7.3冪級數(shù)7.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念是定義在上的函數(shù)項級數(shù).稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).

定義1設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,表達(dá)式

例如,級數(shù)所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體，稱為收斂域,發(fā)散點(diǎn).定義2如果數(shù)項級數(shù)收斂,則稱為級數(shù)的收斂點(diǎn),否則,稱為設(shè)函數(shù)項級數(shù)的部分和為余項(x在收斂域上)注意:函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).函數(shù)則是公比為x的幾何級數(shù),在收斂域內(nèi),其和函數(shù)是發(fā)散域為其收斂域為同理例如,級數(shù)解由比值判別法,有

原級數(shù)絕對收斂.例1求級數(shù)

的收斂域.(1)當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;故,原級數(shù)的收斂域為(2)當(dāng)(3)當(dāng)形如7.3.2冪級數(shù)及其收斂性稱為x的冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù).簡稱冪級數(shù).的函數(shù)項級數(shù),稱為的冪級數(shù),證定理7.11(阿貝爾定理)則它在滿足的一切x處發(fā)散.處收斂,發(fā)散,若冪級數(shù)若冪級數(shù)即存在常數(shù)

M>0,使得則它在滿足的一切x處絕對收斂;從而數(shù)列有界,由結(jié)論(1),這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂,若有一點(diǎn)x1適合則級數(shù)在處應(yīng)收斂,收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域幾何說明推論1也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):如果冪級數(shù)

不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,冪級數(shù)的收斂域一定是下列四個區(qū)間之一:

規(guī)定:定義(1)冪級數(shù)只在

x=0處收斂,收斂域為x=0;(2)冪級數(shù)對一切

x都收斂,收斂域為正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.問題:如果冪級數(shù)處條件收斂,其收斂半徑R=?證設(shè)定理7.12由比值判別法,則如果冪級數(shù)的所有系數(shù)收斂半徑收斂,發(fā)散,并且從某個n開始從而級數(shù)發(fā)散.從而級數(shù)絕對收斂.(1)如果收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散,收斂半徑(2)如果(3)如果解(1)是收斂的交錯級數(shù).是調(diào)和級數(shù),發(fā)散.例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:故收斂域是收斂域為發(fā)散;故收斂域為(0,1].是收斂的交錯級數(shù).所以,當(dāng)收斂,解原級數(shù)為缺少偶次冪項!級數(shù)絕對收斂,例3

求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.直接使用比值審斂法級數(shù)發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,收斂域為收斂半徑為當(dāng)7.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)及冪級數(shù)的和函數(shù)的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質(zhì)2和函數(shù)求導(dǎo)公式

且逐項求導(dǎo)后收斂半徑不變.并有逐項性質(zhì)1和函數(shù)在收斂域內(nèi)連續(xù).設(shè)性質(zhì)3和函數(shù)有逐項積分公式逐項積分后收斂半徑不變.若解兩邊積分逐項求導(dǎo),且求導(dǎo)后收斂半徑不變例4

求冪級數(shù)

的和函數(shù).得收斂,發(fā)散,故解逐項積分,且積分后收斂半徑不變例5

求數(shù)項級數(shù)

的和.兩邊求導(dǎo)得故解例6

求數(shù)項級數(shù)

的和.故常用冪級數(shù)的和函數(shù)練習(xí)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為()解設(shè)練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).解令收斂域為當(dāng)時,收斂,當(dāng)