2024屆廣東省廣州市越秀區實驗中學高二數學第二學期期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對其質量（單位：g）進行統計，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機選取1袋，則該袋食用鹽的質量在內的概率為（）A． B． C． D．2．甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，那么恰好有1人解決這個問題的概率是（）A． B．C． D．3．在20張百元紙幣中混有4張假幣，從中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機上檢驗發現是假幣，則這兩張都是假幣的概率是()A． B． C． D．以上都不正確4．被稱為宋元數學四大家的南宋數學家秦九韶在《數書九章》一書中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設計的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．現將甲、乙、丙、丁四個人安排到座位號分別是的四個座位上，他們分別有以下要求，甲：我不坐座位號為和的座位；乙：我不坐座位號為和的座位；丙：我的要求和乙一樣；丁：如果乙不坐座位號為的座位，我就不坐座位號為的座位.那么坐在座位號為的座位上的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．數學歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．17．將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖是一個算法的程序框圖，當輸入的x的值為7時，輸出的y值恰好是，則“？”處應填的關系式可能是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線C：的離心率e=2,圓A的圓心是拋物線的焦點，且截雙曲線C的漸近線所得的弦長為2，則圓A的方程為A． B．C． D．10．兩個線性相關變量x與y的統計數據如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應于點（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.211．設集合，集合，則（）A． B． C． D．12．若過點可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數z和ω滿足|z|-z=41-i，且ω14．對于，，規定，集合，則中的元素的個數為__________．15．已知為第二象限角，，則____________.16．高二（1）班有男生18人，女生12人，現用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：(n∈N)的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10:1.（1）求展開式中各項系數的和；（2）求展開式中含的項.18．（12分）已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，求函數的最大值.19．（12分）

某商場經銷某商品，根據以往資料統計，顧客采用的付款期數的分布列為商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元.表示經銷一件該商品的利潤.（Ⅰ）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（Ⅱ）求的分布列及期望20．（12分）如圖（1），等腰梯形，，，，，分別是的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點和點重合，記為點，如圖（2）．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的普通方程；（2）直線的極坐標方程是，射線：與圓的交點為、，與直線的交點為,求線段的長.22．（10分）在平面直角坐標系中，將曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為.(1)求曲線的參數方程；(2)過原點且關于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點在第一象限，當四邊形周長最大時，求直線的普通方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題，分析莖葉圖，找出質量在[499,501]的個數，再求其概率即可.【題目詳解】這個數據中位于的個數為，故所求概率為故選B【題目點撥】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關鍵，屬于基礎題.2、B【解題分析】分析：先分成兩個互斥事件：甲解決問題乙未解決問題和甲解決問題乙未解決問題，再分別求概率，最后用加法計算.詳解：因為甲解決問題乙未解決問題的概率為p1(1－p2)，甲未解決問題乙解決問題的概率為p2(1－p1)，則恰有一人解決問題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.點睛：本題考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.3、A【解題分析】設事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B).又，由公式.本題選擇A選項.點睛：條件概率的求解方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得.4、B【解題分析】

模擬程序運行，依次計算可得所求結果【題目詳解】當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；故選B【題目點撥】本題考查程序運算的結果，考查運算能力，需注意所在位置5、C【解題分析】

對甲分別坐座位號為3或4分類推理即可判斷。【題目詳解】當甲坐座位號為3時，因為乙不坐座位號為1和4的座位所以乙只能坐座位號為2，這時只剩下座位號為1和4又丙的要求和乙一樣，矛盾，故甲不能坐座位號3.當甲坐座位號為4時，因為乙不坐座位號為1和4的座位，丙的要求和乙一樣：所以丁只能坐座位號1，又如果乙不坐座位號為2的座位，丁就不坐座位號為1的座位.所以乙只能坐座位號2，這時只剩下座位號3給丙。所以坐在座位號為3的座位上的是丙.故選：C【題目點撥】本題主要考查了邏輯推理能力，考查了分類思想，屬于中檔題。6、D【解題分析】

求出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．【題目詳解】當n=k時，左邊的代數式為1k+1當n=k+1時，左邊的代數式為1k+2故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：12k+1【題目點撥】本題考查用數學歸納法證明不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，屬于中檔題.7、C【解題分析】

根據題意得到變換后的函數解析式，利用誘導公式求得結果【題目詳解】由題，向左平移不改變周期，故，平移得到，，當時，，故選C【題目點撥】本題考查函數的圖象變換規律，利用誘導公式完成正、余弦型函數的轉化8、A【解題分析】試題分析：依題意，輸入的的值為，執行次循環體，的值變為，這時，如果輸出的值恰好是，則函數關系式可能為,故應填A.考點：程序框圖中的循環結構.9、C【解題分析】

運用離心率公式和基本量的關系可得的關系，即可得到雙曲線的漸近線的方程，求得拋物線的焦點坐標，可得點的坐標，求得到漸近線的距離，結合弦長公式，可得半徑為，進而得到所求圓的方程.【題目詳解】由題意，即，可得雙曲線的漸近線方程為，即為，圓的圓心是拋物線的焦點，可得，圓截雙曲線C的漸近線所得的弦長為2，由圓心到直線的距離為，可得，解得，可圓的方程為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的方程和幾何性質的應用，其中解答中涉及到雙曲線的離心率的求法，圓的標準方程的求法，以及運用點到直線的距離公式和圓的弦長公式等知識點的綜合應用，著重考查了推理與運算能力.10、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進而求解相應點的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據表中的數據，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應點的殘差為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預測值是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.11、B【解題分析】

求解出集合，根據并集的定義求得結果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎題.12、D【解題分析】

設切點為，寫出切線方程為，把代入，關于的方程在上有兩個不等實根，由方程根的分布知識可求解.【題目詳解】設切點為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查方程根的分布問題。由方程根的個數確定參數取值范圍，可采用分離參數法，轉化為直線與函數圖象交點個數問題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1+i或-1-i【解題分析】

本題首先可以設z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=41-i，可得a=0、b=22，則【題目詳解】設z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=4所以a2+b所以z=2i。令ω=m+ni(m,n∈R)，由ω2=z，得所以2mn=2m2-n2所以ω=1+i或-1-i。故答案為：1+i或-1-i。【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是中檔題。復數的運算，難點是乘除法法則，設z1則z1z114、2【解題分析】分析：由⊕的定義，ab=1分兩類進行考慮：a和b一奇一偶，則ab=1；a和b同奇偶，則a+b=1．由a、b∈N*列出滿足條件的所有可能情況，再考慮點（a，b）的個數即可詳解：ab=1，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，則ab=1，滿足此條件的有1×1=3×12=4×9，故點（a，b）有6個；若a和b同奇偶，則a+b=1，滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18組，故點（a，b）有35個，所以滿足條件的個數為2個．故答案為2．點睛：本題考查的知識要點：列舉法在排列組合中的應用，正確理解新定義的含義是解決本題的關鍵．15、【解題分析】

根據同角三角函數平方關系和的范圍可求得，根據同角三角函數商數關系可求得結果.【題目詳解】為第二象限角，，，由得：，.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據同角三角函數平方關系和商數關系求解三角函數值的問題，屬于基礎題.16、3【解題分析】

根據分層抽樣的比例求得.【題目詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數為5×18故得解.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1，(2)【解題分析】由題意知，第五項系數為，第三項的系數，則有，解．（1）令得各項系數的和為．（2）通項公式，令，則，故展開式中含的項為．18、（1）的單調增區間為，；單調減區間為（2）【解題分析】

（1）函數求導數，分別求導數大于零小于零的范圍，得到單調區間.（2）根據（1）中的單調區間得到最大值.【題目詳解】解：（1）當時，，或；當時，．∴的單調增區間為，；單調減區間為．（2）分析可知的遞增區間是，，遞減區間是，當時，；當時，．由于，所以當時，．【題目點撥】本題考查了函數的單調區間，最大值，意在考查學生的計算能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.【解題分析】

解：（I）由A表示事件：“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”，知表示事件：“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”.,；（II）η的可能取值為200元，250元，300元.P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1－P（η=200）－P（η=250）=1－0.4－0.4=0.2.∴η的分布列為η200250300P0.40.40.2∴Eη＝200×0.4+250×0.4+300×0.2＝240（元）．20、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）推導出，，從而面，由此能證明平面平面；（2）過點作于，過點作的平行線交于點，則面，以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：四邊形為等腰梯形，，，，，是的兩個三等分點，四邊形是正方形，，，且，面，又平面，平面平面；（2）過點作于點，過點作的平行線交于點，