一課時練習）判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件．①“拋一石塊，下落”；②“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；③“某人射擊一次，中靶”；④“如果a>b，那么a-b>0”；⑤“擲一枚硬幣，出現正面”；⑥“導體通電后，發熱”；⑦“從分別標有號數1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽”；⑧“某機在1分鐘內收到2次呼叫”；⑨“沒有水分，種子能發芽”；⑩“在常溫下，焊錫熔化”．【答案】事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是隨機事件．【分析】利用必然事件、不可能事件、隨機事件的意義逐一判斷各個命題作答.【詳解】依題意，事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是隨機事件.【變式21】4．（2020·安徽·）從4名男生，2名女生中隨機抽取3人，則下列事件中的必然事件是（

）A．至少有2名男生 B．至少有1名男生C．3人都是男生 D．有2名女生【答案】B【分析】從4名男生，2名女生中隨機抽取3人，顯然必有1名男生，根據這個事實對四個選項逐一判斷.【詳解】從4名男生，2名女生中隨機抽取3人，有可能2名女生1名男生，選項A、C錯誤；也有可能3人全是男生，選項D錯誤，只要選項B是必然事件.故選:B【點睛】本題考查了對必然事件的理解.解題的關鍵是對問題的隱含事實的認識.【變式21】5．（2020·江西·南昌縣蓮塘第三中學）下列事件中是隨機事件的個數有

①連續兩次拋擲兩個骰子，兩次都出現2點；②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人買彩票中獎；④已經有一個女兒，那么第二次生男孩；⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃是會沸騰．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據隨機事件就是在指定條件下，可能發生也可能不發生的事件，依據定義即可判斷，得到答案.【詳解】由題意，隨機事件就是在指定條件下，可能發生，也可能不發生的事件，①連續兩次拋擲兩個骰子，兩次都出現2點可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件，②在地球上，樹上掉下的雪梨不抓住就往下掉，這是一定發生的事件，不是隨機事件；③某人買彩票中獎，此事可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件；④已經有一個女兒，那么第二次生男孩，此事可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件；⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃是會沸騰，此事一定不發生，不是隨機事件.故選C.【點睛】本題主要考查了隨機事件，必然事件、不可能事件的概念及判斷，其中熟記隨機事件的基本概念是解答此類問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.【變式21】6．（2020下·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．任一事件的概率總在0,1內 B．不可能事件的概率一定為0C．必然事件的概率一定為1 D．概率是隨機的，在試驗前不能確定【答案】D【分析】結合概率的定義和性質一一判斷選項即可．【詳解】解：任一事件的概率總在0,1內，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，概率是客觀存在的，是一個確定值．故選：D．【點睛】本題主要考查概率的定義與性質，屬于基礎題．題型3隨機事件的概率【方法總結】1.概率的性質必然事件Ω的概率P（Ω）=1。不可能事件?的概率P（?）=0。隨機事件A的概率P（A）∈（0，1）。2.概率的意義概率從數量上反映了一個事件發生的可能性的大小，概率意義下的“可能性”是大量隨機事件的客觀規律，與我們日常所說的“可能”“估計”是不同的。【例題3】（2020下·江蘇常州·高一統考期末）拋擲一枚硬幣，連續出現9次正面向上，則第10次出現正面向上的概率為（

）A．110 B．19 C．1【答案】D【分析】由正面向上或正面向下可能性相同可求出所求概率.【詳解】第10次拋硬幣結果不受前9次結果的影響，由于硬幣正面向上或正面向下可能性相同，則概率為12故選:D．【點睛】本題考查了等可能事件的概率，屬于基礎題.【變式31】1．（2020下·山東青島·高二校考期中）分別獨立的扔一枚骰子和硬幣，并記下骰子向上的點數和硬幣朝上的面，則結果中含有“1點或正面向上”的概率為（

）A．512 B．12 C．7【答案】C【分析】列出所有的基本事件，再結果中含有“1點或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【詳解】分別獨立的扔一枚骰子和硬幣,所以的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上，2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反面向上.共12個基本事件.含有“1點或正面向上”有1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4正面向上，5正面向上，6正面向上，共7個基本事件，結果中含有“1點或正面向上”的概率為：712故選：C.【點睛】本題主要考查的是隨機事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列舉法求解是解題的關鍵，是基礎題.【變式31】2．（2022·新疆·塔城市第三中學）擲一枚均勻的硬幣，如果連續拋擲1000次，那么第999次出現正面向上的概率是A．1999 B．11000 C．999【答案】D【詳解】每一次出現正面朝上的概率相等都是12【變式31】3．（2020·北京市第四十三中學高一階段練習）某購物網站開展一種商品的預約購買，規定每個號只能預約一次，預約后通過搖號的方式決定能否成功購買到該商品.規則如下：（ⅰ）搖號的初始中簽