第三章3.1空間向量基本定理基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握空間向量基本定理.2.會(huì)用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)

空間向量基本定理空間向量基本定理:如果向量a,b,c是空間三個(gè)不共面的向量,p是空間任意一個(gè)向量,那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

p可由a,b,c線性表示由上述定理可知,如果向量a,b,c是空間三個(gè)不共面向量,那么所有的空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},這個(gè)集合可以看成是由向量a,b,c生成的,這時(shí){a,b,c}叫作空間的一組基,其中a,b,c都叫作基向量.名師點(diǎn)睛由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面,所以若三個(gè)向量不共面,就說明它們都不是零向量.過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基,那么a,b間應(yīng)有什么關(guān)系?提示

a,b與任何向量c(不妨假設(shè)任何向量為c)都不能構(gòu)成空間的一組基,說明a,b,c一定共面.∵任何兩個(gè)向量必共面,c是任意向量,∴a,b必共線.2.[人教A版教材習(xí)題]已知{a,b,c}是空間的一組基,從a,b,c中選哪一個(gè)向量,一定可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成空間的另一組基?提示

向量c一定可以與p,q構(gòu)成另一組基,因?yàn)閜=a+b,q=a-b與a,b共面,c不與a,b共面,所以c不與p,q共面.3.[人教A版教材習(xí)題]已知O,A,B,C為空間的四個(gè)點(diǎn),且向量

不構(gòu)成空間的一組基,那么點(diǎn)O,A,B,C是否共面?重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一基的判斷【例1】

(1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一組基的向量組有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C規(guī)律方法

判斷基的基本思路及方法

變式訓(xùn)練1下列各組向量能構(gòu)成一組基的是(

)B探究點(diǎn)二用基表示空間向量分析

利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系→利用向量運(yùn)算進(jìn)行拆分→直至向量用a,b,c表示變式探究若把本例中的

其他條件不變,則結(jié)果是什么?規(guī)律方法

用基表示空間向量的解題策略(1)在空間中,任一向量都可以用一組基表示,且只要基確定,則表示形式是唯一的.(2)用基表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.(3)在空間幾何體中選擇基時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基.例如,在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基.C本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)基的判斷.(2)用基表示空間中的向量.2.方法歸納:類比.3.常見誤區(qū):忽視基向量的要求(三個(gè)不共面的向量).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.設(shè)p:a,b,c是三個(gè)非零向量;q:{a,b,c}為空間的一組基,則p是q的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析

當(dāng)非零向量a,b,c不共面時(shí),{a,b,c}可以作為空間的一組基,否則不能作為基.當(dāng){a,b,c}為基時(shí),一定有a,b,c為非零向量.因此p是q的必要不充分條件.12345A123453.下列說法正確的是(

)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一組基B.空間的基有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一組基D.基{a,b,c}中基向量與基