江蘇常熟中學2024屆高二數學第二學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．22．在平面四邊形，，，則四邊形的面積為（）A． B． C．15 D．3．已知隨機變量，若，則實數的值分別為()A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.24．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%5．直線與相切,實數的值為（）A． B． C． D．6．將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種7．將兩個隨機變量之間的相關數據統計如表所示：根據上述數據，得到的回歸直線方程為，則可以判斷（）A． B． C． D．8．已知函數，則()A．-2 B．0 C．2 D．49．設是定義在上的偶函數，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數的最大值是（）A． B． C． D．10．對于一個數的三次方，我們可以分解為若干個數字的和如下所示：…，根據上述規律，的分解式中，等號右邊的所有數的個位數之和為（）A．71 B．75 C．83 D．8811．同學聚會上，某同學從《愛你一萬年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進行表演，則《愛你一萬年》未選取的概率為（）A．B．C．D．12．復數（為虛數單位）的虛部是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．120，168的最大公約數是__________．14．的展開式中的系數為.15．將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側面積為______．16．不等式＜恒成立，則a的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點，C是線段BE上的一點，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．18．（12分）(A)在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程為(為參數)，是曲線上的動點，為線段的中點，設點的軌跡為曲線.(1)求的坐標方程；(2)若射線與曲線異于極點的交點為，與曲線異于極點的交點為，求.(B)設函數.(1)當時，求不等式的解集；(2)對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）球O的半徑為R,A﹑B﹑C在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內的部分的體積．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結果用反三角函數值表示）21．（12分）在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b．若a，，求直線的斜率為的概率；若a，，求直線的斜率為的概率．22．（10分）已知函數（其中，為自然對數的底數）．（Ⅰ）若函數無極值，求實數的取值范圍；（Ⅱ）當時，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意得出的一個最大值為，一個最小值為，于此得出的最小值為函數的半個周期，于此得出答案．【題目詳解】對任意的，成立.所以，，所以，故選D．【題目點撥】本題考查正余弦型函數的周期性，根據題中條件得出函數的最值是解題的關鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數的周期公式，考查分析問題的能力，屬于中等題．2、C【解題分析】

首先根據得到，再求四邊形的面積即可.【題目詳解】因為，所以，所以四邊形的面積.故選：C【題目點撥】本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于簡單題.3、B【解題分析】

由，可得，由此列出關于的方程組，從而得出結果。【題目詳解】解：據題意，得,解得，故選B。【題目點撥】本題考查了二項分布的數學期望和方差，熟記離散型隨機變量的數學期望和方差的性質是關鍵。4、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點：正態分布5、B【解題分析】

利用切線斜率等于導數值可求得切點橫坐標，代入可求得切點坐標，將切點坐標代入可求得結果.【題目詳解】由得：與相切切點橫坐標為：切點縱坐標為：，即切點坐標為：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查導數的幾何意義的應用，關鍵是能夠利用切線斜率求得切點坐標.6、B【解題分析】

對三個盒子進行編號1，2，3，則每個盒子裝球的情況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數相同.【題目詳解】先考慮第一類，即3個盒子放球的個數為：1，2，2，則第1個盒子有：，第2個盒子有：，第3個盒子有：，第一類放法種數為，不同的放法種數有.【題目點撥】考查分類與分步計算原理，明確分類的標準是解決問題的突破口.7、C【解題分析】

根據最小二乘法，求出相關量，，即可求得的值。【題目詳解】因為，，，所以，，故選C。【題目點撥】本題主要考查利用最小二乘法求線性回歸方程，意在考查學生的數學運算能力。8、D【解題分析】令，則，據此可得：本題選擇D選項.9、B【解題分析】

由題意，函數在上單調遞減，又由函數是定義上的偶函數，得到函數在單調遞增，把不等式轉化為，即可求解.【題目詳解】易知函數在上單調遞減，又函數是定義在上的偶函數，所以函數在上單調遞增，則由，得，即，即在上恒成立，則，解得，即的最大值為.【題目點撥】本題主要考查了函數的基本性質的應用，其中解答中利用函數的基本性質，把不等式轉化為求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.10、C【解題分析】

觀察可知，等式右邊的數為正奇數，故在之前，總共使用了個正奇數，因此，，故所有數的個位數之和為83.【題目詳解】觀察可知，等式右邊的數為正奇數，故在之前，總共使用了個正奇數，所以的分解式中第一個數為，最后一個是，因此，所有數的個位數之和為83，故選C。【題目點撥】本題主要考查學生的歸納推理能力。11、B【解題分析】,所以選B.12、A【解題分析】

利用復數的除法法則將復數表示為一般形式，可得出復數的虛部．【題目詳解】，因此，該復數的虛部為，故選A．【題目點撥】本題考查復數的除法，考查復數的虛部，對于復數問題的求解，一般利用復數的四則運算法則將復數表示為一般形式，明確復數的實部與虛部進行求解，考查計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】∵，∴120，168的最大公約數是24.答案：2414、70.【解題分析】試題分析：設的展開式中含的項為第項，則由通項知．令，解得，∴的展開式中的系數為．考點：二項式定理．15、【解題分析】將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉一周，所得圓柱的體積為，設正方體的邊長為，則，解得該圓柱的側面積為，故答案為.16、(－2,2)【解題分析】

利用指數函數的單調性可以得到一元二次不等式恒成立問題，再根據判別式即可求得結果.【題目詳解】由指數函數的性質知y＝x是減函數，因為＜恒成立，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范圍是(－2,2)．【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題，利用指數函數的單調性將指數不等式轉化為一元二次不等式是本題的關鍵，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）.【解題分析】分析：（1）推導出是的斜邊上的中線，從而是的中點，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結果．詳解：（1）因為，所以，又，，所以，又因為，所以是的斜邊上的中線，所以是的中點，又因為是的中點．所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）據題設分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為，且，分別是，的中點，所以，，所以，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，所以，令，則，設直線與平面所成角的大小為，則．故直線與平面所成角的正切值為．點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、(A)(1)(為參數)，(2)(B)(1)；(2).【解題分析】試題分析：A(1)結合題意可得的極坐標方程是(為參數)，(2)聯立極坐標方程與參數方程，結合極徑的定義可得B(1)由題意零點分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的條件得到關于實數a的不等式組，求解不等式可得實數的取值范圍是.試題解析：(A)解：(1)設，則由條件知，由于點在曲線上，所以，即，從而的參數方程為(為參數)，化為普通方程即，將，所以曲線后得到極坐標方程為.(2)曲線的極坐標方程為，當時，代入曲線的極坐標方程，得，即，解得或，所以射線與的交點的極徑為，曲線的極坐標方程為.同理可得射線與的交點的極徑為.所以.(B)解：(1)當時，由解得.(2)因為且.所以只需，解得.19、【解題分析】

先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據比例關系求出球O在二面角B-OA-C內的部分的體積。【題目詳解】解：A與B,A與C的球面距離都為，，BOC為二面角B-AO-C的平面角，又B與C的球面距離為，BOC=，球O夾在二面角B-AO-C的體積是球的六分之一即為【題目點撥】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據比例關系求出球O在二面角B-OA-C內的部分的體積。20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三棱錐的體積計算公式即可得出；（2）由于，可得或其補角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關系即可得出【題目詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是【題目點撥】本題考查三棱錐體積公式的計算，異面直線所成的夾角，屬于基礎題21、（1）；（2）.【解題分析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件總數，再列出滿足條件的基本事件有6個，由古典概型概率計算公式求解；有序實數對滿足，而滿足直線的斜率為，即，畫出圖形，由測度比是面積比得答案．【題目詳解】解：在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件總數，直線的斜率為，即，也就是，滿足條件的基本事件有6個，分別是：，，，，，，直線的斜率為的概率；在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b，a，，有序實數對滿足，而滿足直線的斜率為，即，如圖：，．直線的斜率為的概率．【題目點撥】本題考查概率的求法，注意列舉法和幾何概型的合理運用，是中檔題．22、（1）實數的取值范圍是；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）因為函數無極值，所以在上單調遞增或單調遞減.即或在時恒成立，求導分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，當時，當時，，即.欲證，只需證即可，構造函數=（），求導分析整理即可.