安徽省淮北市相山區(qū)師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離是，則的值是（）A． B． C． D．2．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）A．y平均增加2.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位C．y平均減少2.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位3．已知過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．34．已知中，,則滿足此條件的三角形的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè)5．（）A．2 B．1 C．0 D．6．如圖，已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A． B．C． D．7．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．8．從不同品牌的4臺(tái)“快譯通”和不同品牌的5臺(tái)錄音機(jī)中任意抽取3臺(tái),其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái),則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種9．某校為了解本校高三學(xué)生學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人參加某種測(cè)試，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為，抽到的人中，編號(hào)落在區(qū)間的人做試卷，編號(hào)落在的人做試卷，其余的人做試卷，則做試卷的人數(shù)為()A． B． C． D．10．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．2511．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示．則函數(shù)在內(nèi)有幾個(gè)極小值點(diǎn)（）A．1 B．2 C．3 D．412．甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某保險(xiǎn)公司新開(kāi)設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù).規(guī)定該份保單任一年內(nèi)如果事件發(fā)生，則該公司要賠償元，假若在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金最少為_(kāi)___________元.14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則______.15．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點(diǎn),設(shè)1)證明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．18．（12分）某種農(nóng)作物可以生長(zhǎng)在灘涂和鹽堿地，它的灌溉是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉.某實(shí)驗(yàn)基地為了研究海水濃度對(duì)畝產(chǎn)量(噸)的影響,通過(guò)在試驗(yàn)田的種植實(shí)驗(yàn),測(cè)得了該農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表：海水濃度畝產(chǎn)量（噸）殘差繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),可以用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量(噸)與海水濃度之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得與之間的線性回歸方程為.（1）求的值；（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越大，回歸效果越好，如假設(shè)，就說(shuō)明預(yù)報(bào)變量的差異有是解釋變量引起的.請(qǐng)計(jì)算相關(guān)指數(shù)(精確到),并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的？（附：殘差，相關(guān)指數(shù)，其中）19．（12分）已知函數(shù)，；.（1）求的最大值；（2）若對(duì)，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.20．（12分）已知的角、、所對(duì)的邊分別是、、，設(shè)向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長(zhǎng)，角，求的面積.21．（12分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點(diǎn),（１）求證:MN//平面PAD（２）求點(diǎn)B到平面AMN的距離22．（10分）如圖，多面體中，兩兩垂直，且，，，.(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上，且，求證:平面；(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值；(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，還結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解.2、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，對(duì)于回歸方程為，當(dāng)增加一個(gè)單位時(shí)，則的平均變化為，故可知平均減少個(gè)單位，故選C.考點(diǎn)：線性回歸方程的應(yīng)用.3、C【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，則，由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程．【題目詳解】若直線與曲線切于點(diǎn)，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】由正弦定理得即即，所以符合條件的A有兩個(gè)，故三角形有2個(gè)故選C點(diǎn)睛：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)根據(jù)三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的角.5、C【解題分析】

用微積分基本定理計(jì)算．【題目詳解】．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查微積分基本定理求定積分．解題時(shí)可求出原函數(shù)，再計(jì)算．6、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性，單調(diào)性，利用排除法求解.【題目詳解】由圖象知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，；當(dāng)時(shí)，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的圖象及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.7、A【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出的值.【題目詳解】解：若角的終邊上有一點(diǎn)，則

，

∴.

故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，有兩種方法，一是2臺(tái)和1臺(tái)；二是1臺(tái)和2臺(tái)，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，快譯通2臺(tái)和錄音機(jī)1臺(tái)，取法有種；快譯通1臺(tái)和錄音機(jī)2臺(tái)，取法有種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類(lèi)和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個(gè)中檔題目.9、B【解題分析】，由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷，由，即，解得，再由為正整數(shù)可得，做問(wèn)卷的人數(shù)為，故選B.10、C【解題分析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算得出答案【題目詳解】因?yàn)橹荒芟驏|或向北兩個(gè)方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，看出完成一件事共有兩個(gè)環(huán)節(jié)，每一步各有幾種方法，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

直接利用極小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，再結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)闃O小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負(fù)后正的點(diǎn)只有一個(gè)，故函數(shù)在內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了極小值點(diǎn)的概念，需熟記極小值點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，計(jì)算出事件的概率和事件的概率，然后由條件概率公式可得所求事件的概率為.【題目詳解】記事件甲獲得冠軍，事件比賽進(jìn)行三局，事件甲獲得冠軍，且比賽進(jìn)行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局，由獨(dú)立事件的概率乘法公式得，對(duì)于事件，甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件，，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用條件概率公式計(jì)算事件的概率，解題時(shí)要理解所求事件的之間的關(guān)系，確定兩事件之間的相對(duì)關(guān)系，并利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，由題意可計(jì)算出的期望．【題目詳解】設(shè)顧客繳納的保險(xiǎn)金為元，用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用離散型隨機(jī)變量的期望解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎(chǔ)題．14、4【解題分析】

由已知條件可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再由可求出首項(xiàng)，再令即可求出的值.【題目詳解】，且，，即，則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為，，，在中令得：故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)，以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.15、【解題分析】

在上是減函數(shù)的等價(jià)條件是在恒成立，然后分離參數(shù)求最值即可.【題目詳解】在上是減函數(shù)，在恒成立，即，在的最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，把在上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立是解決本題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

先計(jì)算復(fù)數(shù)的模，再計(jì)算復(fù)數(shù)，最后得到共軛復(fù)數(shù).【題目詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解題分析】分析：（1）以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PE⊥BC；（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直線PA與平面PEH所成角的正弦值．詳解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)證明：設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因?yàn)椤ぃ剑?＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用殘差定義求m,n.(2)直接利用相關(guān)指數(shù)公式求相關(guān)指數(shù)，并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的.詳解：（1）因?yàn)?,所以，即,所以線性回歸方程為,所以,.（2）,所以相關(guān)指數(shù),故畝產(chǎn)量的變化有是由海水濃度引起的.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查回歸方程的性質(zhì)和殘差，考查相關(guān)指數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能力.(2)稱為樣本點(diǎn)的中心，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心.19、【解題分析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以的最大值為；（2）若對(duì)，總存在使得成立，則轉(zhuǎn)化為，由（1）知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，對(duì)求導(dǎo)，，分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，只需滿足，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，只需滿足，，解得，當(dāng)，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，可以求出的取值范圍。（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴，等號(hào)右端為等比數(shù)列求和。試題解析：（1）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴，∴的最大值為.（2），使得成立，等價(jià)于由（1）知，，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒為正，滿足題意.當(dāng)時(shí)，，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，，∴，∴.若，即時(shí)，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時(shí)，，不合題意，綜上的取值范圍為.（3