湖北省黃岡八模2024屆數學高二第二學期期末聯考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）2．焦點為且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是A． B． C． D．3．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-24．展開式中第5項的二項式系數為（）A．56 B．70 C．1120 D．-11205．直線（為參數）上與點的距離等于的點的坐標是A． B．C．或 D．或6．甲、乙同時參加某次法語考試，甲、乙考試達到優秀的概率分別為0.6，0.7，兩人考試相互獨立，則甲、乙兩人都未達到優秀的概率為（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.287．七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．8．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．9．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A．0 B．1C．2 D．10．設隨機變量，若，則等于（）A． B． C． D．11．若隨機變量服從正態分布，則（）參考數據：若，則,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.682612．下列表格可以作為ξ的分布列的是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數且必過定點___．14．若方程有實數解，則的取值范圍是____.15．已知函數，若正實數滿足，則的最小值是__________．16．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線與曲線交于兩點.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)已知點的極坐標為，的值.18．（12分）已知（1）求；（2）若，求實數的值.19．（12分）進入春天，大氣流動性變好，空氣質量隨之提高，自然風光越來越美，自駕游鄉村游也就越來越熱．某旅游景區試圖探究車流量與景區接待能力的相關性，確保服務質量和游客安全，以便于確定是否對進入景區車輛實施限行．為此，該景區采集到過去一周內某時段車流量與接待能力指數的數據如表：時間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數y78767779807375（I）根據表中周一到周五的數據，求y關于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2，則認為該線性回歸方程是可靠的．請根據周六和周日數據，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數據：線性回歸方程，其中；20．（12分）已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，點與點分別為橢圓的上頂點與左焦點，且的面積為（點為坐標原點）.（1）求的方程；（2）直線過且與橢圓交于兩點，點關于的對稱點為，求面積的最大值.21．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是（為參數，）(1)求曲線和直線的普通方程；

(2)設直線和曲線交于兩點，求的值.22．（10分）已知函數.（1）證明：函數在內存在唯一零點；（2）已知，若函數有兩個相異零點，且（為與無關的常數），證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先由題意可得，再由對數式的運算性質變形，然后求解對數不等式得答案.【題目詳解】由題意可得，第一個式子解得或；第二個式子化簡為，令，則，解得或，則或，則或.即或.綜上，實數的取值范圍為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查以函數定義域為背景的恒成立問題，二次型函數的恒成立問題一般借助判別式進行處理，本題同時兼顧考查了對數的運算性質，綜合性較強，側重考查數學運算的核心素養.2、A【解題分析】

根據題目要求解的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點在y軸上可知，設雙曲線的方程為，將方程化成標準形式，根據雙曲線的性質，求解出的值，即可求出答案．【題目詳解】由題意知，設雙曲線的方程為，化簡得．解得．所以雙曲線的方程為，故答案選A．【題目點撥】本題主要考查了共漸近線的雙曲線方程求解問題,共漸近線的雙曲線系方程與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程可設為，若，則雙曲線的焦點在x軸上，若，則雙曲線的焦點在y軸上．3、B【解題分析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【題目詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.4、B【解題分析】分析：直接利用二項展開式的通項公式求解即可.詳解：展開式的通項公式為則展開式中第5項的二項式系數為點睛：本題考查二項展開式的通項公式，屬基礎題.5、D【解題分析】

直接利用兩點間的距離公式求出t的值，再求出點的坐標.【題目詳解】由，得，則，則所求點的坐標為或.故選D【題目點撥】本題主要考查直線的參數方程和兩點間的距離公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、B【解題分析】

由兩人考試相互獨立和達到優秀的概率可得。【題目詳解】所求概率為.故選B.【題目點撥】本題考查相互獨立事件概率計算公式，屬于基礎題。7、C【解題分析】分析：由七巧板的構造，設小正方形的邊長為1，計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和．詳解：設小正方形的邊長為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長為2，所以，故選C．點睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構造，設小正方形的邊長為1，通過分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進而計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型．8、C【解題分析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.【題目點撥】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.9、D【解題分析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點：向量的投影.10、C【解題分析】由于,則由正態分布圖形可知圖形關于對稱，故，則，故選C.11、A【解題分析】

根據題意可知，，所以，由公式即可求出．【題目詳解】根據題意可知，，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，意在考查數形結合思想，化歸與轉化思想的應用．12、C【解題分析】

根據分布列的性質以及各概率之和等于1，能求出正確結果．【題目詳解】根據分布列的性質以及各概率之和等于1，在中，各概率之和為，故錯誤；在中，，故錯誤；在中，滿足分布列的性質以及各概率之和等于1，故正確；在中，，故錯誤．故選：．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列的判斷，考查分布列的性質以及各概率之和等于1等基礎知識，考查運用求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

令x﹣2＝0求得f（2）＝a0+2＝3，可得定點的坐標．【題目詳解】令x﹣2＝0，即x＝2，可得f（2）＝a0+2＝3，可得函數的圖象經過點（2，3），故答案為：（2，3）．【題目點撥】本題主要考查指數函數的圖象和特殊點，屬于基礎題．14、【解題分析】

關于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，結合正弦函數的值域可得c的范圍．【題目詳解】解：關于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x為實數，則2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2【題目點撥】本題主要考查兩角差的正弦公式、正弦函數的值域，屬于中檔題．15、【解題分析】因為，所以函數為單調遞增奇函數，因此由，得因此，當且僅當時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.16、【解題分析】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長為2，底面正方形的對角線長度為，所以正四棱柱體對角線的長度為，四棱柱體對角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點：正四棱柱外接球表面積．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，.(2).【解題分析】分析：(1)先根據加減消元法得直線的普通方程，再根據將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先求P直角坐標，再設直線的參數方程標準式，代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義以及利用韋達定理得結果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數方程為(為參數),代入曲線的直角坐標方程得，即,.解法二:，，，．點睛：直線的參數方程的標準形式的應用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程是.(t是參數，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應參數分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點M所對應的參數為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0.18、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）化簡復數為代數形式后，再結合復數模的公式，即可求解；（2）化簡復數z為1+i，由條件可得a+b+（a+2）i=1﹣i，解方程求得a，b的值．詳解：（1）化簡得（2）解得點睛：本題考查了復數的運算法則、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.19、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見解析【解題分析】

（I）根據表格中的數據，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進行驗證，即可得到結論.【題目詳解】（I）由表中的數據，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當時，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當時，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應用，其中解答中認真審題，利用公式準確求解回歸直線方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，，即可求出答案；（2）設直線的方程為聯立直線方程與橢圓方程，由韋達定理表述出，，又，化簡整理即可.詳解：（1）∵的面積為，∴，即.又∵橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，∴，即.∴，∴∴，∴的方程為.（2）由題意可知，點為的中點，則.設直線的方程為，聯立，可得，∴，∴∴設，則∵函數在上單調遞減，∴當時，取得最大值.點睛：有關圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法(1)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．(2)面積問題常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很