2024屆廣東省廣州市仲元中學高二數學第二學期期末預測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等于（）A． B． C． D．2．某城市關系要好的，，，四個家庭各有兩個小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．下列結論中正確的是（）A．導數為零的點一定是極值點B．如果在附近的左側，右端，那么是極大值C．如果在附近的左側，右端，那么是極小值D．如果在附近的左側，右端，那么是極大值4．已知是虛數單位，是的共軛復數，若，則的虛部為（）A． B． C． D．5．已知函數，的值域是，則實數的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）6．已知是拋物線上一點，則到拋物線焦點的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．67．若復數滿足，其中為虛數單位，則在復平面上復數對應的點的坐標為（）A． B． C． D．8．高二（3）班共有學生56人，現根據座號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、31號、45號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是A．15 B．16 C．17 D．189．(+)(2-)5的展開式中33的系數為A．-80 B．-40 C．40 D．8010．已知某同學在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時答對的概率為，在A題答對的情況下，B題也答對的概率為，則A題答對的概率為()A． B． C． D．11．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點，它們的離心率之和為，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．12．已知展開式的常數項為15，則（）A． B．0 C．1 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設拋物線的準線方程為__________.14．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為上的動點，則的最小值為______.15．有一個容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現不考慮該容器內壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．16．方程的解為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和，通項公式，數列的通項公式為.（1）若，求數列的前項和及的值；（2）若，數列的前項和為，求、、的值，根據計算結果猜測關于的表達式，并用數學歸納法加以證明；（3）對任意正整數，若恒成立，求的取值范圍.18．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數的數學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數的分布列.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，底面點是的中點．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．20．（12分）已知等比數列的前項和，其中為常數.（1）求；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）中國北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統，作為國家戰略性空間基礎設施，我國北斗衛星導航系統不僅對國防安全意義重大，而且在民用領域的精準化應用也越來越廣泛.據統計，2016年衛星導航與位置服務產業總產值達到2118億元，較2015年約增長.下面是40個城市北斗衛星導航系統與位置服務產業的產值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖，求產值小于500萬元的城市個數；（2）在上述抽取的40個城市中任取2個，設為產值不超過500萬元的城市個數，求的分布列及期望和方差.22．（10分）在國家積極推動美麗鄉村建設的政策背景下，各地根據當地生態資源打造了眾多特色紛呈的鄉村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機選取100天，對當地已有的六間不同價位的民宿進行跟蹤，統計其出租率（），設民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數據散點圖.（1）若用“出租率”近似估計旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據散點圖判斷，與哪個更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據判斷結果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時，該民宿在這280天的收益達到最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；.參考數據：記，，，，，，，，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據排列數的定義求解.【題目詳解】，故選A.【題目點撥】本題考查排列數的定義.2、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．3、B【解題分析】

根據極值點的判斷方法進行判斷.【題目詳解】若，則，，但是上的增函數，故不是函數的極值點.因為在的左側附近，有，在的右側附近，有，故的左側附近，有為增函數，在的右側附近，有為減函數，故是極大值.故選B.【題目點撥】函數的極值刻畫了函數局部性質，它可以理解為函數圖像具有“局部最低（高）”的特性，用數學語言描述則是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可導且的左右兩側導數的符號發生變化，則必為函數的極值點，具體如下．（1）在的左側附近，有，在的右側附近，有，則為函數的極大值點；（1）在的左側附近，有，在的右側附近，有，則為函數的極小值點；4、A【解題分析】由題意可得：，則，據此可得，的虛部為.本題選擇A選項.5、B【解題分析】

先求出當x≤2時，f（x）≥4，則根據條件得到當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數函數的單調性進行求解即可．【題目詳解】當x≤2時，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當a＞1時，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點撥】本題主要考查函數值域的應用，利用分段函數的表達式先求出當x≤2時的函數的值域是解決本題的關鍵．6、B【解題分析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點到拋物線焦點的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點到拋物線焦點的距離．故選B.點睛：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7、C【解題分析】

利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】z=，故選：C.【題目點撥】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8、C【解題分析】試題分析：由系統抽樣的特點—等距離可得，∴3號、17號、號、號同學在樣本中.考點：系統抽樣.9、C【解題分析】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數為；當時，展開式中的系數為，則的系數為.故選C.【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解.10、B【解題分析】分析：根據條件概率公式計算即可.詳解：設事件A：答對A題，事件B：答對B題，則，..故選：B.點睛：本題考查了條件概率的計算，屬于基礎題.11、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點坐標為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設雙曲線的實半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質，是中檔題．12、A【解題分析】

先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數項，再根據常數項為15，求得的值．【題目詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數項為，由此求得，故選：．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意結合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【題目詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為：．【題目點撥】本題主要考查由拋物線方程確定其準線的方法，屬于基礎題.14、【解題分析】

建立直角坐標系，得出，，利用向量的數量積公式即可得出，結合，得出的最小值.【題目詳解】因為，所以以點為原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以，又因為，所以直線的斜率為，易得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設點坐標為，則，則，，所以又因為，所以當時，取得最小值為．【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理及坐標表示、平面向量的數量積以及直線與方程．15、【解題分析】

設圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導數求得極值點，并判斷在極值點左右兩側的單調性，即可求得函數的最大值，即為容器的最大容積.【題目詳解】設圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，取得最大值；代入可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查了導數在體積最值問題中的綜合應用，圓柱與圓錐的體積公式應用，屬于中檔題.16、或【解題分析】

方程相等分為兩種情況：相等或者相加等于14，計算得到答案.【題目詳解】或解得：或故答案為：或【題目點撥】本題考查了組合數的計算，漏解是容易發生的錯誤.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解題分析】

（1）根據等比數列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達式，再根據數學歸納法的證題步驟進行證明。（3）問題轉化為，對于任意正整數恒成立，設，利用導數求出函數的最值即可求出的范圍。【題目詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當時，成立；：假設時成立，則，那么當時，即時，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，，，，，，【題目點撥】本題考查了等比數列的求和公式、取極限、數學歸納法、導數求函數的最值，綜合性比較強；在求參數的取值范圍時可采用“分離參數法”，構造新函數，研究函數的最值。18、(1)①;②見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨立重復試驗，根據獨立重復試驗概率公式求結果，(ⅱ)抽到紅球次數服從二項分布，根據二項分布期望與方差公式求結果，（2）先確定隨機變量取法，再根據組合數求對應概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（I）根據已知條件得到，，由此證得平面.從而證得,結合，證得平面，進而證得.（II）作出與平面所成的角，通過線面角的大小計算出有關的邊長，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【題目詳解】（Ⅰ）證明：因為平面，平面，所以．又由是梯形，，，知，而，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．又，點是的中點，所以．因為，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．（Ⅱ）解：如圖所示，過作于，連接，因為平面，平面，所以，則平面，于是平面平面，它們的交線是．過作于，則平面，即在平面上的射影是，所以與平面所成的角是．由題意，．在直角三角形中，，于是．在直角三角形中，，所以．過作于，連接，由三垂線定理，得，所以為二面角的平面角，在直角三角形中，，．在直角三角形中，，所以二面角的正弦值為．【題目點撥】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的應用，考查面面角的求法，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用求出當時的通項，根據為等比數列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項和.【題目詳解】（1）因為，當時，，當時，，所以，因為數列是等比數列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因為，所以，所以，即.【題目點撥】（1）數列的通項與前項和的關系是，我們常利用這個關系式實現與之間的相互轉化.（2）數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續兩項的差，那么用裂項相