2024屆山西省渾源縣高二數學第二學期期末監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，且側棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，則球的表面積為（）A．36π B．64π C．100π D．104π2．已知復數在復平面內對應的點在第一象限，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知X的分布列為X－101P設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．14．已知三棱錐外接球的表面積為，是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．若函數，則（）A．1 B． C．27 D．6．用數學歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應添加的項為（）A． B．C． D．7．已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A． B． C．3 D．58．函數在點處的導數是（）．A．0 B．1 C．2 D．39．將本不同的書全部分給甲乙丙三人，每人至少一本，則不同的分法總數為（）A． B． C． D．10．的展開式中的常數項為（）A． B． C． D．11．已知有下列各式：，，成立，觀察上面各式，按此規律若，則正數（）A． B． C． D．12．分配名工人去個不同的居民家里檢查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設向量與，共線，且，，則________．14．已知純虛數滿足(其中是虛數單位)，則__________.15．過坐標原點作曲線的切線，則曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為______16．參數方程（為參數，且）化為普通方程是_________；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b．若a，，求直線的斜率為的概率；若a，，求直線的斜率為的概率．18．（12分）在國家積極推動美麗鄉村建設的政策背景下，各地根據當地生態資源打造了眾多特色紛呈的鄉村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機選取100天，對當地已有的六間不同價位的民宿進行跟蹤，統計其出租率（），設民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數據散點圖.（1）若用“出租率”近似估計旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據散點圖判斷，與哪個更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據判斷結果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時，該民宿在這280天的收益達到最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；.參考數據：記，，，，，，，，，.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，，E，F分別是BC，PC的中點．Ⅰ證明：；Ⅱ設H為線段PD上的動點，若線段EH長的最小值為，求直線PD與平面AEF所成的角的余弦值．20．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.21．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin22．（10分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圓的半徑，從而可求該三棱柱的外接球的半徑，即可求出三棱柱的外接球表面積.詳解：，，∴三角形的外接圓直徑，，平面，，∴該三棱柱的外接球的半徑，∴該三棱柱的外接球的表面積為，故選C．點睛：本題主要考查三棱柱的外接球表面積，正弦定理的應用、余弦定理的應用以及考查直線和平面的位置關系，意在考查綜合空間想象能力、數形結合思想以及運用所學知識解決問題的能力.2、A【解題分析】

由實部虛部均大于0聯立不等式組求解．【題目詳解】解：復數在復平面內對應的點在第一象限，，解得．實數的取值范圍是．故選：．【題目點撥】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查不等式組的解法，是基礎題．3、A【解題分析】由條件中所給的隨機變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．4、B【解題分析】

設球心到平面的距離為，求出外接球的半徑R=,再根據求出，再根據求三棱錐的體積.【題目詳解】設球心到平面的距離為，三棱錐外接圓的表面積為，則球的半徑為，所以，故，由是的中點得：.故選B【題目點撥】本題主要考查幾何體的外接球問題，考查錐體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、C【解題分析】

求導后代入可構造方程求得，從而得到，代入可求得結果.【題目詳解】，，解得：，，.故選：.【題目點撥】本題考查導數值的求解問題，關鍵是能夠明確為實數，其導數為零.6、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時：時：觀察知：應添加的項為答案選D【題目點撥】本題考查了數學歸納法，寫出式子觀察對應項是解題的關鍵.7、A【解題分析】

因為拋物線的焦點是，所以雙曲線的半焦距，，，所以一條漸近線方程為，即，，故選A.【點考點定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程、幾何性質、點和直線的位置關系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計算求解能力、數形結合思想、轉化化歸思想8、C【解題分析】

求導后代入即可.【題目詳解】易得,故函數在點處的導數是.故選：C【題目點撥】本題主要考查了導數的運算,屬于基礎題.9、C【解題分析】分析：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本；一人得本，另兩個人各得本，分別求出不同的分法即可得結果.詳解：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本，有種分法，一人得本，另兩個人各得本，有種分法，共有種分法，故選C.點睛：本題主要考查分類計數原理與分步計數原理及排列組合的應用，屬于難題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.10、C【解題分析】

化簡二項式的展開式，令的指數為零，求得常數項.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，故常數項為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查二項式展開式中的常數項，屬于基礎題.11、C【解題分析】

觀察上面各式,,,,類比推理即可得到結果.【題目詳解】由題,觀察上面各式可得,,,則,所以,故選:C【題目點撥】本題考查類比推理,考查理解分析能力.12、C【解題分析】

根據題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，由分步計數原理，計算可得答案.【題目詳解】解：根據題意，分配4名水暖工去3個不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；

則必有2名水暖工去同一居民家檢查，

即要先從4名水暖工中抽取2人，有種方法，

再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，

由分步計數原理，可得共種不同分配方案，

故選：C.【題目點撥】本題考查排列、組合的綜合應用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-3【解題分析】

根據向量共線的坐標表示即可求解.【題目詳解】，,且，共線，即．故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量共線的坐標運算，屬于容易題.14、【解題分析】設，，整理得，15、.【解題分析】

設切點為，先求函數導數得切線斜率，進而得切線方程，代入點可得切線方程，進而由定積分求面積即可.【題目詳解】設切點為，因為，所以，因此在點處的切線斜率為，所以切線的方程為，即；又因為切線過點，所以，解得，所以，即切點為，切線方程為，作出所圍圖形的簡圖如下：因此曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為.【題目點撥】本題主要考查了導數的幾何意義的應用，考查了利用微積分基本定理求解圖形面積，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用消去參數可得普通方程。【題目詳解】由題意，即，又，∴所求普通方程為。故答案為：。【題目點撥】本題考查參數方程化為普通方程，應用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會出錯。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件總數，再列出滿足條件的基本事件有6個，由古典概型概率計算公式求解；有序實數對滿足，而滿足直線的斜率為，即，畫出圖形，由測度比是面積比得答案．【題目詳解】解：在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件總數，直線的斜率為，即，也就是，滿足條件的基本事件有6個，分別是：，，，，，，直線的斜率為的概率；在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b，a，，有序實數對滿足，而滿足直線的斜率為，即，如圖：，．直線的斜率為的概率．【題目點撥】本題考查概率的求法，注意列舉法和幾何概型的合理運用，是中檔題．18、（1）（2）①更適合，②181元【解題分析】

（1）三天中至少有2天閑置的即為3天中有兩天閑置或者3天都閑置，又每天的出租率為0.2，根據二項分布的相關知識即可求出概率；（2）①根據散點圖的分布情況，各散點連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，代入公式求出回歸方程即可；②將收益表示為租金的函數，用函數單調性處理即可．【題目詳解】（1）三天中至少有2天閑置的反面為3天中最多有一天能夠租出，又每天的出租率為0.2，所以3天中至少有2天閑置的概率：.（2）①根據散點圖的分布情況，各散點連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，依題意，，，所以，所以，所以回歸方程為.②設旅游淡季民宿租金為，則淡季該民宿的出租率，所以該民宿在這280天的收益：，所以，令得，，所以，且當時，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，存在最大值，所以旅游淡季民宿租金約定為181元時，該民宿在這280天的收益達到最大.【題目點撥】本題考查線性回歸方程，二項分布及其概率計算公式，考查分析求解及轉化能力，屬于中等題.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據正三角形性質得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根據PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解得平面AEF一個法向量，由向量數量積得向量夾角，最后根據向量夾角與線面角互余關系得結果.【題目詳解】（1）連接AC，因為底面ABCD為菱形，所以三角形ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，則又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）過A作AH⊥PD于H，連HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直線PD與平面AEF所成的角的余弦值為【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定和性質及利用空間向量求線面角，屬中等難度題．20、16【解題分析】分析：由正四棱柱的性質得，從而，進而，由此能求出正四棱柱的體積.詳解：∵∴為與所成角且∵，∴點睛：本題主要考查異面直線所成的角、正四棱柱的性質以及棱柱的體積的公式，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養.求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角.21、sinα2=417【解題分析】

先利用同角三角函數的基本關系計算出cosα的值，并計算出α2的取值范圍，然后利用半角公式計算出s