高等數(shù)學(xué)習(xí)題與試題庫(kù)

徐少賢邵曙光李紅武葛玉麗華柳青徐孝磊等

南陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

一、依據(jù)和目的

(1)“大綱”、“計(jì)劃”要求和教材內(nèi)容；

(2)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際，多層次能力設(shè)計(jì)，滿足后繼課學(xué)習(xí)需要;

(3)教學(xué)實(shí)踐；

(4)提高學(xué)生考研成績(jī)。我們特編寫(xiě)和制作了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)

輔導(dǎo)資料。

二、特點(diǎn)

(1)系統(tǒng)性強(qiáng)，適合學(xué)生建立全面系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；

(2)突出方法描述，適合訓(xùn)導(dǎo)學(xué)生建立分析思維；

(3)注意基本能力培養(yǎng)，適合學(xué)生注重基本知識(shí)、基本方法的

學(xué)習(xí)和掌握；

(4)選題層次要求清晰，適合學(xué)生按自己的專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)和自己學(xué)

習(xí)目標(biāo)選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容和習(xí)題內(nèi)容；

(5)設(shè)問(wèn)和答疑，注重訓(xùn)導(dǎo)學(xué)生對(duì)方法、實(shí)際背景、激發(fā)創(chuàng)造

思維；

(6)習(xí)題解答程度適當(dāng)，訓(xùn)導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，選題按內(nèi)容、

難度分層次、一般題目無(wú)解答過(guò)程，只提供可能的參考解

法；有一定難度的題目，給出主要解答；對(duì)于富于創(chuàng)造性

思維、難度較高的問(wèn)題，給出比較詳盡的解答。從而使我

們的參考教材具有廣泛的適用性、理論上的完備性、應(yīng)用

方面的靈活性，在實(shí)踐中定能認(rèn)真負(fù)責(zé)地幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)

習(xí)興趣，豐富學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)的效果。

第一章映射，極限，連續(xù)

習(xí)題一集合與實(shí)數(shù)集

基本能力層次:

[1.1—Al-3]1：已知：A={0』號(hào),

求:AUB,AHB,A\B,B\A

解:AUB=A;AnB=B;A\B={0}；B\A={①};

n=尸

[1.1-A2-1]2:已知：A={x11<x<2}U{x15<x<6}U{3},B={y12<y<3}

求：在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出AxB

再工二密

!???

解：如圖所示AxB={(x,y)|xeA.y^B).

[1.1-A5】3：設(shè)P為正整數(shù)，且一可被2整除,試證明也可以被2整除?

證明：P為正整數(shù)，=2n或p=2n+l,當(dāng)p=2n+l時(shí)，p2=4n2+4n+l,不能被2整除,

故p=2n。即結(jié)論成立。

基本理論層次：

證明：如果個(gè)數(shù)集的上確界(或下確界)存在，那么它必定唯一.

證明：設(shè)p,q為數(shù)集A的上確界，且pwq。

a—pq-p

設(shè)p<q,取g=?2',VxwA,x<p<q-=q-<v0

這與q為上確界矛盾，從而p=q故：必唯一

1.1-B2-1]5:由非空集合X的所有子集構(gòu)成的集合稱(chēng)為X的每集，記作[

設(shè)X={a,b,c),求2X

[1.1-B3-1]6設(shè)A是任意兩個(gè)更會(huì),稱(chēng)更合必?=(4\8)u(B\A)為A與B的對(duì)稱(chēng)若

求證：(1)A△“二〃△八：(2)A\B=AA(Ac5)

證明：(1)AA8=(A\8)u(8\A)=(B\A)u(A\8)=8AA

(2)AA(Ac6)=(A\AcB)u(AnB\A)=A\B

def

7:設(shè).rR,稱(chēng)P（H，3'）"=!=|x-yI為>?與-v之間的距離.證明：對(duì)任意的R

（1）P（I,3）』MO,14.p（.r,「）=0=*=y;

（2）/t）（x,3'）—p（y,J.）;

行（3）p（j-,.v）^p（jr,s）+p（z,y）.

證明：（1）P（工，3'）=1x-y1=1y-xl》0,有因?yàn)镮x-y1=0=x=y

所以P（工，3'）=0=x=y

（2）P（工，J'）=|x-y1=1y-xl=P（工，3'）

（3）P=lx-yl=lx-z+z-yl4lx-zl+lz-yl=P（彳，z）*p（z，y）-

分析能力層次（略）

習(xí)題二函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)極限

基本能力層次

1.求下列函數(shù)的定義域：

.1n

2sin—,x*0,

(1)y=--V1-x;(2)y=<x

xO,x=0.

2.設(shè)y=/(x)的定義域?yàn)閇1,2],求/(1-lnx)的定義域.

3.設(shè)/p)=x(l+Jl+/)，>>0.求/(%).

X

l,|x|<1,

4.設(shè)/(x)=(0，W=L,g(x)=e)求/[g(x)]和g[/(x)],并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.

—l,|x|>1.

5.求函數(shù)y=l+lg(x+2)的反函數(shù).

6.指出函數(shù)：/(x)=1'一’的奇偶性.

l+x,x>0.

2\-l<x<0,

7.設(shè)/(x)=%OWx<l,，求f(3),/(O),/0.5).

x-1,1<x<3.

8.設(shè)/(x)為定義在(-L,L)內(nèi)的奇函數(shù)，若/(x)在(0,L)內(nèi)單調(diào)增加，證明/(x)在(-L,0)

內(nèi)也單調(diào)增加.

9.指出下列初等函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成？

(1)y-e';(2)y-arccos(-Jln(x2-1)).

10.火車(chē)站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過(guò)50公斤時(shí)，按0.15元/公斤收?。划?dāng)超過(guò)

50公斤時(shí)，超重部分按0.25元/公斤收取.試求行李費(fèi)y與重量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并

畫(huà)出此函數(shù)的圖象.

11.觀察下列數(shù)列卜“}的一般項(xiàng)x“，寫(xiě)出它們的極限：

I—n

⑴x=■----;(2)

nn

(3)x=1+—4—T7+....+^―;(4)x=1+(-1),,+,—.

"2222""n

12.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim-^-=0;(2)lim+^=3.

-n-+]

13.按定義證明：若limx“=a,則=同，反之如何？

“T8M-XJO1111

14.對(duì)于數(shù)列{x?},若》2氏-1fa(kfoo),x2jt->a(k->oo),證明xn->a{n->oo).

15.用函數(shù)極限的定義證明：

i-4r2

(1)lim(3x-l)=3x0-l;⑵lim———=2;

?f0rT」2x+1

2

X

(3)lim----=1.

isx+1

16.證明：如果函數(shù)/(x)當(dāng)xf與時(shí)極限存在，則函數(shù)/(x)在/的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有界.

17.求/(x)=EJ,g(x)=h」當(dāng)xf1時(shí)的左，右極限，并說(shuō)明它們?cè)趚fl時(shí)的極

x-1x-l

限是否存在.

18.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)飛的某去心鄰域內(nèi)有定義。下列說(shuō)法是否正確？為什么？

(1)-￡>0J5>0,當(dāng)0v,一與|《方時(shí)有|/(x)—川<￡,則limf(x)=A.

(2)對(duì)某個(gè)￡>0,存在無(wú)數(shù)多個(gè)S>0,當(dāng)0<|x—/卜凡有\(zhòng)f(x)-A\<￡,則

lim/(x)=A.

基本理論層次

1：設(shè)映射"A-B是可逆的.證明：它的逆映射是唯一的.

證明：設(shè)gig都是/的逆映射，且gt=g2,則力€3,使g](y)xg2(y)

由/°g2(y)=y得g；/g2(y)=gO又由8\f=，得g：/°g2(y)=g2(y)

故4(y)=g2(y)與假設(shè)矛盾。故假設(shè)不成立。所以命題成立

2：卜列函數(shù)是否相等.為什么，

(1)y-亍與.丫一/；(2)、，一上與y=(G/；

(3)y-//與y-|_r;(4)y-x21與“一戶+l.

解：(l)、(2)不等，因定義域不同.(3)、(4)相等

,設(shè)y=f(r)="A證明；z=/(V).

3：c.r-■a-

=—二-'b?ay+h

證明：由“v'ur??&'得cxy-ay=ax+。即x=-------,所以x=/(y)

cy-a

所以命題成立

4：F列函數(shù)中哪些是初等函數(shù)？哪些不是？

(1)y=2~x~(2)y=y[x+lg(sinx)

[0,x>0

(3y=[x](4)y=]>

l,x<0

解：⑴、⑵是.⑶、(4)不是.

5:證明下列恒等式

(1)eh(vf±y)-chdch、±sh工sh丫；

(2)ch2j■二ch2x卜sh%

A.-A.K—A

證明：(1)因?yàn)閏hx=---------,shx------------

22

e+ee+ee—ee—e

所以chxchy+shxshy=——----------—+——----------——

=--------=M(x+y)

同理：ch(x-y)=chxchy-shxshy.所以恒等式成立

(2)同理恒等式也成立

6：已知：設(shè)映射f：XfY,A,BUX.

求證：f(A\

證明：Vye/(A)n雙折有ye/(A)且y史/(8),則xGA但x《B,即尤eA\B,

故yw，(A\8),即：/(A\8)=f(A)\〃8)

n—1

7：用極限定義證明：lim——=1

〃->8n

證明：因?yàn)閂(y有I±1—1I=L<0成立，只要〃>_L取N=[-],則當(dāng)n>N時(shí)，就有

nncoco

n—\1n—1

12」-11=上<。有定義變知lim==l成立

nn"T8n

8:求下列數(shù)列的極限

/、「H]~+2?+.........+〃一

(1)lim—(2)lim-----------------------

“TOO3”“~?00

⑶的1七,之+…"/六T5「

(4)limjl+—(5)lim布(a>0)

〃->8y〃"―>8

解：(I);一(一，又???lim—=0,所以O(shè)Wlim^WO,故：1由2=0

3"3"?3”:3""f8丁

擊中12+2、……+川〃(〃+1)(2〃+1)1..1...,1、

(2)由于--------3----------=----------3--------=一(1+—)(2〃+一)

nn6nn

山i-1ziIe]、l七?I2+22+.......+〃2[

又因?yàn)椋篽m—(l+—)(2及+—)=—，所以：lim--------------------------

“TOO6〃n3“T8〃-3

_L+_L+...+—i—=m+H⑷+…』-.J)

1,22*3n(ri+1)\2I\23/n〃+1

(3)因?yàn)椋?1~?-h-

lim++…+7?]-lim(1—-^77)=1.

所以：L8-1.22*3n(?+1)Jn+i/

(4)因?yàn)椋簂WlimJl+』Wl+』，并且lim(l+1)=l,故由夾逼原理得

/I—>00yflnn-XOn

(5)當(dāng)a=l時(shí)，結(jié)論顯然成立.設(shè)a〉l,令瓦=1+丁”，則X,,>0.I

由二項(xiàng)式公式得:

f1,,rz(n-1)2

a—11+7")-1+<-----2j-----2、…+上。>1+njc?,

從而有1<陷.]

由夾通原理得知lim^a=1

nf0

lim揚(yáng)=lim-1

?"?**'力~門(mén)’I[

同理：當(dāng)0<a<l時(shí)，由于，〉1可得

7a

a

9.設(shè)C”=(1+0)”.證明數(shù)列i收斂.

證明：由二項(xiàng)式定理，

"二[+v?_L+4("_[).J_+…+二1)…(管一/+!).■!

n

n2!”2十十人！兄，

十.…十1-V--(-7-1--—--1-)-…--2-?--1---I-

n

n!n

上式右端共有n-41項(xiàng)且每項(xiàng)都是正的.考察其中的一般項(xiàng):

=("4)(—…。-T)

又因?yàn)椋?-1<加(￡>2)故：

I]1

a”<l+l+五+打+…+行

<1+1+I一±+…十,&=3-

所以:a.l是收斂數(shù)列.

JQ.設(shè)。1>陽(yáng)>0,。"+1=*.—-，〃力+1=1a/獨(dú)，證明數(shù)列!an?Al

{bJ都收斂,并且lima”-lim，.

tf-oo

證明：因?yàn)椋篤?J(-N,bn+t<an+l從而有

a秒4b%+,

---2X-2一—，b"1=(b：=bn、

故：a”2a…A31》隊(duì),V〃GN+,并且:

G-「3+1I-2__爆_-^個(gè)…、F'ai—%八

所以，|6，々〕二「%，&2】之…二：與，以12…，

lim(tz?-1-6n_?)=0,

這說(shuō)明兀3，a”J：是一個(gè)閉區(qū)間套.根據(jù)閉區(qū)間套定理，1a“i與",「都是收斂數(shù)

列，并H.lim"=liman=S(§是閉區(qū)間套i[%,6.H的唯一公共點(diǎn)).I

rt*<???-*??

設(shè)%=1+j+'+…證明I?！故諗?

11：23n

證為了證明1%1收斂，只要證明它滿足Cauchy條件,由于V*/>eN-

111

一""=(〃+1)2+(〃+2)2+…+(〃+.)2

/------1-----—.---1----------|-...”------------1--------——

M(M+1)(n+1)(n+2)(耳+/>)(〃+p-l)

=-1--------1--,<1—

nn+pn

所以，V￡>0,只要取N=住"g>N,及"N+,恒有

故ia3滿足Cauchy條件，所以收斂.I

設(shè)4”=1+￡+Y)…+工，證明ia4發(fā)散.

LN.Z-.i97

證明：因?yàn)槿?Q>0,V.7SN+,三加，〃〉N,使a?,I.

對(duì)于d=g取m=2n,由于

a

Im-a；=7m+''=+■,,+T-

n+1饕+Z2n

^2r~2'

所以ia—不滿足Cauchy條件，故發(fā)散.

13:若把保序件中的條件改為明〈加，是否能得到結(jié)論a<b?

I2八

解.不能如a,-—<b?=--lima,==0.

用午.fttiw-QOw-*8

14:「列結(jié)論是否正確？著正確，請(qǐng)給出證明;若不正確,請(qǐng)舉出反例.

(1)若hma”二八，則lim\a?\-?zA|;

flb?*>n-*<?-

⑵若lima,一IA|,則lima”；A(.4r0);

Un??

(3)若Uma?—0,W1lima=0;

2-2k?3n

(4)若lima?-A，則lima“?一八；

“3np

(5)若limun-Ay則limM望=］；

?-*?*ra-*x

(6)若對(duì)任何實(shí)數(shù)a,limaa,=°4,則］ima~A.

It-*KI7—*n

(1)正確(給出證明)；(2)不正確，如&=(-1)X3)正確；(4)正確；

(5)不正確，如心」二，扇/二0,但癡紅==lim三［=0*I：

n\lelxank”8〃十］

AJ(6)正確,設(shè)a>0,lima,="m(aa?,L)-aA?：=A.

胛：>1?8K'a'a

設(shè)Jimi戶聯(lián)這里4=有限數(shù),+8或一8),試

15：『8

;向,立1+方+…+*

證l】m---------------------=4A

6T97?

當(dāng)工為有限數(shù)時(shí)，隹1+&+:十"”-N

W［￡］一/?+［工2—/］H---?+1%/J

證明:n

因】imZn=4,故Ve>0,三陽(yáng)>0,%>凡時(shí)同―/[V*

JUT3L

從而

上式《I工】一力1+???+|c”一■4In-Ne

---------、■—

n+n2

注意這里出一出+…+1工修一川已為定數(shù),因而私>0,當(dāng)n>

M時(shí)

|/一，|十…十

-\tg—N—-A---\J

2'

于是令N=max{N“M},則4>N時(shí)

+…+//_e,n-Ni￡e,e

~A〈十—<+=

nT-T2'2

16：證明:若力〉0（卜1,2,…）且:吧肝",.?+%=”呼。

一…十。

貝ljiim+*2-1+P”1

Tl—>?>中1+戶2+…+%

提示因｛冊(cè)）有界,mx〉0,使得

也叫+"0”-1+----FpM_弓

Pi+?2+*'*+??

工-+題I%-】一。|十…

“十%+J—?,?j+九

一一一|。收*1一計(jì)十Pn-M+l」”+…+%融）

證明limsin—=0.

17：L+8工

證：設(shè)x>0。按定義：只要對(duì)任紿的￡>0,求得M〉0,使得Yi>M.

恒有產(chǎn)\-。<e就行了.由于

sinl-0=lsin^

1；TJL

因此，只要取M=L.易見(jiàn)，當(dāng)I〉M時(shí).就有

sin——0<e,

故linisin「0.|

￥一?UO2'

2用定義驗(yàn)證lim士怖=4.

8.一2r-2

證任給e>0,為使

%2—4

-4T-2|<E,

.r-2

只要取6=€就行了.因此，當(dāng)0<11-2|<4時(shí).就有分7。.由定義

y2—A

知呵，2="

用定義驗(yàn)證吧門(mén)屋

19:

證任給￡>0,由不等式

2?-2__[h-2|

<e

12-444：x-21

得：

由于/+2,因此可以限制1在陽(yáng)廣2的一個(gè)小鄰域內(nèi)

考察,例如，限定.由此可得r>l,故|工+2|>3.這樣就有

因此，只要二Il-2|<E,即IT-2|<I2e,并且|工-2|<I就行了.取S

rninil,12e|,則當(dāng)0<la?-2|〈?時(shí)，就有

-21

<￡,

才2-44所以結(jié)論成立.

20：求rlimr3-T-

y

-1_(ri1)(.r-1)■Z：I

解：由于廣1（J；-1）（Jf24T*1）,r2+J-+r

根據(jù)有理運(yùn)算法則.

lim

.22+2NT544I8

=1.

lim2

a4oo,r+a+4lim

H-+、1+9+號(hào))

J_12

求lim1T

21:4-2、r?2

j12_+2-r-8

=lim

:虻3-

-2-8L2x8

.r+4_1

=lim

解:/-2上一+2r寸42

求礴心）-'3

(〃eN,).

22:

這個(gè)極限也屬于普型不定式，根據(jù)二項(xiàng)式公式,

解:

w(??—1)o,?

nx+t------+,r

(i卜J*)"-1

—-----------------------------------------------------

T

_SJ(“-1)

_H+------T■+N

(1+?)/]

lim

故：＞~0

證明：limex=1,lima'r-a%.

23:r-(J

證先證1峭e，;L對(duì)于任給的￡>0,為使|鏟-1|=6，-1<€,只要了<

h(1+e).取3=ln(1+E),則當(dāng)0<1<<5時(shí)，就有1e，-1|<e,因此limb=1.

L(J*

再證lime'=1.由于1fo等價(jià)于一①f0',所以

T-*0

limez-lim~r-=1.

x-o".彳…a/

故lime'=limer-lime4=I.

…LOLO'

用類(lèi)似的方法可以證明lim球=】(a〉0).又因?yàn)?/p>

r-0

lima1=limax^ax*n=Q%lima,/,

令"=￡-zo,則當(dāng)時(shí)〃-0,故由復(fù)合運(yùn)算法則得

lim。上=a%l】ma"=a，.|(4.1t)

%一%，LU

24：，上

3,tanTsinJC1sinr1,

解lim--------vhm------,一lim-------*T.-----------=1.

J”0J：*~0J：COSX.r-UxlimcosJC

求limJCarcsin.—(nGN+，).

25:，—上’

解這個(gè)極限屬于58型不定式.令arcsin衛(wèi)二r,則sin￡=衛(wèi)■.由于本題

xr

是求.L8時(shí)的極限,所以可以限制|“<年.當(dāng)工^時(shí),sinLO,故只能有I

-0.于是得

26

證先證】im/1+—)=e.設(shè)n=[?r]?則n4-1,從而有

■r—-VM\JC)

當(dāng)工f\8時(shí)，〃f?8,并且

解令才則/葉，從而當(dāng)L8時(shí)，于是得

求lim(1+1)；.

28:1fo

解令L=￡,則當(dāng)1fo時(shí)，OO.故

工

lim(1+x)r=lim(1+!)=e.

T?OI-a\Zf

29：位函數(shù)在Q./j)內(nèi)連續(xù)，則在：3㈤內(nèi)

(A)/口、)必有界：

(B)/(、『)必存在單值反函數(shù)廣仆)；

(C)/(1)必存在原函如

⑴)必存在一點(diǎn)托QM),使/⑶=0,答(CK2%)

30:判斷題：

］若數(shù)列b”界，則lim『n存在,答(借)

2,若則/n=a存在,則數(shù)列Ei必有界.答(仄確)

3：?皿答(錯(cuò))

lime'sin.r-().答(正確)

4：UO

若加)則⑴則必有也/()飛(川=

yir=8,=001常錯(cuò))

0

分析能力層次

L設(shè)實(shí)數(shù)列｛&J滿足%—四-2-06—8）.證明!吧七4"a（

提示記九=1/—--il,>I%一%T|Naa—%-J|.

%一工=耳理工」夕曰一*，-|］十5”-i—y?-21+???+yM

it一n7n

J/M

~r.

n

2：按極隈定義（一。法）證明他喇焯峋

Z-716a2—9

證因V16P~9^=「7=1

V1622T”

v|_7_____|__16fl+±Hl-x[

y16x2—9?j(4x+3)(4x-3)f

先設(shè)世一1|VL即0VtV2,則

上式右端工史班旦

3*4x-

進(jìn)一步設(shè)I工一"V號(hào)即［一春VzV1十卷，于是

上式右端&32|1一7I.

故中2>。，取8=min，*,，則I1一~1|Vc5時(shí)有

［C/o\

備』一證畢.

為了證明1舊%=4,關(guān)鍵問(wèn)題在于證明E—小能任意小.為

nT8

此,一般來(lái)說(shuō)應(yīng)盡可能將L的表達(dá)式化簡(jiǎn).值得注意的是，有時(shí)

“雖然不能簡(jiǎn)化，反倒是可以把4變復(fù)雜，寫(xiě)成與小相類(lèi)似的形

式.（我們把這種方法稱(chēng)為“擬合法”）如：

求極限lim--J-2d.?.

0.L-J01+w

解在區(qū)間；0,l］匕恒石

根據(jù)定積分的性質(zhì)，有

4

oAY手孫院「

7,

或

端寸J。鼻丘&Ji，

而極限

㈣次/rn9％小廣o,

根據(jù)極限存在的夾擠準(zhǔn)則，彳3

「1>?

lim--2d1=0.

，…Jo1/

1_-皿

.求極限|訕-三.

加f81+匕

解當(dāng)7=0時(shí)，limL，嬴=0；

〃*oo1.卜C

當(dāng)之>0時(shí)，=0,故lim!二^；二1；

八-8“T%+e

當(dāng).r<0時(shí)，lime"=0,故

“AC

綜上所述，得

當(dāng)1<0,

]_，U

Um+…=2當(dāng)1=0,

JZf81?C

當(dāng)T>0.

求極限映

5:

解法一

2

原式二5

s(I-COS)(，4-工,+2)

-J'"

=lim——---------v

-2sirTT(>/4-,r'+2)

解法二

:當(dāng)〃-*0時(shí)，Jl十w

習(xí)題三無(wú)窮小與無(wú)窮大、極限運(yùn)算法則及兩個(gè)重要極限

基本能力層次

x-l,x>1

1.設(shè)/(x)=|J]<]問(wèn)：當(dāng)X-1時(shí)/(X)是無(wú)窮小嗎？是無(wú)窮大嗎？為什么？

.X—1

2.兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮小？舉例說(shuō)明.

3.將y=/(x)表示成一個(gè)常數(shù)與無(wú)窮小之和:

2Y4.11_Y2

y=f(x)=--------，當(dāng)x->8；(2)y=/(x)=-------,當(dāng)x->0?

x1-x

4.證明：函數(shù)y=」sin!在區(qū)間(0,1]上無(wú)界，但當(dāng)xf+0時(shí)，這函數(shù)不是無(wú)窮大.

XX

5.求下列極限：

/、「%2—x+2x2—2

(1)lim——--------;(2)hm-------=\

―2X+4XT&X72

⑶]im把三匚三

1。3x+2x

2

(5)lim(l--------);

Xf1x-l

+」)(

(7)lim(l2-4；(8)lim——

XXXT82x+1

x4-5xx3+2x2

⑼lim^~(10)lim

ex-4x+lXT2

(11)lim(2x3-x+1);(12)lim(l+-+-+--+—);

x->oo…242”

r1+2+3+…-1)

(13)lim---------------------------;(14)lim(y/n+2--Jn-2);

“TOO"2“TOO

(15)limxsin(—);(16)lim(—)arctanx.

XTOx18x

6.若lim---------+辦+〃=0，試求a與

X"X__1

7.計(jì)算下列極限:

sin3x

(1)limxcotx;(2)lim--------;

x->0J。tan5x

小「x-sin2x/….1-cos2x

(3)lim-------------;(4)lim------------

iox+sin5xxxsinx

⑸lim〃sin(二),(x為不等于零的常數(shù));(6)lim—sin—;

H—>00n〃T8nx

⑺2)

XT2x—X—2

8.計(jì)算下列極限：

(1)lim(l-')k,(k為正整數(shù));(2)lim(匕^產(chǎn)；

XT0O

18XX

⑶limf(4)lim(l+3tan2x)cot2x;

14X+1)x->0

⑸lim(l-x)*.

x-^o

9.若lim=e2,試求a的值(a為正整數(shù)).

-Q)

10.利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)Viz,Ja+a+ylci+,....的極限存在(a>0);

(2)hmn\—z-----b------+...+—------=1.

“f8+萬(wàn)n-4.27rn~+n兀)

基本理論層次

1：當(dāng)7fo時(shí)，試比較下列無(wú)窮小的階：

(1)&(.?：)=/+2、產(chǎn),3(1r)=2才\

(2)a(n)=sin.7,:z;

(3)a(,r)-=tanJC.=?x;

(4)a(.r)=1—cos上,。(1)-~vT2.

解：:’1)由于

所以，當(dāng)0時(shí),r3T2,Lj23是等價(jià)無(wú)窮小，即/+2.產(chǎn)~2尤2,也可以說(shuō)

/?2,是當(dāng)H-O時(shí)的二階無(wú)窮小.

(2)由于

..a(.r)..sin上?

linic?\—lim—1>

r“i,3(上)i?oJr

所以，當(dāng)./-*()時(shí)，sin上與廣是等價(jià)無(wú)窮小.即sin工~工.

同理:(3),(4)

：當(dāng)r-*O時(shí)Jan」~上，1-cos父?2文一.

2：

證明：當(dāng)LU時(shí)十/--%

證利用分子有理化的方法得知

lim刀王三口、lim「―------------y=1

一。11>”/(1+工)"1+7(1+x)n~2+??1+1J”

因此，當(dāng)o時(shí)，J'i十才一1——.

n

-P---V12一1

小.im-----------------.

，7t./a

.aresin『rctan?

3:)S

v1+2j'-1-—<2.r4T.~.

解：由：/得:

.TXJtJ"

aresm1-k,arctan丁?丁,

2233貝U：

V1+2k-1

lim=lrim

r?(!x-JC.>1)

arcsin-yarctan-

分析能力層次

習(xí)題四無(wú)窮小的比較、函數(shù)的連續(xù)及性質(zhì)

基本能力層次

1.當(dāng)x-0時(shí)，x與sinx(tanx+x2)相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮??？

2.當(dāng)元——1時(shí)，1+x和(1)1-x2,(2)-(1-x2)是否同階？是否等價(jià)？

2

3.證明：當(dāng)X—>0時(shí)，有secx-1x2.

2

4.求下列極限：

1-cosmx小「sin(x〃)/4P就加、

(1)hm------z-----;(2)hm——-■―j(n,m為正整數(shù));

1。x2…領(lǐng)工)'"

,2.tanx-sinx

(3)lim---------------?

10sin-x

5.證明：tan2(sinx)=0(x),(x—>0).

6.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫(huà)出函數(shù)的圖形:

2A/X,0<x<1

(1)y=f(x)=—;(2)y=/(x)=<4-2x,l<x<2.

x

2x+l,x>2

7.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類(lèi)型:

(1)y=-；-----------;

x2-3x+2sinA:

小1x,-l<x<1,

(3)y=cos—;⑷y=<-?；

x1,X<-1或X>1.

〃+2_-〃

sinbx

8.設(shè)=(a,b是常數(shù))：?jiǎn)朼,b為何值時(shí)，/(x)在x=O連續(xù)?

a.x=0

9.證明：若函數(shù)/(x)在點(diǎn)/連續(xù)且。(%)工0,則存在"的某一鄰域U(x0),當(dāng)

X€i/(xo)時(shí)，f(x)0.

X+]

10.求函數(shù)/(x)=-------的連續(xù)區(qū)間，并求極限lim/(x),lim/(x)及l(fā)im/(x).

X"—2x—31°XT3XT-3

IL求下列極限：

x2-3

(1)lim-------——;(2)limln(2cos2x);

x4+x2+1XT工

6

(4)lim(sinJx+1-sinVx);

Xf+8

lilnl22±4

(5)m；(6)lim-----------

…1+lOOx2tanx

x-a,x<0,

12,設(shè)函數(shù)/(x)=<l+x2,O<x<l,求a、b的值，使函數(shù)在(-8,+oo)內(nèi)連續(xù).

,11

b—,x>1.

x

TT

13.證明方程x—2sinx=0在區(qū)間(一,乃)內(nèi)至少有一個(gè)根.

2

14.證明：設(shè)/(X)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，西,馬是方程/。)=0的兩個(gè)相鄰的根區(qū)〈巧)，

若存在Xoe(x,x2)使/(xo)>O(或/(x0)<0),則對(duì)任一X€(X1,X2)，都有

/(x)>0(或/(x)<0).

15.若f(x)在\a,b］上連續(xù)，a<x1<x2<-<xn<b,則在［%15%?］上必有或使

16.證明:若/(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，且lim/(x)存在，則/(x)必在(-8,+8)內(nèi)有界.

基本理論層次

].證明；羯函數(shù)c(-8,+8),附CN+,

證根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，只要證明/在(-8,?8)內(nèi)處處連續(xù).為此,

任取孫e(-a,+8),根據(jù)極限的乘法運(yùn)算法則,我們有

lim7"=(lini.)”=加.

工一,L7

所以上”在判處連續(xù).由于,r0是(-8,+8)內(nèi)的任意一點(diǎn)，因此，ye

c(-oo,+oo).

2,證明：正弦函數(shù)sin丁GC(-8,+8).

證明：因?yàn)椴?1在(-8,+8)內(nèi)處處連續(xù)就夠了.

任取上。0(-8,+8),由和差化積公式得

'sin(+Ar)-sinx0=2cos(才口+竽)sin竽，

limAy=2limcos(w()+竽)sin￥=0,

故sin.r在上