第03講函數的奇偶性、對稱性與周期性(精練（分層練習）A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知為奇函數，且時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】為奇函數，且時，，.故選：D2．（2023秋·浙江寧波·高一統考期末）已知定義在上的奇函數滿足，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】是定義在上的奇函數，所以，，所以是周期為的周期函數，所以.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）若的偶函數，其定義域為，且在上是減函數，則與得大小關系是A． B． C． D．不能確定【答案】A【詳解】是偶函數，其定義域為，且在，上是減函數，則，且，則，故選．4．（2023春·內蒙古呼和浩特·高三統考階段練習）已知定義在上的奇函數滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵為定義在上的奇函數，∴，即（①）∴將①式中的替換為得，∴（②）∴由①、②得，，即，是周期為的周期函數，又∵為定義在上的奇函數，且，∴，，，∴.故選：B.5．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┮阎巧系呐己瘮?，且，當時，，則（

）A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75【答案】D【詳解】由得，，故，所以4是的一個周期，故，故選：D．6．（2023春·北京·高一?？奸_學考試）已知是偶函數，函數對任意，且，都有成立，且，則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是偶函數，即的圖象關于對稱.所以的圖象關于對稱.因為函數對任意，且，都有成立，所以在上為增函數.又因為的圖象關于對稱，，所以在為減函數，且.用折線圖表示函數的單調性，如圖所示：由圖知：.故選：D.7．（2023·山西·校聯考模擬預測）定義在上的函數滿足，且為奇函數.當時，，則（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【詳解】因為函數滿足，所以關于對稱，即①.又因為為奇函數，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函數的周期為，所以，令，則由②，得，所以.故選：B.8．（2023秋·陜西西安·高一校聯考期末）已知定義在上的函數滿足，且在上單調遞增，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數滿足，所以有：，，函數滿足在上單調遞增，由，所以，即，故選：A二、多選題9．（2023春·湖北·高三統考階段練習）已知函數對都有，若函數的圖象關于直線對稱，且對，，當時，都有，則下列結論正確的是（

）A． B．是偶函數C．是周期為4的周期函數 D．【答案】ABC【詳解】的圖象關于直線對稱，故關于軸對稱，是偶函數，B正確；中，令得：，因為，所以，解得：，A正確；故，是周期為4的周期函數，C正確；對，，當時，都有，故在上單調遞增，又是周期為4的周期函數，且是偶函數，故，，因為，所以，D錯誤.故選：ABC10．（2023秋·廣東汕尾·高一統考期末）已知定義在上的函數的圖象是連續不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當時，；③.則下列選項成立的是（

）A．B．若，則或C．若，則D．，使得【答案】ABD【詳解】由①，，得為偶函數，②，，當時，都有，所以在上單調遞減，故,故A正確；對于B，由,可得或，解得或，故B正確；對于C，由，得，若，則或，解得，故C錯誤；對于D，由為上的偶函數，在單調遞減，在單調遞增，又因為函數的圖象是連續不斷的，所以為的最大值，所以，，使得，故D正確．故選：ABD三、填空題11．（2023秋·湖北·高二江夏一中校聯考期末）一個機器人一秒前進一步或后退一步，程序員設計的程序是讓機器人以“先前進3步，再后退2步”的規律移動．如果將機器人放在數軸的原點，面向正方向在數軸上移動（1步的距離就是1個單位長度），令表示第秒機器人所在的點對應的實數，記，則__________．【答案】【詳解】有題意可知：此運動以5秒為一個周期，一個周期向前運動一個單位長度，故，故，故答案為：40712．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）設是定義在上的偶函數，且，當時，，_________.【答案】##0.5【詳解】是定義在上的偶函數，有，由，設，則，，得，則函數周期為2，所以.故答案為：四、解答題13．（2023秋·廣西桂林·高一統考期末）已知函數.(1)判斷函數奇偶性，并說明理由；(2)判斷函數在上的單調性，并利用單調性定義說明理由.【答案】(1)為奇函數，理由見解析(2)在上單調遞增，理由見解析【詳解】（1）函數為奇函數，證明如下：函數的定義域為，關于原點對稱，，滿足奇函數定義；所以為奇函數.（2）在上單調遞增，理由如下：在上任取，則因為，所以，故，即所以，所以在上單調遞增.14．（2023·全國·高三專題練習）設是定義在上的奇函數，且對任意實數，恒有．當，時，．（1）求證：是周期函數；（2）當，時，求的解析式；（3）計算的值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）1.【詳解】（1）證明：，．是周期為4的周期函數．（2）當，時，，，由已知得，又是奇函數，，．又當，時，，，．又是周期為4的周期函數，．從而求得，時，．（3），（2），（1），（3）．又是周期為4的周期函數，（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．而，所以.15．（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設函數和的定義域為，若是偶函數，是奇函數，且.(1)求函數和的解析式；(2)判斷在上的單調性，并給出證明.【答案】(1)，(2)單調遞減，證明見解析【詳解】（1）由，可得，由為偶函數，為奇函數，可得，則，；（2）由（1）得在單調遞減，證明如下：取任意，由，可得，則，則，則，則在單調遞減.B能力提升1．（多選）（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學?？计谀┮阎x在上的函數在上單調遞增，且為偶函數，則（

）A．直線是的對稱軸B．是的對稱中心C．D．不等式的解集為【答案】AD【詳解】因為為偶函數，其圖象關于軸對稱，所以圖象的對稱軸為直線，故A正確，B錯誤；又在上單調遞增，所以在上單調遞減，所以，故C錯誤；由不等式結合的對稱性及單調性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集為，故D正確，故選：AD．2．（多選）（2023·湖南·湖南師大附中校聯考模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且為偶函數，則下列說法一定正確的是（

）A．函數的周期為2 B．函數的圖象關于對稱C．函數為偶函數 D．函數的圖象關于對稱【答案】BC【詳解】依題意，上的函數，，則，函數的周期為4，A錯誤；因為函數是偶函數，則，函數的圖象關于對稱，且，即，函數圖象關于對稱，B正確；由得，則函數為偶函數，C正確；由得，由得，因此，函數的圖象關于對稱，D錯誤.故選：BC3．（多選）（2023秋·遼寧錦州·高三統考期末）已知函數對任意實數，都滿足，且，則（

）A．是偶函數 B．是奇函數C． D．【答案】AC【詳解】在中，令，可得，即，解得，故B錯誤；令可得,即，故函數是偶函數，即是偶函數,故A正確；令，則，故，令，可得,故，故C正確；因為是偶函數，所以，故,即，所以,所以，故函數的周期為2，因為，，所以，.所以，故D錯誤.故選：AC.4．（2023春·湖南·高一湖南省東安縣第一中學校聯考開學考試）若函數是定義在上的奇函數，滿足，當時，，則__________.【答案】##-0.25【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以.又，令，則即，所以，所以，所以是周期函數，周期，因為當時，，所以.故答案為：5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，且滿足，，則的最小正周期為___________，的一個解析式可以為___________.【答案】

(答案不唯一)【詳解】因為，所以，的最小正周期為.因為，所以函數關于點對稱，滿足關于點對稱以及最小正周期為的方程可以為.故答案為：；（答案不唯一）.C綜合素養1．（多選）（2023秋·浙江衢州·高一統考期末）已知定義在上的非常數函數滿足，則（

）A． B．為奇函數 C．是增函數 D．是周期函數【答案】AB【詳解】對于A項，令得：，解得：，故A項正確；對于B項，令得：，由A項知，，所以，所以為奇函數，故B項正確；對于C項，當時，，，滿足，但是減函數.故C項錯誤；對于D項，當時，，，滿足，但不是周期函數.故D項錯誤.故選：AB.2．（多選）（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）已知定義域為的函數在上單調遞增，，且圖像關于對稱，則（

）A． B．周期C．在單調遞減 D．滿足【答案】AC【詳解】由，可得的對稱軸為，所以又由知：，因為函數圖像關于對稱，即，故，所以，即，所以，所以的周期為,所以，所以，故A正確，B錯誤；因為在上單調遞增，且，所以在上單調遞增，又圖像關于對稱，所以在上單調遞增，因為關于對稱，所以在上單調遞減，又因為關于對稱，可得函數在單調遞減，故C正確；根據的周期為，可得，因為關于對稱，所以且，即，由函數在上單調遞減，且關于對稱，可得在上單調遞增，如圖所示的函數中，此時，所以不正確.故選：AC.3．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）已知函數是在定義域上嚴格增的奇函數，若，則實數的取值范圍是__________.【答案】【詳解】函數是在定義域上嚴格增的奇函數，，即，所以，解得.故答案為：4．（2023春·湖南湘潭·高三湘鋼一中?？奸_學考試）已知是定義在上的增函數，且的圖象關于點對稱，則關于的不等式的解集為_________．【答案】【詳解】令函數，因為的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，故是定義在上的奇函數．因為是定義在上的增函數，所以也是定義在上的增函數．由，得，則，則