§3從速度的倍數到數乘向量3.1數乘向量課時過關·能力提升1.設a是非零向量,λ是非零實數,則下列結論中正確的是()A.a與λa的方向相反 B.|λa|≥|a|C.a與λ2a的方向相同 D.|λa|=|λ|a解析:選項A錯誤,因為λ取負數時,a與λa的方向是相同的;選項B錯誤,因為當|λ|<1時,該式不成立;選項D錯誤,等號左邊的結果是一個數,而等號右邊的結果是一個向量,兩者不可能相等;選項C正確,因為λ2(λ≠0)一定是正數,所以a與λ2a的方向相同.故選C.答案:C2.設a0為單位向量,有下列命題:①若a為平面內的某個向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.上述命題中假命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時a=|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個數是3.答案:D3.已知|a|=1,|b|=2,a=λb,則|ab|=()A.1 B.3 C.1或3 D.|λ|解析:因為a,b是平行向量,所以反向時|ab|=|a|+|b|=3;同向時|ab|=|b||a|=1.答案:C4.已知不共線向量a,b,且AB=a+2b,BC=5a+6b,CD=7aA.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D解析:∵=(a+2b)+(5a+6b)+(7a2b)=3a+6b=3AB答案:A5.已知a與b是兩個不共線向量,且向量a+λb與(b3a)共線,則λ等于()A.解析:由題意知a+λb=k[(b3a)],所以答案:D★6.已知O為△ABC內一點,且OA+OC+2OB=0,則△AOCA.1∶2 B.1∶3C.2∶3 D.1∶1解析:設AC的中點為D,連接OD,則OA+∴OD=-OB,即點B,O,D在同一條直線上,且點O答案:A7.如圖,C是△ABD的邊BD的中點,若用解析:在△ABC中又C是BD的中點,所以BD=2答案:28.設向量e1,e2不共線,AB=3(e1+e2),CB=e2e1,CD=2e1+e2.給出下列結論:①A,B,C三點共線;②A,B,D三點共線;③B,C,D三點共線;④A,解析:由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB與CB答案:④9.在△ABC中,M為邊AB的中點,若OP∥解析:∵M為AB的中點,∴又OP∥OM∴∴x=y=答案:110.如圖,在?ABCD中,AD=b,AB=a,M為AB的中點,N為BD上靠近B的三等分點.求證:M,N證明在△ABD中∵AB=a,AD=b,∵N是BD的三等分點,∴BN=13∵BC=∴CN=BN-BC∵M為AB的中點,∴∴=-12a-由①②,可得由向量共線的判定定理,知∵CM與CN有公共點C,∴M,N★11.已知向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共線,向量c=2e19e2,則是否存在這樣的實數λ,μ,使向量d=λa+μb與c共線?若存在,求出λ,μ滿足的條件;若不存在,請說明理由.解由題意,得d=λa+μb=λ(2e13e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ3λ)e2.假設d與c共線,則存在實數k,使得d=kc,即2(λ+μ)e1+3(μλ)e2=2ke19ke2.由此得方程組解得μ=k,λ=2k,即λ=2μ.故存在這樣的實數λ,μ,當滿足λ=2μ時,d與c共線.★12.如圖,L,M,N分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的點,且BLBC=l,CM證明