瀘縣一中高2023級高一上期期末考試數學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知A，B均為全集的子集，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據補集與交集定義進行計算得出結果.【詳解】已知全集，且，所以，又，所以，若，則，所以，這與矛盾，所以，同理.所以.故選：D.2.已知定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復合函數的定義域求解規則求解即可.【詳解】解：因為定義域為，所以函數的定義域為，所以，的定義域為需滿足，解得.所以，的定義域為.故選：A3.已知集合，，則集合的真子集個數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據集合的定義和集合中元素的互異性寫出集合，然后根據真子集的性質求解.【詳解】依題意，集合中有個元素，則其真子集的個數有個.故選：C4.若函數在上單調遞減，則實數m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據冪函數的單調性求解.【詳解】因為函數在上單調遞減，所以,解得，故選:C.5.方程x+sinx=0的根有()A.0個 B.1個 C.2個 D.無數個【答案】B【解析】【分析】設，方程的根的個數，轉化為兩個圖像有幾個交點的問題，由數形結合得出結果.【詳解】設，在同一直角坐標系中畫出的圖像，如圖所示，由圖知的圖像僅有一個交點，則方程x+sinx=0僅有一個根.故選B【點睛】本題考查了方程的根有幾個，轉化為兩個圖像有幾個交點的問題，屬于基礎題.6.下列函數中，周期為，且在區間上單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出各選項中函數的周期，并判斷出各選項中函數在區間上的單調性，可出得出結論.【詳解】對于A選項，函數的最小正周期為，當時，，該函數在區間上不單調；對于B選項，函數的最小正周期為，當時，，該函數在區間上單調遞減；對于C選項，函數的最小正周期為，當時，，該函數在區間上不單調；對于C選項，函數的最小正周期為，當時，，該函數在區間上單調遞減.故選：D.【點睛】本題考查三角函數周期的求解，以及在某區間上單調性的判斷，解題時要充分利用正弦函數或余弦函數的基本性質來進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.7.若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】化簡原式得，然后利用基本不等式求解【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故，的最小值為6．故選：C．8.高德納箭頭表示法是一種用來表示很大的整數的方法，它的意義來自乘法是重復的加法，冪是重復的乘法.定義：，（從右往左計算）.已知可觀測宇宙中普通物質的原子總數約為，則下列各數中與最接近的是（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據高德納箭頭表示法即可求解，進而根據對數的運算與指數的互化即可求解.【詳解】因為，故，取對數得，故，故最接近的是，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知角的終邊與單位圓相交于點，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據三角函數定義得到正弦，余弦及正切值，進而利用誘導公式進行計算，作出判斷.【詳解】根據三角函數的定義得：，，，故AB正確；，C正確；，D錯誤.故選：ABC10.已知集合，，則是的真子集的充分不必要條件可以是（）A. B.m∈C.m∈ D.【答案】AD【解析】【分析】根據集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根據充分不必要條件的概念即可得到結果.【詳解】因為集合若集合是集合的真子集，當時，即集合，顯然成立；當時，則或，所以或所以若集合是集合的真子集，則；所以是的真子集的充分不必要條件可以是或.故選：AD.11.已知，關于x的不等式的解集可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.【詳解】當時，不等式等價于，解得；當時，不等式的解集是；當時，不等式等價于，解得或；當時，不等式等價于，解得；當時，不等式等價于，解得或.故選：BCD12.定義在R上的函數滿足，當時，，則滿足（）A. B.是偶函數C.在上有最大值 D.的解集為【答案】AD【解析】【分析】賦值法可以求出，，判斷出AB選項；C利用賦值法和題干中的條件可以得出的單調性，從而得到在上有最大值；D選項利用C選項中判斷的函數的單調性進行解不等式，得到答案.【詳解】定義在R上的函數滿足，令得：，解得：，A正確；令得：，因為，所以，故是奇函數，B錯誤；任取，，且，則令，，代入得：，因為當時，，而，所以，故，即，從而R上單調遞減，在上有最大值為，C錯誤；由A選項得到，而在R上單調遞減，故，解得，解集為，D正確.故選：AD第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角的終邊經過點，則______【答案】【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得的值．【詳解】角的終邊經過點，則，，，，故答案為．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題．14.寫出一個滿足“圖象既關于直線x=1對稱又關于原點中心對稱”的函數_________．【答案】【解析】【分析】可取，根據正弦函數的對稱性驗證即可.【詳解】解：可取，令，則，所以函數得圖象關于直線對稱，令，則，則函數得對稱中心為，即函數得圖象關于原點中心對稱，所以符合題意.故答案為：.（答案不唯一，符合條件即可）15.已知定義在實數集R上的偶函數在區間上是減函數，則不等式的解集是__________【答案】【解析】【分析】通過奇偶性和單調性并結合對數不等式進行計算即可【詳解】因為定義在實數集R上的偶函數在區間上是減函數，所以函數在區間上是增函數，所以由不等式，得所以，即或，解得或即不等式的解集是故答案為：.16.已知函數，為的零點，為圖象的對稱軸，且在上單調，則的最大值為________.【答案】5【解析】【分析】根據在區間上的單調性，結合函數的周期，求得的取值范圍，結合為的零點、為圖象的對稱軸，求得的最大值.【詳解】由于在區間上單調，所以，即.由于為的零點，為圖象的對稱軸，所以，兩式相減并化簡得，所以為奇數，由于，當時，，符合題意.所以的最大值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數的單調性、周期性、零點和對稱軸等知識，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計算：；（2）已知，試用表示.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據指數冪運算法則以及對數運算法則求解得結果；（2）根據換底公式以及對數運算法則化簡得結果.【詳解】（1）（2）.【點睛】本題考查指數冪運算法則、對數運算法則、換底公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18.設，已知集合，．（1）當時，求實數的范圍；（2）設；，若是的必要不充分條件，求實數的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由題可得是的真子集，分類討論為空集和不為空集合兩種情況，即可求得m的取值范圍.【小問1詳解】由題可得，則；【小問2詳解】由題可得是的真子集，當，則；當，，則（等號不同時成立），解得綜上：19.已知函數是定于在[2，2]上的奇函數，當時，.（1）當時，且函數的解析式；（2）若，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數的奇偶性性質及可求解；（2）根據奇偶性和單調性化簡不等式解不等式即可.【小問1詳解】解：由題意得：當時，，又因為函數是定義在上的奇函數故，所以所以函數當時，且函數的解析式【小問2詳解】由函數得解析式可得奇函數在上單調遞增所以即為所以，解得：又因為，且解得：故a的取值范圍.20.某企業為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術生產某款新，通過市場調研發現，生產該產品全年需要投入研發成本250萬元，每生產（千部），需另外投入成本萬元，其中，已知每部售價為5000元，且生產的當年全部銷售完.（1）求2023年該款的利潤關于年產量的函數關系式；（2）當年產量為多少時，企業所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當年產量為52（千部）時，企業所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【解析】【分析】（1）根據利潤等于收入減去成本即可求出結果；（2）根據（1）求出的函數關系式直接求最大值即可.【小問1詳解】當時，，當時,，所以.【小問2詳解】當時，,∴當時，，當時,,當且僅當，即時，，因此當年產量為52（千部）時，企業所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.21.函數，若函數的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，且圖象的一條對稱軸是直線．（1）求函數的解析式；（2）設集合,若，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函數圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，求得函數的周期，得到，再由圖象的一條對稱軸是直線，求得，即可得到函數的解析式；（2）由，把不等式恒成立，轉化為，結合三角函數的性質，求得函數的最值，即可求解.【詳解】（1）由題意知，函數的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，可得,解得，又由，所以，又由圖象的一條對稱軸是直線，可得，且，解得，所以（2）由集合，因為若，即當時，不等式恒成立，所以，因為，則，當，即，函數取得最小值，最小值為；當，即，函數取得最大值，最大值為，所以.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，其中解答中熟記三角函數的圖象與性質，合理轉化是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.22.已知函數，記.（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）是否存在實數，使得當時，的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由.【答案】（1）（2）奇函數，證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)根據真數大于0，分別求f(x)和g(x)定義域，F(x)為這兩個