PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將〖答案〗書寫在答題卡規定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5.考試結束后，只將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據空間直角坐標系中點坐標的特征可知，關于原點對稱的點的坐標需要把橫坐標、縱坐標、豎坐標都變為原來的相反數，所以點關于原點對稱的點的坐標為.故選：D2.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知,所以,且拋物線開口向上，所以其準線方程為:.故選:D3.據統計，2023年12月成都市某區域一周指數按從小到大順序排列為：45，50，51，53，53，57，60，則這組數據的25百分位數是（）A.45 B.50 C.51 D.53〖答案〗B〖解析〗由這組數據共個，因為不是整數，所以這組數據的25百分位數為第個數據，即：.故選：B4.圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.內切 C.外切 D.內含〖答案〗C〖解析〗圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，則，故兩圓外切.故選：C.5.已知雙曲線的虛軸長是實軸長的倍，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的標準方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，橢圓焦點為，設該雙曲線方程為，半焦距為，則，，即，又，解得，，所以雙曲線方程.故選：A6.如圖，已知四面體的棱長都是2，點為棱的中點，則的值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為點為棱的中點，所以，因為四面體的棱長都是2，所以，故選：B7.連續兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察它落地時朝上面的點數.事件“第一次得到的數字是2”；事件“第二次得到的數字是奇數”；事件“兩次得到數字的乘積是奇數”；事件“兩次得到數字的和是6”.則（）A.事件和事件對立 B.事件和事件互斥C.事件和事件相互獨立 D.〖答案〗D〖解析〗對于A，事件“第二次得到的數字是奇數”=“第二次得到的數字是1，3，5”，所以事件和事件互斥但不對立；對于B，事件發生時，即“第二次得到的數字是1，3，5”，若“兩次得到數字的和是6”也發生，則此時只需“第一次得到的數字是5，3，1”，即事件發生時，事件也有可能發生，故B錯誤；對于C，由題意，“兩次得到數字的和是6”可能有：五種情況，即，而事件和事件同時發生即為一種情況，所以，但，故C錯誤；對于D，由題意，而事件和事件同時發生的概率，所以.故選：D.8.已知圓，點為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，由題意得⊥，⊥，且與全等，則四邊形的面積為，可得⊥，四邊形的面積為，故，其中，故，要想最小，只需最小，顯然當⊥直線時，最小，最小值為，此時.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在男子跳水10米臺比賽中，某運動員發揮出色.在他的第一跳中，10位裁判給出的分數為：9.0，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，對該組數據下列說法正確的有（）A.眾數為10 B.平均數為9.5 C.極差為9 D.中位數為9.6〖答案〗AD〖解析〗A選項，10出現了3次，出現次數最多，故眾數為10，A正確；B選項，平均數為，故平均數為，B錯誤；C選項，極差為，C錯誤；D選項，從小到大排列，第5個數和第6個數的平均數為中位數，即，D正確.故選：AD10.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則下列說法正確的有（）A.過點且平行于的直線的方程為B.直線的方程為C.點的坐標為D.邊的垂直平分線的方程為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，設過點且平行于的直線的方程為，則，解得，所以過點且平行于的直線的方程為，故A正確；對于B，由題意知，，∵，∴，所以直線的方程為，即，故B正確；對于C，聯立，解得，所以點的坐標為，故C正確；對于D，邊的中點坐標為，，所以邊的垂直平分線的斜率為，所以邊的垂直平分線的方程為，即，故D錯誤.故選：ABC.11.雙曲線的左、右焦點分別為，下列說法正確的有（）A.若，則雙曲線的離心率為B.若雙曲線的漸近線方程為，則C.若雙曲線的焦距為為該雙曲線上一點，且，則D.若點為雙曲線上一點，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對A：時，，所以，則，故A正確；對B：由，故B正確；對C：因為，，所以.又，所以點在雙曲線的左支上，由，故C錯誤；對D：為雙曲線上一點，則，又，所以，所以.不妨設在第一象限，，（），且，所以，故D正確.故選：ABD12.如圖，在直四棱柱中，，，點在以線段為直徑的圓上運動，且三點共線，點分別是線段的中點，下列說法中正確的有（）A.存在點，使得平面與平面不垂直B.當直四棱柱的體積最大時，直線與直線垂直C.當時，過點的平面截該四棱柱所得的截面周長為D.當時，過的平面截該四棱柱的外接球，所得截面面積的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為AC為直徑，所以，又四棱柱為直四棱柱，所以平面ABC，因為平面ABC，所以，因平面，又平面，所以平面平面，A錯誤；對于B，由上可知，四邊形ABCD為矩形，易知，當四邊形ABCD的面積S最大時，棱柱的體積最大，記，則，當，即時，，此時四邊形ABCD為正方形，，所以，此時四棱柱為正方體，連接，因為平面，平面，所以，由四邊形為正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，B正確；對于C，由上可知，當時，四棱柱為正方體，取的中點為P，易知，，又，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，所以四點共面，此時，，所以梯形的周長為，C正確；對于D，易知，正方體的外接球球心為正方體的中心，由對稱性可知，球心到M，N的距離相等，記過的截面小圓半徑為r，球的半徑為R，球心到截面距離為d，的中點為Q，則，故當d取得最大值時，r取得最小值，由求得性質可知，當小圓圓心為的中點時d取最大值，易知，所以，所以，所以小圓面積為，D正確.故〖答案〗為：BCD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡上13.某校高二年級選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學生人數分別為480，40，120和80，現采用分層抽樣的方法從這些學生中選出72人參加一項活動，則“史政生”組合中選出的學生人數為____________.〖答案〗8〖解析〗由題意，，設在“史政生”組合中應選出的學生人數為，則根據按比例分配分層抽樣可得，解得.故“史政生”組合中選出的學生人數為.故〖答案〗為：.14.如圖所示，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，為的中點，為的中點，則直線與所成角的大小為____________.〖答案〗〖解析〗設的中點為，連接，因為為的中點，所以有，所以是直線與所成的角(或補角),因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以，顯然是圓錐的高，因此與底面垂直，在底面中，因為為的中點，所以，于是，因為，所以，故〖答案〗為：15.九宮格的起源可以追溯到遠古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應著從1到9九個數字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個數字的和（這個和叫做幻和）都等于15，即現代數學中的三階幻方.根據洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數，四隅為陰數”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個頂角為偶數，其余位置為奇數.如圖所示，若隨機填寫一組幻和等于15的九宮格數據，記事件”，則的值為____________.5〖答案〗〖解析〗由題意九宮格的中間位置填，位置填偶數，位置填奇數，因為每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上三個數字之和都等于，所以、位置填或，先從中任意選出一個數填入位置，則有個結果，若填，則填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含個結果；所以總的結果個數為個其中符合的情況有，，，，，共個，所以.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左、右頂點分別為，動點均在橢圓上，是坐標原點，記和的斜率分別為；與的面積分別為.若，則的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗由橢圓的方程可得，不妨設點在第一象限，點在第二象限，設直線的方程為，代入橢圓方程可得，解得（舍去），所以，因為和的斜率，所以，則直線的方程為，代入橢圓方程得，解得（舍去），所以，則，當且僅當，即時，等號成立，即的最大值為，由橢圓及直線的對稱性，滿足條件時的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為保障食品安全，某質量監督檢驗中心從當地海鮮市場的10000條魚中隨機抽取了100條魚來測量其體內汞的含量，測量指標為：（單位：）.將所得數據分組后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該樣本的中位數；（2）已知當魚體內汞含量的測量指標超過時，就不符合可食用標準.用樣本估計總體，求這一批魚中約有多少條不符合可食用標準.解：（1）由，解得.因為，所以中位數位于.所以中位數為：.（2）由題意，抽取的100條魚測量指標超過的頻率為.由樣本的頻率分布，估計10000條魚中不符合可食用標準有（條）.所以用樣本估計總體，這一批魚中約有500條不符合可食用標準.18.已知為坐標原點，圓為的外接圓.（1）求圓的標準方程；（2）過原點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.解：（1）設的外接圓的方程為.均在圓上，解得，所以圓的方程為.所以圓的標準方程為.（2）由（1）知圓心，半徑為，因為直線被圓截得的弦長為，所以點到直線的距離為.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，則，兩邊同時平方得，解得或.當直線的斜率不存在時，不滿足條件.所以直線的方程為或.19.如圖，在三棱臺中，若面，，空間中兩點分別滿足.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1），，由向量共面的充要條件可知，向量共面，又平面，平面；（2）平面，平面..又因為，所以兩兩互相垂直.以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.于是，則因為，,取平面的一個法向量為.設平面法向量，平面與平面的夾角為，由，得，令，得，則..所以，平面與平面的夾角的余弦值為.20.在平面直角坐標系中，動點與點的距離和它到直線的距離之比是.（1）求動點的軌跡方程；（2）過點的直線與點的軌跡交于兩點，與直線交于點，若，求的方程.解：（1）設點，由題意可得：，將上式兩邊平方，并化簡，得，即.故點的軌跡方程為.（2）當直線斜率為0時，由題有，不合題意.當直線斜率不為0時，設，由，得，即，由消去，得化簡得，解得或（舍去）.解得.所以，直線的方程為或.21.某企業為了推動技術革新，計劃升級某電子產品，該電子產品核心系統的某個部件由2個電子元件組成.如圖所示，部件是由元件A與元件組成的串聯電路，已知元件A正常工作的概率為，元件正常工作的概率為，且元件工作是相互獨立的.（1）求部件正常工作的概率；（2）為了促進產業革新，該企業計劃在核心系統中新增兩個另一產地的電子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率為，且四個元件工作是相互獨立的.現設計以下三種方案：方案一：新增兩個元件都和元件并聯后，再與串聯；方案二：新增兩個元件都和元件并聯后，再與串聯；方案三：新增兩個元件，其中一個和元件并聯，另一個和元件并聯，再將兩者串聯.則該公司應選擇哪一個方案，可以使部件正常工作的概率達到最大？解：（1）記事件分別表示元件正常工作，則，事件表示正常工作，由元件工作是相互獨立的.則.（2）設方案一、二、三正常工作的概率分別為，設新增的兩個元件為元件，記事件分別表示新增的兩個元件正常工作，則.事件分別表示元件不正常工作，由于四個元件工作相互獨立，則.所以；同理得：；.又因為，，所以選擇方案三可以使部件正常工作的概率最大.22.已知拋物線上一點到焦點的距離為