金學導航大聯考2024屆數學高二下期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的圖象關于對稱，的圖象在點處的切線過點，若圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．2．若離散型隨機變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．3．函數f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a>24．已知，則（）A． B． C． D．5．圓截直線所得的弦長為，則（）A． B． C． D．26．已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個數為（）A． B． C． D．7．定義在（0，+∞）上的函數f（x）的導數滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+18．4名男歌手和2名女歌手聯合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數是（）A． B． C． D．9．已知集合，集合滿足，則集合的個數為A． B． C． D．10．把編號分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號，那么不同分法的種數為（）A．36 B．40 C．42 D．4811．點是雙曲線在第一象限的某點，、為雙曲線的焦點.若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.12．已知銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若對一切恒成立，則a的取值范圍為________.14．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是___________．15．若函數有且只有一個零點，則實數的值為__________.16．已知空間整數點的序列如下：，，，，，，，，，，，,,,…，則是這個序列中的第____________個.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：毫克），質量值落在的產品為合格品，否則為不合格品．如表是甲流水線樣本頻數分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．產品質量/毫克頻數（Ⅰ）以樣本的頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取件產品，求其中不合格品的件數的數學期望．甲流水線乙流水線總計合格品不合格品總計（Ⅱ）由以上統計數據完成下面列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關？（Ⅲ）由乙流水線的頻率分布直方圖可以認為乙流水線生產的產品質量服從正態分布，求質量落在上的概率．參考公式：參考數據：參考公式：，其中．18．（12分）已知的展開式中第4項和第8項的二項式系數相等．(Ⅰ)求的值和這兩項的二項式系數；(Ⅱ)在的展開式中，求含項的系數（結果用數字表示）．19．（12分）已知數列滿足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想數列的通項公式；（Ⅱ）試用數學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.20．（12分）已知函數.（1）若函數上是減函數，求實數a的最小值；（2）若，使（）成立，求實數a的取值范圍.21．（12分）設,圓:與軸正半軸的交點為,與曲線的交點為,直線與軸的交點為.(1)用表示和;(2)求證:;(3)設,,求證:.22．（10分）已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是（t為參數）．（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且，求直線l的傾斜角的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先根據函數的圖象關于點對稱得到，，即.利用導數的切線過點得到，再求函數在處的切線傾斜角的正切值和正弦值，代入式子計算即可.【題目詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以.即：，解得，.所以，，切點為.，.切線為：.因為切線過點，所以，解得.所以，.，所以.所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查導數的切線問題，同時考查三角函數的誘導公式，屬于中檔題.2、A【解題分析】由離散型隨機變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.3、D【解題分析】

函數f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【題目詳解】f'(x)=ax2-2x，函數f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調，即故答案為D.【題目點撥】本題考查了函數的單調性，考查了二次函數的性質，考查了學生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計算即可求得最終結果.【題目詳解】由題意結合誘導公式可得：，則.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查誘導公式、二倍角公式的應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解題分析】

將圓的方程化為標準方程,結合垂徑定理及圓心到直線的距離,即可求得的值.【題目詳解】圓,即則由垂徑定理可得點到直線距離為根據點到直線距離公式可知,化簡可得解得故選:A【題目點撥】本題考查了圓的普通方程與標準方程的轉化,垂徑定理及點到直線距離公式的應用,屬于基礎題.6、C【解題分析】

利用分類計數加法原理和分步計數乘法原理計算即可，注意這個特殊元素的處理.【題目詳解】已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個數為個.故選C.7、D【解題分析】

構造函數g（x）＝f（x），利用導數可知函數在（0，+∞）上是減函數，則答案可求．【題目詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．【題目點撥】本題考查利用導數研究函數的單調性，正確構造函數是解題的關鍵，是中檔題．8、D【解題分析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列，利用排列組合的知識和分步計數原理求解即可.【題目詳解】根據題意，分兩步進行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時對兩名女歌手進行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列有種選擇，由分步計數原理可得，共有出場方案的種數為.故選：D【題目點撥】本題考查利用捆綁法和分步乘法計數原理，結合排列數公式求解排列組合問題；考查運算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個計數原理是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.9、D【解題分析】分析：根據題意得到為的子集，確定出滿足條件的集合的個數即可詳解：集合，集合滿足，則滿足條件的集合的個數是故選點睛：本題是基礎題，考查了集合的子集，當集合中有個元素時，有個子集。10、A【解題分析】

將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】當分的票數為這種情況時：當分的票數為這種情況時：一張票數的人可以選擇：不同分法的種數為36故答案選A【題目點撥】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡化運算.11、D【解題分析】試題分析：根據題畫圖，可知P為圓與雙曲線的交點，根據雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以?？键c：雙曲線的綜合應用。12、B【解題分析】

利用余弦定理化簡后可得，再利用正弦定理把邊角關系化為角的三角函數的關系式，從而得到，因此，結合的范圍可得所求的取值范圍.【題目詳解】，因為為銳角三角形，所以，，，故,選B.【題目點撥】在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉化為角的關系式或邊的關系式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意可得恒成立，設，求得導數和單調性、極值和最值，即有a小于最小值．【題目詳解】對一切恒成立，可得恒成立，設，則，，當時，，遞增；時，，遞減，可得處取得極小值，且為最小值4，可得．故答案為：．【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和導數的運用，考查運算能力，屬于中檔題．14、【解題分析】

由已知結合三角形內角平分線定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由橢圓定義可得|PF2|，得到a﹣c，從而得到e，再與橢圓離心率的范圍取交集得答案．【題目詳解】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：【題目點撥】本題考查橢圓的簡單性質，訓練了角平分線定理的應用及橢圓定義的應用，是中檔題．15、-2【解題分析】

將有且只有一個零點問題轉化成a＝﹣lnx，兩函數有一個交點，然后令g（x）＝﹣lnx，對g（x）進行單調性分析，即可得到g（x）的大致圖象，即可得到a的值．【題目詳解】由題意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可設g（x）＝﹣lnx，x＞2．則g′（x），x＞2．①當2＜x＜2時，g′（x）＞2，g（x）單調遞增；②當x＞2時，g′（x）＜2，g（x）單調遞減；③當x＝2時，g′（x）＝2，g（x）取極大值g（2）＝﹣2．∵函數有且只有一個零點，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案為：﹣2．【題目點撥】本題主要考查函數零點問題，構造函數的應用，用導數方法研究函數的單調性．屬中檔題．16、【解題分析】按照規律：三個數字和相等的先看最小數字，再看第二小的數字；相同數字組成的點，先看最小數字排的位置，再看第二小的數字排的位置。三個數字和為的1個，三個數字和為的3個，三個數字之和為6的是3+6+1=10個，三個數字和為7，由組成的共3個，由三個數字組成的共6個，所以是第29個。應填答案。點睛：解答本題的關鍵是搞清題設中數組的規律，然后依據規律做出正確的推理和判斷。求解時，先觀察出數組的規律是：三個數字和相等的先看最小數字，再看第二小的數字；相同數字組成的點，先看最小數字排的位置，再看第二小的數字排的位置。然后做出推斷：三個數字和為的1個，三個數字和為的3個，三個數字之和為6的是3+6+1=10個，三個數字和為7，由組成的共3個，由三個數字組成的共6個，進而得出是第29個。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）.【解題分析】

（Ⅰ）由表知，以頻率作為概率，再根據二項分布求數學期望，（Ⅱ）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數為，由此得列聯表，根據表中數據計算出觀測值，結合臨界值表可得；（Ⅲ）根據正態分布的概率公式可得．【題目詳解】解：（Ⅰ）由表知，樣本中不合格品的件數為，故任取一件產品是不合格品的頻率為以頻率作為概率，則從甲流水線上任取一件產品是不合格品的概率為，則，從而．（Ⅱ）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數為，所以，列聯表是：所以故在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，不能認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關（Ⅲ）乙流水線生產的產品質量服從正態分布，所以產品質量的數學期望，標準差為因為，所以即：所以乙流水線產品質量落在上的概率為．【題目點撥】本題考查了二項分布中數學期望公式、頻率分布直方圖、獨立性檢驗以及正態分布的概率，屬中檔題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解題分析】

(Ⅰ)由題意知：得到，代入計算得到答案.(Ⅱ)分別計算每個展開式含項的系數，再把系數相加得到答案.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含項的系數為.方法二：含的系數為.【題目點撥】本題考查了展開式的二項式系數，特定項系數，意在考查學生的計算能力.19、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根據，可猜想數列的通項公式；（Ⅱ）①當時，猜想顯然成立；②假設當時猜想成立，通過證明當時，猜想也成立，從而得到證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用數學歸納法證明猜想成立.①當時，猜想顯然成立；②假設當時猜想成立，即，則時，由，得，即當時，猜想也成立，由①②可知，對任意均成立.【題目點撥】本題主要考查歸納推理及用數學歸納法證明猜想成立.20、(1);(2)．【解題分析】

由已知函數的定義域均為,且.(1)函數,因f(x)在上為減函數，故在上恒成立．所以當時，．又，故當，即時，．所以于是，故a的最小值為．(2)命題“若使成立”等價于“當時，有”．由（1），當時，，．問題等價于：“當時，有”．當時，由（1），在上為減函數，則=，故．當時，由于在上為增函數，故的值域為，即．由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．考點：1.導數公式；2