精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載3.1任意角與弧度制¤復習目標：（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制概念，能進行弧度與角度的互化.¤知識梳理：（1）角的概念的推廣：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；一條射線沒有作任何旋轉形成的角叫做零角.（2）象限角的概念：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.終邊落在x軸和y軸上的角，不屬于任何象限.（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角（包括角），構成集合S＝｛β|β＝α＋k?360°，k∈Z｝或S＝｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝.（4）角度制：以周角的為1度的角，記作1°．用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.（5）弧度制：長度等于圓半徑長的弧所對的圓心角（即圓周的所對的圓心角，或周角的），叫做1弧度的角，它的單位符號是rad．用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．（6）弧度與角度的互化：360°＝2πrad，1°＝rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.（7）扇形弧長公式：l＝＝||r（其中n表示角度數；表示弧度數）.扇形面積公式：.（其中l表示扇形的弧長，r表示圓的半徑，n表示角度數，表示弧度數）¤例題精講：【例1】（1）已知α為正角，β為負角，且α，β的終邊互為反向延長線，則α－β為（）.A.90°B.－180°C.k?360°D.k?360°＋180°（2）角α的終邊經過P（－5，0），則角α是（）.A.第二象限角B.第三象限角C.終邊落在x軸非正半軸上的角D.既是第二象限角又是第三象限角D.既是第二象限角又是第三象限角（3）（05年全國Ⅲ）已知為第三象限的角，則所在的象限是.（4）1200°用弧度制表示為，寫成2kπ＋的形式為（其中0≤＜2π，k∈Z）（5）－用角度制表示為，寫成k·360＋形式為.（其中0°≤α＜360°，k∈Z）【例2】角的終邊與圓(x－2)2+y2＝1有公共點，求角的集合.分析：作出角的終邊與圓(x－2)2+y2＝1相切的圖形（如圖），由圖可知，與圓(x－2)2+y2＝1有公共點的角的終邊，其終邊OB所對應的角最小，終邊OA所對應的角最大.點評：以形促數，數形結合.【例3】已知一扇形的圓心角是θ，所在圓的半徑是R．（1）若θ＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長為定值C（C＞0），當θ為多少弧度時，此扇形的面積最大？并求最大面積．分析：（1）依題意首先化角度為弧度，再運用公式求得弧長，然后運用扇形面積公式及S弓＝S扇－S△求得弓形面積.（2）或利用二次函數，或利用判別式法，或利用均值不等式求出面積的最大值．點評：無論是（1）中求弓形的面積，還是（2）中求最大值，都須首先運用相應公式求出扇形面積，而這些又只有在弧度制下才能進行.規律總結：（1）把握用旋轉來定義角，就可以將正角、負角和零角，終邊相同的角等聯系在一起.（2）注意象限角、區間角、軸線角、終邊相同的角之間的關系，以便準確計算角的取值范圍.（3）計算扇形的弧長與周長，扇形的面積與弓形的面積，首先要考慮圓心角、半徑與弧度制.3.2任意角三角函數與誘導公式¤復習目標：（1）理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切、余切）的定義.（2）能利用單位圓中的三角函數線推導出±，π±的正弦、余弦、正切的誘導公式.¤知識梳理：在直角坐標系中，以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓（unitcircle）.設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么y叫作α的正弦（sine），記作sinα；x叫作α的余弦（cosine）,記作cosα；叫作α的正切（tangent）,記作tanα.設角的終邊與單位圓交于點P，當角的終邊不在坐標軸上時，過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1,0)作單位圓的切線，設它與終邊或其反向延長線相交于點T.則把三條與單位圓有關的有向線段MP、OM、AT，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統稱為三角函數線.（3）在角終邊上任意一點的坐標P(x,y)，先計算得到r=|OP|=，則sin=,cos=,tan=.（4）誘導公式列表歸納如下：誘導公式——口訣：奇變偶不變，符號看象限。正弦余弦正切余切以上誘導公式可統一為“(k∈Z)”的形式，記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限”.這里的奇偶是指誘導公式中與加減運算的部分是的2奇數倍還是偶數倍，公式一～五的形式為“偶”，函數名不變，公式六～七的形式為“奇”，函數名改變.“符號”是把任意角看成銳角時，(k∈Z)所在象限的三角函數值的符號.¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎練習：（1）若三角形的兩內角A、B滿足sinA·cosB＜0，則此三角形的形狀為（B）.A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定（2）已知sin()=，則的值是（D）.A.B.-2C.D.±（3）設角是第一象限角，且=﹣sin，則是（C）.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角（4）求滿足sin≥的。解析利用三角函數線來確定滿足不等式的角的取值范圍。解：如右圖所示，做直線y=與單位圓交于A、B兩點，則∠xOA=，∠xOB=，在弧AB上任取一點P，過P作PM⊥x軸于M，設三角不等式∠xOP=，則sin=PM。由于PM＞，∴在[0,2﹚內滿足sin≥的為≤≤，由誘導公式一也可滿足sin≥的為≤≤（k∈Z）。（5）函數的值域為。解：定義域：，當x是第Ⅰ象限角時，y=1+1+1=3；當x是第Ⅱ象限角時，y=1-1-1=﹣1；當x是第Ⅲ象限角時,y=-1-1+1=﹣1；當x是第Ⅳ象限角時,y=-1+1-1=﹣1.∴函數的值域為{-1,3}.已知角的終邊經過點P(2,-3)，則sin=,cos=,tan=。解：依題可知：r==，于是sin===，cos===；tana==.【例2】已知角的終邊過點(a,2a)，(a0)，求sin，cos，tan的值.【例3】求函數f(x)=log(sinx-cosx)定義域.點評：求解sinx-cosx>0，關鍵在于尋找正弦線比余弦線大的角.由單位圓中的三角函數線可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為界限，可劃分sinx-cosx的符號；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為界限，可劃分的符號sinx+cosx(如上圖).規律總結：（1）利用誘導公式，可以將任意角的三角函數值轉化為求銳角三角函數的值，這是學習誘導公式的主要目的.而誘導公式的記憶是重中之重，常常出現公式記憶不夠準確，需聯系口訣記憶.（2）正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切值的幾何表示，通過三角函數線，給出了三角函數值的幾何定義，它是研究三角函數圖象和性質的工具，可以溝通三角函數與幾何知識的聯系，為以后運用數形結合的思想解決實際問題提供了重要的手段，如利用三角函數線解三角不等式、比較三角函數值的大小等.3.3同角三角函數的基本關系¤復習目標：（1）理解同角三角函數的基本關系：同角三角函數的關系平方關系：商數關系：倒數關系：（2）能利用其解決較簡單的求值、化簡、等式證明等有關問題.¤知識梳理：（1）基本關系式的等價變形：sin2x＝1－cos2x；cos2x＝1－sin2x；sinx＝±；cosx＝±；(sinx±cosx)2＝1±2sinxcosx；sinx＝cosx·tanx；1＋tan2x＝csc2x.（2）靈活運用相關公式、方法與技巧①多項式的乘方公式，如“sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)”；②常量代換，如“1＝sin2＋cos2”；③整體代換，如“設sinx＋cosx＝t”：④“切割化弦”或“弦化切”⑤配方法等．（3）化簡要求：①三角函數名稱盡可能少；②項數盡可能少；③各項次數盡可能地低；④根號下盡可能不含三角函數式；⑤特殊角的三角函數寫出其具體值.證明可選用綜合法、分析法或比較法等.¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎練習：1.已知cos=，為第二象限角，那么tan的值等于（B）.A.B.C.D.4.已知是三角形的內角，sin+cos=，則sin-cos的值為（C）.A.B.C.D.（3）化簡：sin4+sin2cos2+cos2＝1.（4）已知sin=，且tan<0，則cos=．（5）已知=3，則tan=2.【例2】已知是第三象限角，化簡.分析：先利用同角三角函數關系中的和一般的配出平方式來去根號化簡，然后去根號，寫出含絕對值式，再根據角的象限討論符號，以去掉絕對值符號，經運算便可得結果.解：原式=∵是第三象限角，∴cos＜0.所以原式=點評：解決此類問題的關鍵是去根號.在化簡中，盡可能保證分母相同，以減少后面的運算量.【例3】已知sin=2cos，求及sin2+2sincos的值.分析：關于sinα，cosα的齊次式的求值，如是整式形式，主要是采用“化一”的方法，代入化簡；如是分式形式，多用“弦化切”的方法，從條件式化出一正切值，然后代入欲求值式求值.解：∵sin=2cos，tan=2，=sin2+2sincos=點評：對于sin，cos的齊次式的求值，要注意針對性技巧.【例4】已知tan(+)=m.（1）用m表示sin,cos的值；（2）求sincos.點評：在解題中，需要提煉的基本方法有：弦化切、切化弦、平方法、“1”的妙用等.【例5】若sin，cos是關于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩根，求m的值.點評：兩個關于m的方程的解，正是它們所對應的m的條件集合的交集.規律總結：（1）同角三角函數關系式的運用中，要小心開方取值的符號判斷；在用兩個基本關系式，適當擴充一些基本關系式的等價變形，以利解題；運用同角三角函數關系式，要結合單位圓的三角函數線，也可以借用一些有效的傳統方法，形成簡捷的解題思路.（2）同角三角函數關系式，可進行不同名函數之間的變換，誘導公式則主要進行不同角之間的變換，注意兩相配合的作用不要只盯住用同角三角函數.關系式作變換，要善于綜合多種公式解題.練習：已知方程的兩根分別是sin，cos，求的值.解：因為方程的兩根分別是sin，cos，所以sin+cos=.原式=點評：解答此題的關鍵有兩點：①化切為弦；②韋達定理的靈活應用.3.4正弦函數、余弦函數的圖象與性質¤復習目標：（1）能畫出y=sinx,y=cosx，y=tanx的圖像，了解三角函數的周期性.（2）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的性質（如單調性、最大和最小值與x軸交點等）.¤知識梳理：三角函數的圖象和性質函數圖象定義域RR值域最值時時時時R無最大值無最小值周期性周期為周期為周期為奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上都是增函數；在上都是減函數（）在上都是增函數，在上都是減函數（）在內都是增函數（）對稱性¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎練習：（1）函數y＝|cos(x－)|的最小正周期是（）.A.2πB.πC.D.（2）函數y＝的定義域是（）.A.［0，1］B.RC.［kπ+，kπ+］（k∈Z）D.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）（3）函數y＝3cos(+)的奇偶性是.（4）已知函數y=asinx+b的最大值為1，最小值為-7，則a＝；b＝.（5）設f(x)＝sinπx，x∈R，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2007)的值等于。（6）函數y＝tanx+sinx的定義域是.（7）函數y=tan(x+)，x∈R且(k∈Z)的單調區間是．（8）若函數y＝tankx是以為最小正周期的周期函數，則k＝.【例2】（1）比較大小：①cos51°與sin760°；②sin2，sin3與sin4；（2）若f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數x均有f(1－x)＝f(1＋x)，比較f(cos1)與f(cos)的大小.③tan20°與tan201°；④tan(－)與tan(－)；點評：（1）比較三角函數的大小，不僅要運用函數的單調性，也要充分運用如誘導公式等的等價變換，把兩個式子放在同一個單調區間內進行比較，還要注意角度與弧度的轉換．【例3】求y＝2cos(x－)(≤x≤)的值域.【例4】（1）求函數y=logcos(+)的單調遞增區間.（2）求函數y=tan(2x+)的定義域與周期.分析：先考慮函數的定義域，再求函數的單調區間.點評：討論三角函數的性質時，不要一見函數名稱就盲目定性，要通過公式化簡成能直接判斷性質的函數后再論；或通過復合函數的分析后再論其性質.【例5】（1）求函數y=sin2x-3sinx+的最小值.（2）當方程4sinx+4sinx-k+k-2=0有解時，求實數k的取值范圍.分析：關于sinx的二次函數，要運用二次函數的方法．規律總結：（1）運用正弦函數、余弦函數的圖象可以討論其性質，但更重要的是掌握從性質抽象概括或拓展而成的一些公式化的法則來討論性質，這樣就有利于很多需要用函數的性質求解的問題．（2）三角函數圖象與性質主要有兩個方面的應用：一是利用單調性比較函數值的大??；二是利用圖象求解三角不等式.【例6】作出函數（1）y＝tan(－x)，（2）y＝｜tanx｜，（3）y＝tan｜x｜的圖象，并根據它們的圖象分別討論其有關性質：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性和對稱性.分析：在y＝tanx的圖象的基礎上，運用對稱的關系描點成圖.解：y＝tan(－x)，y＝｜tanx｜，y＝tan｜x｜的圖象如下圖.點評：畫出三個圖象，便能區別三個函數的性質的異同.所以解決函數的問題，必須把握函數的圖象.3.5函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象¤復習目標：（1）了解函數y=Asin(wx+)的物理意義.（2）能畫出y=Asin(wx+)的圖像，了解參數A,w,對函數圖像變化的影響.¤知識梳理：（1）函數y=Asin(wx+),x∈[0,+∞),（其中A>0,w>0)的物理意義：函數表示一個振動量時，A：表示振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”；T：T=往復振動一次所需的時間，稱為“周期”；f：f=單位時間內往返振動的次數，稱為“頻率”；wx+：稱為相位；：x＝0時的相位，稱為“初相”.（2）由五點法作函數y=Asin(wx+)(A>0,w>0)在一個周期內的圖象時，把wx+看成一個整體，依次取wx+=0,,,,2時的變量x的五個值，得到函數的五個關鍵點，從而勾畫出一個周期內的簡圖.（3）函數的圖象變換函數的圖象可以通過下列兩種方式得到：（1），先平移后伸縮：（2），先伸縮后平移¤例題精講：【例1】（1）要得到y=3sin(2x+)的圖象只需將y=3sin2x的圖象（）.A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位（2）（05年福建）函數y＝sin(ωx＋φ)（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分圖象如圖，則（）.（3）若f(x)＝2sinωx（0＜ω＜1），在區間[0,]上最大值為，則ω＝．（4）函數y＝2sin(3x－)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離是．（5）函數y＝2sin(2x＋)的圖象關于成軸對稱圖形；關于