【備戰2013高考數學專題講座】

第22講：高頻考點分析之立體幾何探討

江蘇泰州錦元數學工作室編輯

1?2講，我們對客觀性試題解法進行了探討，3?8講，對數學思想方法進行了探討，9?12講對數

學解題方法進行了探討，從第13講開始我們對高頻考點進行探討。

立體兒何是高中數學的重要內容，立體幾何試題是考查空間想象能力，邏輯思維能力和演繹推理能力

的基本載體近幾年高考立體幾何試題以基礎題和中檔題為主，熱點問題主要有證明點線面的關系?？疾榈?/p>

重點是點線面的位置關系及空間距離和空間角，突出空間想象能力。。在《課程標準》中，立體幾何的內

容和考查要求有了較大的變化：增加了三視圖，更強調幾何直觀，幾何證明有所削弱，淡化了距離問題。

因此，在復習中，以基本知識，基本方法為基礎，以通性通法為重點，培養空間兒何體的直觀認知能力和

邏輯推理能力。

一般來說，平面向量在高考中所占份量較大，結合2012年全國各地高考的實例，我們從以下五方面

探討立體幾何問題的求解：

1.多面體及球體的概念、性質、計算；

2.由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計算：

3.關于線線、線面及面面平行的問題；

4.關于線線、線面及面面垂直的問題；

5.關于空間距離和空間角的問題。

一、多面體及球體的概念、性質、計算：

典型例題：

例1.(2012年全國課標卷理5分)已知三棱錐S-4BC的所有頂點都在球。的球面上，A4BC是邊長

為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為【】

(A)夠(B)~(C)噂(D)烏

6632

【答案】A。

【考點】三棱錐的性質。

【解析】???AA8C的外接圓的半徑廠=@,?,?點。到面A8C的距離J/??一戶=顯。

33

又???SC為球0的直徑，點5到面ABC的距離為2d=二二。

3

/.此棱錐的體積為丫=15.叱*21=！*@*宜5=也。故選A。

3AABC3436

例2.(2012年全國課標卷文5分)平面a截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為明,

則此球的體積為【】

(A)#兀(B)4s兀(C)4#n(D)6757t

【答案】B。

【考點】點到平面的距離，勾股定理，球的體枳公式。

【解析】由勾股定理可得球的半徑為小，從而根據球的體積公式可求得該球的體積為：

V=-X7TX(省『=4鬲。故選B。

例3.(2012年江西省理5分)如下圖，已知正四棱錐S-A8CO所有棱長都為1,點E是側棱SC上一

動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記S￡=x(0<x<l),截面下面部分的體積

為V(x),則函數y=V(x)的圖像大致為【】

ABCD

【答案】Ao

【考點】棱錐的體積公式，線面垂直，函數的思想。

【解析】對于函數圖象的識別問題，若函數y=/(x)的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，可采

用定性排它法:

觀察圖形可知，當0<x<；時，隨著x的增大，V(x)單調遞減，且遞減的速度越來越快，不

是SE=x的線性函數，可排除C,D。當時，隨著x的增大，V(x)單調遞減，且遞減的速度

越來越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。

如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計算復雜，很容易出現某一步的計算錯誤而造成前功盡棄,

并且作為選擇題也沒有太多的時間去解答。我們也解答如下:

連接AC,BD,二者交于點。，連接SO,過點E作底面的垂線

當E為SC中點時，,:SB=SD=BC=CD,：.SE±BE,SELDE.

面BDE.

.?.當SE=x=L時，截面為三角形EB。，截面下面部分錐體的底為

2

BCD。

又???S4=SC=1,AC=P，SO=^-o此時￡77=號。

.、11.V26

32424

當0<SE(x)<；時，截面與4。和4B相交，分別交于點F、D,

設FG與AC相交于點，，則易得V⑴十…回。

錦元數學工作室繪制

由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=——,CS=1得

2

亞

y：EH=1(1-x),即

2

由E/〃&4,SE=x,CS=1,AC=V^^x：AI=T五,即A/=揚。易知A4FG是等腰直角三角

形，即FG=2A/=2&x。/.S=—-FGAI=—-2-42x-y/2x=2x2?

AFC22

V=22

1SBCDFGEHSABCD-S&AFG),EH=y(1-2^-(1-X)=^-(1-2%)(1-X)

當!<SE(x)<l時，截面與0c和8c相交，分別交于點M、N,設

MN與AC相交于點J,則易得丫(x)=1S?CMN-EHO

錦元數學工作室繪制

由E//〃S。，SE=x,CE=1-x,SO-——,CS=1得

2

y：EH=\(1-x),即￡”二三(1—力。

由EJ〃SA,SE-XfCE=1—x,CS=1,AC=V^得(1一x)：€7=1加，即CV二拉(1一x)。易知

V

ACMN是等腰直角三角形，即MN=2C/=2啦(1-x)。.?.SACMN=；，MMCJ=；-2VI(1-X),亞(1-X)=2(1-X)2。

AV(X)=^2(1-X)2-^y-(l-X)=^y-(l-X)3。

&

-

60<x<-

2

也

綜上所述，V(x)=<

2&4

-

3X<1

結合微積分知識，可判定A正確。

例4.(2012年湖北省理5分)我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之,

九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術”相當于給出了已知球的體積匕求其直徑”的一個近似

公式d"d/V°人們還用過一些類似的近似公式。根據乃=3.14159

判斷，下列近似公式中最精確的

一個是【】

【答案】Do

【考點】球的體積公式以及估算。

【解析】由球的體積公式V=&萬內得也

對選項逐一驗證:

3丫4萬

—,116r7?166Q116x9-c”

對于A.da；一V有一x—,即7rp----=3.375；

V997i16

對于B.da瘍有2=9,即乃=9=3；

712

6x157

即%a=3.14；

300

對于D.有21a9,即江a絲旦a3.1429；

V1111兀21

中的數值最接近J?o故選D。

例5.（2012年重慶市理5分）設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,、反和。，且長為。的棱與長

為后的棱異面，則a的取值范圍是【】

(A)(0,72)(B)(0,G)(C)(1,72)(D)(1,V3)

【答案】A?

【考點】異面直線的判定，棱錐的結構特征，勾股定理和余弦定理的應用。

【分析】如圖所示，設四面體ABCD的棱AC長為a,取BD中點P,連接AP,CP，所以AP18D,CP18。,

在RtAABP中，由勾股定理得4P=CP=@。

2

.?.在A4CP中，

AC2=a2=AP2+CP2-2APCPcosZAPC-cosZAPC.

,?ZAPCe(0,萬)，AcosZAPCe(-1,1)?Aa2e(0,2)

ae(0,V2)o故選A。

例6.（2012年上海市理4分）若一個圓錐的側面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

6兀

【答案】~T

【考點】空間幾何體的體積公式和側面展開圖。

【解析】根據該圓錐的底面圓的半徑為「，母線長為/,根據條件得到

L萬2=2兀，解得母線長/=2,2.=勿=2%/=1所以該圓錐的體積為:

2

——S/?=—XV22—I2K-——71。

"鉞333

例7.（2012年上海市文4分）一個高為2的圓柱，底面周長為2萬，該圓柱的表面積為▲

【答案】6萬。

【考點】圓柱的表面積。

【解析】根據該圓柱的底面周長得底面圓的半徑為r=1,所以該圓柱的表面積為:

S-2兀1+2萬/=4乃+2乃=6萬。

例9.（2012年上海市理4分）如圖，與8c是四面體ABC。中互相垂直的棱，BC=2,若AO=2c,

KAB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數，則四面體的體積的最大值是▲.

［答案］—cja~—c2-1。

3

【考點】四面體中線面的關系，橢圓的性質。

【解析】作于E,連接CE,則

VBC1AD,BERBC=B,，AOJ_平面5EC。

又；CEu平面BEC,CELAD.

山題設，A5+B￡>=AC+CD=2a,B與C都在以AO為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于

焦距所在直線A。。8E=CE。

取8C中點/，連接EE,

BC=2,：.EF工BC,BF=\,EF=^BE2o

???SABEF=；BCEF=4BE2-1。

四面體ABCD的體積V=^S^EC-AD=。

顯然，當E在AO中點，即8是短軸端點時，BE有最大值為b=4a2-c2。

Vmax=與Jq2-2-］。

例10.（2012年山東省理4分）如圖，正方體ABCD-A|B|C|D|的棱長為1。E,F分別為線段AA1，B|C

上的點，則三棱錐Di-EDF的體積為▲。

【答案】I

6

【考點】三棱錐的面積。

【解析】???三棱錐D|-EDF與三棱錐F-D|DE表示的是同一棱錐，VD「EDF=VF_D,DE。

又???F-D]DE的底△口白￡的面積是正方形面積的一半，等于g;底△口□￡上的高等于正方形

FDDE

的棱長1'VD_EDF=V_,=§X]X1°

例11.（2012年安徽省文5分）若四面體A8CO的三組對棱分別相等，即A8=CO,AC=BD,

AD=BC,則▲.（寫出所有正確結論編號）

①四面體ABCD每組對棱相互垂直

②四面體48co每個面的面積相等

③從四面體A8CO每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°

④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段互垂直平分

⑤從四面體4BCD每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長

【答案】②④⑤。

【考點】四面體的性質。

【解析】①四面體A5CO每組對棱不相互垂直，命題錯誤；

②四面體A8CO每個面是全等三角形，面積相等，命題正確；

③從四面體ABCO每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和等于180°,命題錯誤；

④連接四血體ABC。每組對棱中點構成菱形，線段互垂直平分，命題正確；

例12.（2012年遼寧省文5分）已知點P,4,B,C。是球O表面上的點,平面ABC。，四遽ABCD

是邊長為26正方形。若PA=2遙，則△OAB的面積為▲.

【答案】36。

【考點】組合體的的位置關系，轉化思想的應用。

【解析】??,點P,4,B,C。是球。表面上的點，％J_平面ABC。,

點尸，4,B,C。為球0內接長方體的頂點，球心。為長方體對角線的中點。

：./\OAB的面枳是該長方體對角面面積的2。

4

VAB=2y/3,PA=2^/6?PB=6。；.SAOAB=；X26x6=36。

例13.（2012年江蘇省5分）如圖，在長方體ABC。-A3CA中,AB=AD=3cm,AA=2cm,則四棱錐

A-BBQQ的體積為▲cn?.

【答案】6。

【考點】正方形的性質，棱錐的體積。

【解析】；長方體底面A8CO是正方形，...△A3。中3D=3/cm,80邊上的高是上正cm（它也是

2

A-BBQQ中BBRD上的高）。

四棱錐A-38QQ的體積為1x3也x2x。&=6。

32

二、由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計算：

典型例題：

例1.（2012年全國課標卷理5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視

圖，則此幾何體的體積為【】

(A)6(B)9(C)12(D)18

【答案】B。

【考點】由三視圖判斷幾何體。

【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為3。因此此幾何體的體積為:

V=Jx,x6x3x3=9。故選8。

32

例2.（2012年北京市理5分）某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是【】

A.28+675B.30+6指C.56+1275D.60+1275

mitre

【答案】B。

【考點】三棱錐的三視圖問題。

【解析】如下圖所示。圖中藍色數字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數字代表通過

勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面積應為三棱錐四個面的面積之和。利用垂直關系、等腰三角形

的性質和三角形面積公式，可得：

S底=g（2+3）-4=10,S后無;O+^-IO,S右=；45=10S=；.2后，（如『-（4『=6石

這里有兩個直角三角形，一個等腰三角形。

該三梭錐的表面積是30+6石。故選B。

例3.（2012年廣東省理5分）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為【

俯視圖

A.12nB.45兀C.57nD.81兀

【答案】Co

【考點】由三視圖求體積。

【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個母線長為5,底面圓半徑是

3的圓錐，下部是一個高為5,底面半徑是3的圓柱，幾何體的直觀圖如

圖所示。

圓錐的高產。1=V52-32=4

幾何體的體積丫=/柱贏/=9夕？519P4=57。。

故選C。

例4.（2012年廣東省文5分）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為【】

俯視圖

A.72萬B.48萬C.30萬D.24萬

【答案】Co

【考點】由三視圖求體積。

【解析】由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3,圓錐底面圓的半徑是3,圓錐母線

長為5,由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4,

則它的體積V=%錐+V半球體=1^-32-4+1,1^-33=30^?故選C。

例5.（2012年江西省文5分）若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為【

左?U6

11

A.—B.5

2

【答案】Co

【考點】由三視圖求面積、體積。

【解析】根據三視圖判斷此幾何體為直六棱柱，再分別計算棱柱的底面積和高，最后由棱柱的體積計算公

式求得結果：

由圖可知，此幾何體為直六棱柱，底面六邊形可看做兩個全等的等腰梯形，上底邊為1,下底邊

為3,高為1,

棱柱的底面積為—-———=4＞棱柱的高為1o

2

例6.（2012年浙江省文5分）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是【】

儂視圖

A.lcm?B.2cm3C.3cm*D.6cm3

【答案】Co

【考點】三棱錐的三視圖。

【解析】由題意判斷出，底面是?個直角三角形，兩個直角邊分別為1和2,整個棱錐的高由側視圖可得

為3,所以三棱錐的體積為』x』xlx2x3=l。故選C。

32

例7.（2012年湖北省理5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體枳為【

俯視圖

c10%

A.—B.3%C.------D.67r

33

【答案】Bo

【考點】由何體的三視圖求體積。

【解析】此幾何體為一個圓柱切去了一部分，此圓柱底面半徑為1,高為4,現在此幾何體上方補上一個

和此幾何體完全一樣的幾何體，從而構成一個底面半徑為1,高為6的圓柱，這個圓柱的體積為V=6萬,

要求幾何體的體積為圓柱體積的一半，為。故選B。

例8.（2012年湖南省理5分）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是[]

【答案】Do

【考點】組合體的三視圖。

【解析】由幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示知，原圖卜面圖為圓柱或直四棱柱，上面

是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖，D不

可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應為如圖的矩形。故選D。

例9.（2012年福建省理5分）一個幾何體的三視圖形狀都相同大小均相等，那么這個幾何體不可以是【】

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

【答案】Do

【考點】簡單幾何體的三視圖。

【解析】球的三視圖大小形狀相同.三棱錐的三視圖也可能相同，正方體三種視圖也相同，只有圓柱不同。

故選D。

例10.（2012年陜西省文5分）將正方形（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該

幾何體的左視圖為【

【答案】B?

【考點】空間圖像的直觀圖與三視圖。

【解析】因為從左面垂直光線在豎直平面上的正投影是正方形，其中。①的正投影是正方形右斜的對角線

（實線），8c的正投影是正方形左斜的對角線（被遮住是虛線）。故選B。

例11.（2012年天津市理5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積為▲

m}.

【答案】18+9萬。

【考點】簡單組合體的三視圖的畫法與體枳的計算。

【分析】由三視圖可該幾何體為兩個相切的球上方了一個長方體組成的組合體，所以其體積為：

43

V=3X6X1+2X-^-X（^）3=18+9^機\

例12.（2012年天津市文5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積▲

【答案】30。

【考點】由三視圖求幾何體的體積。

【分析】由三視圖可知這是一個下面是個長方體，上面是個平躺著的五棱柱構成的組合體。長方體的體積

為3x4x2=24,五棱柱的體積是創辿xlx4=6,所以幾何體的總體積為30。

2

例13.(2012年安徽省理5分)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是.

4

【答案】92o

【考點】由三視圖判斷幾何體。

【解析】山三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱.

.??幾何體的表面積是S=2x；x(2+5)x4+(2+5+4+j42+(5—2?)x4=9

例14.(2012年安徽省文5分)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是▲

確我國

【答案】56o

【考點】由三視圖判斷幾何體。

【解析】山三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱。

幾何體的的體積是V=』x（2+5）x4x4=56。

2

例15.（2012年浙江省理4分）已知某三棱錐的三視圖（單位：c〃？）如圖所示，則該三棱錐的體積等于

Acm3.

儂W陽

【答案】1。

【考點】由三棱錐的三視圖求體積。

【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側面也是一直角三角形.故體積等于

1|3

—x3xlx2x-=1（cm'）?

23

例16.（2012年湖北省文5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為▲.

【答案】12萬。

【考點】由幾何體的三視圖求體積

【解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個相同的圓柱（底面圓半徑為2,高為1）與中間一個圓柱

（底面圓半徑為1,高為4）組合而成，故該幾何體的體積是V=7x22xlx2+乃xFx4=12萬。

例17.（2012年遼寧省理5分）?個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

-?I~1~~2__Fn--HJ.sk-~2~

【答案】38。

【考點】由幾何體的三視圖求面積。

【解析】由三視圖可知該幾何體為個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分

別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側面積再減去圓

柱的底面積，即為2（3*4+4xl+3xl）+27xlxl-2?=38。

例18.（2012年遼寧省文5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為▲.

l<--MD.2-H>

rl

【答案】12+萬。

【考點】由幾何體的三視圖求體積。

【解析】由三視圖可知該幾何體為-個長方體和一個等高的圓柱的組合體，其中長方體的長、寬、高分別

為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為3x4x1+1x1x1=12+〃。

三、關于線線、線面及面面平行的問題：

典型例題：

例1.（2012年四川省文5分）下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若?個平面內有三個點到另?個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】Co

【考點】立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質。

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所

以A錯；一個平面不在同?條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個

平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。

例2.(2012年浙江省文5分)設/是直線，a,是兩個不同的平面【】

A.若/〃a,l//p,貝I]a〃夕B.若/〃a,I邛,則a,夕

C.若al。,ILa,貝D.若a_L",I//a,貝

【答案】B。

【考點】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質。

【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的，對于其它選項，可利用舉反例法證明其是錯誤命題:

A,若/〃a,l//p,則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；

B,若/〃a,I邛,則在平面a內存在一條直線垂直于平面“，從而兩平面垂直，故B正確;

C,若aJL￡,Zia,貝M可能在平面夕內，排除C；

D,若a邛,l//a,則/可能與夕平行,相交,排除D。

故選B?

例3.(2012年山東省文12分)如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，ZXABD為正三角形，CB=CD,EC1BD.

(I)求證：BE=DE；

(1I)若NBCD=12O°,M為線段AE的中點，求證：DM〃平面BEC.

【答案】解：(I)證明：取BD中點為O,連接OC,0E,

VBC=CD,ACOIBD,

XVEC1BD,COnEC=C,；.BDJ_平面OCE.。

又：0Eu平面OCE.,

?,.BD1OE,即OE是BD的垂直平分線。

BE=DEo

(^)取AB中點N,連接MN,DN,

；M是AE的中點，；.MN〃BE。

「△ABD是等邊三角形，，DNJ_AB,NABD=60。。

VZBCD=120°,BC=CD,AZCBD=30°?

AZABC=60°+30o=90°,即BCJ_AB。

，ND〃BC。

又：MNnND=N,BECIBC=B,.?.平面MND〃平面BEC。

又；DMu平面MND,二DM〃平面BEC。

【考點】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質，等邊三角

形的性質。

【解析】(I)要證BE=DE,只要證點E是BD垂直平分線上的點即可。故取BD中點為O,連接OC,0E,

由已知證明BD10E即可。

(II)要證DM〃平面BEC只要證明DM在一個平行于平面BEC的另一個平面上,故取AB中點N,

連接MN,DN,證明平面MND//平面BEC即可。

例4.(2012年福建省理13分)如圖，在長方體力BC。一4|8|C|。|中，AAt=AD^\,E為CO中點.

(I)求證：BxE±ADli

(H)在棱AA上是否存在一點P,使得。P〃平面SAE?若存在，求AP的長；若不存在，說明理由;

(III)若二面角A-8|E-4的大小為30。，求A8的長.

【答案】解：(I)如圖，以A為原點，通,At),府?的方向分別為x軸,

y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系。

設"=0則40,0,0)，。(0/,0)，。1(。,1,1)，端，1，0)，

二耐=(0,1,1),蹄=(甘，1,-1),屆=伍,0,1),

然=住1,0)。

:仍?誰=一1x0+lxl+(—l)xl=0,：.B\ELADX.

(II)假設在棱441上存在一點2(0,0,zo)，使得〃平面81AE,此時加=(0,-1,z0)o

又設平面8ME的法向量”=(x,y,z).

ax+z=O,

平面BME,.".nLASt，n^Ak,得《公

菱+y=0.

取x=l,得平面SAE的一個法向量"=（1,一a）。

要使。P〃平面BAE,只要“，司＞,即|一azo=O，解得Zo=；。

又。P坪面SME,...存在點P,滿足。尸〃平面S4E,此:時AP=；。

(III)連接A。，ByC,山長方體ABCO-AiBiCQi及44|=AO=1,得力￡)44。。

'：BXC//AXD,：.ADt±BiCo

又由（I）知8|E_L4。],且B|CCI8|E=8],

.?.4￡）」平面。（78|4。

.?.助|是平面A\B}E的一個法向量，此時府51=（0,1,1）。

a

rjt----a

設/百與”所成的角為仇則。0$6=3組工=—,2

川曲聞1+1+/

???二面角A-B.E-A,的大小為30°,

3a

."cos0l=cos30。，即——,2=乎，解得“=2,即AB的長為2。

【考點】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關系，直線與平面平行的判定。

【解析】（I）由題意及所給的圖形，以A為原點，值,Ab,的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向

建立空間直角坐標系。設AB=m給出圖形中各點的坐標，可求出向量??和雎的坐標，驗證其數量積

為0即可證出兩線段垂直。

（II）由題意，可先假設在棱AA|上存在一點尸（0,0,zo），使得OP〃平面B|AE,求出平面80E法

向量，可法向量與直線。P的方向向量內積為0,由此方程解出zo的值，若能解出，則說明存在，若不存

在符合條件的Zo的值，說明不存在這樣的點尸滿足題意。

（III）由題設條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30。建立關于4的

方程，解出。的值即可得出AB的長。

例5.（2012年遼寧省文12分）如圖，直三棱柱ABC—A"。/,ABAC=90°,AB=AC=y/2,A'A=\,

點M,N分別為WB和B'C，的中點。

(I)證明：MN〃平面看ACC/;

(H)求三棱錐A，-MNC的體積。

(椎體體積公式丫=，5/?,其中S為底面面積，力為高)

3

【答案】解(I)證明:連接AL、AC',

?.?NBAC=90°,AB=AC,

二三棱柱為直三棱柱。

.?.M為A8'中點。

又：N為3七’的中點，：.MN//AC.

B錦元數學工作室繪制

又,/MN仁平面A'ACC1：.MN//平面A1ACC1。

(11)連接8犯由題意得平面RHc/n平面B'BCC'=8'C',

A'N工平面NBC。

2

VVV=211=

A'-MNC="N-A'NC=\N-A'BC=|A'-NBC???'''?

錦元數學工作室繪制

B

【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，棱錐體積的計算，轉化思想的應用。

【解析】(D連接AB'、AC,說明三棱柱ABC-A/B/。/為直三棱柱,推出MN〃AC，，然后證明MN〃平

面HACCJ

另解：取A3,的中點P,連接〃尸、NP。

M、N分別為4"、80的中點，

J.MP//AA',NP//A'C'.

：.AfP〃平面ANCC,PN//平面A么CC'?

又,：MPCNP=P,；.平面MPN〃平面4為CC，。

又,/MNU平面MPN,MN〃平面A'ACC'.

(II)連接BN,由V*_MNC=VN-A'NC=g7N-KBC=\匕Sc可求。

例6.(2012年江蘇省14分)如圖，在直三棱柱ABC-48cl中，A,B,=A,C,,D,E分別是棱BC,CC,±

的點(點。不同于點C),且AZ)_LOE,F為用G的中點.

求證:(1)平面AZ)E_L平面5CC內;

(2)直線4尸〃平面4OE.

【答案】證明(1)；ABC-48c是直三棱柱，...CG，平面ABC。

又ADu平面ABC,；.CCt±AD。

又,：AD上DE,GC、DEu平面BCCiBpCC^DE^E,AOJ■平面BCC#。

又ADu平面ADE,；.平面ADE_L平面BCC、B}.

(2)；A￡=AC，尸為4G的中點，*,?A,F1B,C,o

又■平面A4G，且A(u平面AB￡,.?.CC|_LA/。

又,/eg,4Gu平面BCG瓦，CGnHG=G,A,F±平面44G。

由（1）知，AO_L平面BCG4，AAXF//AD.

又VADu平面ADE,\Fi平面ADE，二直線AXF//平面ADE

【考點】直線與平面、平面與平面的位置關系。

【解析】（1）要證平面人力七工平面二。。"，只要證平血4OE上的4O_L平面8CC4即可。它可由已知

ABC-A,4G是直三棱柱和AD1DE證得。

（2）要證直線A/〃平面4OE,只要證A/〃平面AOE上的A。即可。

四、關于線線、線面及面面垂直的問題：

典型例題：

例1.（2012年浙江省理5分）已知矩形ABC。，AB=l,8C=JI.將A45O沿矩形的對角線5。所

在的直線進行翻折，在翻折過程中，【】

A.存在某個位置，使得直線AC與直線8。垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線垂直

C.存在某個位置，使得直線4。與直線垂直

D.對任意位置，三對直線“AC與60”，“45與CO”，“AO與BC”均不垂直

【答案】B。

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系。

【解析】如圖，AELBD,CF1BD,依題意，AB=\,BC=6,AE=CF=—,

3

BE=EF=FD=上.

3

A,若存在某個位置，使得直線AC與直線8。垂直，則???8。LAE,.?.6。_L平面AEC,從

而8OJ_EC,這與已知矛盾，排除A；

B,若存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直，則CD，平面ABC,輛ABCJL平面BCD。

取中點M,賺ME,則ME，5。，,ZAEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角顯然存在,

即當A在底面上的射影位于8c的中點時，直線A8與直線CO垂直，故B正確；

C,若存在某個位置，使得直線AO與直線垂直，則平面4c。，從而平面4。。_1平

面3CO,即A在底面8CO上的射影應位于線段CD上，這是不可能的，排除C；

D,由上所述，可排除D。

故選B（.

例2.（2012年全國課標卷文12分）如圖，三棱柱ABC-A|BQ中，側棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=；

AAi，D是棱AA1的中點

（I）證明：平面BDC」平面BDC

（II）平面BDG分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。

【答案】解：(I)證明：,??由題設，三棱柱ABC-A|B|G中，側棱垂直底面，ZACB=90°,

/.BClCCj,BC1AC,CGnAC=C,；.BC_L平面ACGA|。

又「DCiU平面ACC|A”ADCjlBCo

???山題設，AC=BC,=；AA”D是棱AA1的中點，

.?.NA|DC產NADC=45°,AZCDC=90°,即DC|_LDC。

又；DCnBC=C,BDC?

又：DGu平面BDG，平面BDC」平面BDC。

(H)設棱錐B-DACCi的體積為V1,AC=a,則V1=n?^xaxa=#。

又：三棱柱ABC—ABG的體積V=1xaxax2a=a3,

2

...V|：(V-V1)=l:l。

，平面BDC1分此棱柱為兩部分體積的比為1：lo

【考點】直三棱柱的性質，平面和平面的位置關系，棱柱和棱錐的體積。

【解析】（I）要證明平面BDCi_L平面BDC,只要證一個平面的一條直線垂直于另一個平面即可。由由題

設可證得DC|_LBC,DC」DC,山DCp|BC=C得DC」平面BDC,而DGu平面BDC,,1st平面BDC,±

平面BDC。

（II）求出三棱柱ABC-A|B|G的體積和棱錐B