2024屆河北省藁城市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè),則（）A．a(chǎn)<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a2．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c4．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,0,－1)，平行于向量，平面過(guò)直線(xiàn)l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)5．在黃陵中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，將高二兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小組的頻數(shù)是1．這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是（）A．80 B．90C．100 D．1206．函數(shù)在處的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A． B． C． D．7．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．8．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插入另外位同學(xué)，但是不能改變?cè)瓉?lái)的位同學(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．10．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設(shè)第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)的事件為A，第2次抽出的彩票有獎(jiǎng)的事件為B，則()A． B． C． D．11．在的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．12．z是z的共軛復(fù)數(shù)，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定積分__________．14．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是___________．15．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠是鈍角，則滿(mǎn)足條件的一個(gè)e的值為_(kāi)___________16．駐馬店市某校高三年級(jí)學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試的成績(jī)(單位:分)服從正態(tài)分布,記為事件為事件,則__________.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)示)附：；；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，.19．（12分）證明下列不等式.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.20．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.橢圓的左頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn).若直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的斜率.21．（12分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，，，時(shí)，求，，；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先對(duì)a,b,c,進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行比較即可.詳解：，又故，故選D.點(diǎn)睛：考查對(duì)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)運(yùn)算，定積分計(jì)算，比較大小則通常進(jìn)行估算值的大小，屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：對(duì)恒成立，故，即恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造，開(kāi)口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值，故只需保證，解得．故選C．【考點(diǎn)】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問(wèn)題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.3、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)：平面的法向量5、C【解題分析】

根據(jù)條件可求第二組的頻率，根據(jù)第二組的頻數(shù)即可計(jì)算兩個(gè)班的學(xué)生人數(shù).【題目詳解】第二小組的頻率是：，則兩個(gè)班人數(shù)為：人.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖中，頻率、頻數(shù)與總數(shù)的關(guān)系，難度較易.6、D【解題分析】

計(jì)算函數(shù)在處的切線(xiàn)斜率，根據(jù)斜率計(jì)算離心率.【題目詳解】切線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)平行故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了切線(xiàn)方程，漸近線(xiàn)，離心率，屬于常考題型.7、B【解題分析】試題分析：設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)．即有正根，當(dāng)有成立時(shí)，顯然有，此時(shí)．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．8、D【解題分析】

利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過(guò)因式分解變形化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)椋裕裕裕裕裕曰颍曰颍匀切问堑妊切位蛑苯侨切?故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】問(wèn)題等價(jià)于將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．10、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)，剩下4張彩票，其中1張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎(jiǎng)，剩下4張彩票，其中1張有獎(jiǎng)，3張無(wú)獎(jiǎng)，所以．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．11、B【解題分析】

根據(jù)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，由此求出它的系數(shù)．【題目詳解】的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是其系數(shù)為-1．

故選B.．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】試題分析：設(shè)z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,經(jīng)常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)知識(shí),綜合起來(lái)加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對(duì)加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類(lèi)似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類(lèi)似合并同類(lèi)項(xiàng);復(fù)數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類(lèi)似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類(lèi)似分母有理化;用類(lèi)比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的運(yùn)算問(wèn)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義求出，再由微積分基本定理求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楸硎緢A面積的，所以；又，所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求定積分的問(wèn)題，熟記定積分的幾何意義，以及微積分基本定理即可，屬于常考題型.14、【解題分析】

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)即可，求出圓心到原點(diǎn)的距離，最短距離要減去半徑即可得解.【題目詳解】解：復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小的點(diǎn)即可，連接圓心與原點(diǎn)，長(zhǎng)度是，最短距離要減去半徑故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是看出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓上到原點(diǎn)的最短距離得到要求的距離，屬于基礎(chǔ)題．15、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，因此滿(mǎn)足題意時(shí)，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．16、【解題分析】分析：利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.詳解：由題意，，.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查正態(tài)分布，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用分析法逐步平方得出成立，可證明出原不等式成立；（2）先驗(yàn)證時(shí)等式成立，然后假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，可得出，然后再等式兩邊同時(shí)加上，并在所得等式右邊提公因式，化簡(jiǎn)后可得出所證等式在時(shí)成立，由歸納原理得知所證不等式成立.【題目詳解】（1）要證明成立，只需證明成立，即證明成立，只需證明成立，即證明成立，因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立，即；（2）①當(dāng)時(shí)，，等式左邊，右邊，等式成立；②設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即成立，綜上所述，．【題目點(diǎn)撥】本題考查分析法與數(shù)學(xué)歸納法證明不等式以及等式問(wèn)題，證明時(shí)要熟悉這兩種方法證明的基本步驟與原理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）依題意，的定義域?yàn)椋诸?lèi)討論可求的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，只需證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，因?yàn)椋灾恍枳C明，只需證明.設(shè)，則，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)與整合思想等．19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解題分析】分析：（1）利用分析法進(jìn)行證明；（2）利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個(gè)不等式顯然成立，所以；（2）因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.點(diǎn)睛：利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，常考慮用分析法．(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可逆的，它的常用書(shū)面表達(dá)形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書(shū)寫(xiě)．20、（1）（2）【解題分析】

(1)由題意中橢圓離心率和點(diǎn)在橢圓上得到方程組即可求出橢圓方程(2)由題意設(shè)直線(xiàn)斜率，分別求出、的表達(dá)式，令其相等計(jì)算出直線(xiàn)斜率【題目詳解】解：（1）由題意知：解得：，所以，所求橢圓方程為.（2）由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程組，消去整理得：，令，由，得，將代入中，得到，所以，，由，得：，解得：，∴.所以直線(xiàn)的斜率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求橢圓方程及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，在解答過(guò)程中運(yùn)用設(shè)而不求的方法，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式計(jì)算出長(zhǎng)度，從而計(jì)算出結(jié)果，需要掌握解題方法21、（1），，（2）猜想，見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算模，對(duì)，可先求出，再計(jì)算模；（2）由（1）猜測(cè)，用復(fù)數(shù)的一般形式進(jìn)行證明即可．【題目詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因?yàn)椋砸驗(yàn)椋裕圆孪氤闪?【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算和合情推理，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)