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角的平分線性質的應用

不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？AOBC活動1（對折）情境問題1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動2情境問題ADBCE

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？

根據角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）已知：∠ＡＯＢ求作：∠ＡＯＢ的角平分線OC.OAB探究新知活動3角平分線的畫法作法：ABCO活動31、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。3、作射線OC。所以射線OC即為所求.2、分別以M、N為圓心，大于MN

的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C。21NM探究角平分線的性質

(1)實驗：在OC上任取一點P,過點P畫出OA、OB的垂線，垂足為D、E，測量PD、PE并作比較，你能得出什么結論？活動4

(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.AODEBPC探究角平分線的性質證明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PEPAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E求證:PD=PE活動5(3)驗證猜想角平分線上的點到角兩邊的距離相等。(4)得到角平分線的性質：活動5

利用此性質怎樣書寫推理過程?∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PEPAOBCED活動6

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實踐應用(2)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現已有一個條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因為角的平分線的性質)再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！拓展已知:BD是∠ABC的平分線,AB=BC,P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD求證:PM=PNBDCAMNP回味無窮定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).用尺規作角的平分線.小結拓展OCB1A2PDE拓展1.如圖，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，過O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OP⊥BC于P，則OM、ON、OP的大小關系是（）A.三者一定不相等B.三者不一定都相等C.三者都相等D.無法

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