2024屆上海市嘉定區(qū)嘉定二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．2．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學(xué)家利用鳥(niǎo)類的飛行原理制造飛機(jī).3．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正4．已知滿足，則（）A． B． C． D．5．若當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則()A． B． C． D．6．某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布，則用電量在320度以上的居民戶數(shù)估計(jì)約為（）（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.）A．17 B．23 C．34 D．467．已知函數(shù),若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．8．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如下，則按照從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①9．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)．假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立，需要用到的與之間的關(guān)系式是（）A． B．C． D．10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．1 D．212．在2018年初的高中教師信息技術(shù)培訓(xùn)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，哈爾濱市高中教師的培訓(xùn)成績(jī)X～N(85,9)，若已知，則從哈爾濱市高中教師中任選一位教師，他的培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率為（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．球的半徑為，球的一個(gè)截面與球心的距離為，則截面的半徑為_(kāi)_____．14．中，角的對(duì)邊分別是，已知，則_______.15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為（）．16．在中，，，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達(dá)式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.18．（12分）已知點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)的值；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，，其中，為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)也為拋物線：的焦點(diǎn)．（1）若，為橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率；（2）若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，和，，設(shè)線段，的長(zhǎng)分別為，，證明是定值．22．（10分）如圖，是平面的斜線，為斜足平面，為垂足，是平面上的一條直線，于點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求和平面所成的角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【題目詳解】依題意，，函數(shù)的振幅為，在中令求得初相為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數(shù)周期的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.其中表示的是振幅，是用來(lái)求周期的，即，要注意分母是含有絕對(duì)值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數(shù).2、B【解題分析】

根據(jù)歸納推理的定義即可選出答案?！绢}目詳解】歸納推理是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，屬于簡(jiǎn)單題。3、D【解題分析】

結(jié)合定積分知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項(xiàng)D不正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】，選A.5、B【解題分析】

函數(shù)解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】，其中,當(dāng)，即時(shí)，取得最大值5,，則，故選B.【題目點(diǎn)撥】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】分析：先求用電量在320度以上的概率，再求用電量在320度以上的居民戶數(shù).詳解：由題得所以，所以，所以求用電量在320度以上的居民戶數(shù)為1000×0.023=23.故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)對(duì)于正態(tài)分布曲線的概率的計(jì)算，不要死記硬背，要結(jié)合其圖像分析求解.7、A【解題分析】分析：由的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.詳解：函數(shù)的定義域是，，是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),是導(dǎo)函數(shù)的唯一根，在無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，即在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，必須.故選A.點(diǎn)睛：本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題，對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論.8、A【解題分析】

根據(jù)各個(gè)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號(hào)，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【題目詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故第一個(gè)圖象即是；

②為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它在上的值為正數(shù)，

在上的值為負(fù)數(shù)，故第三個(gè)圖象滿足；

③為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故第四個(gè)圖象滿足；

④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒(méi)有對(duì)稱性，故第二個(gè)圖象滿足，

故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號(hào)，屬于中檔題．9、C【解題分析】

分別根據(jù)已知列出和，即可得兩者之間的關(guān)系式.【題目詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟表示，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】試題分析：,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，因此是第一象限．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.11、A【解題分析】

由復(fù)數(shù)除法化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)概念可得．【題目詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念．屬于簡(jiǎn)單題．12、D【解題分析】

先求出,再求出培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率.【題目詳解】因?yàn)榕嘤?xùn)成績(jī)X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率為0.15.故答案為：D.【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)解答正態(tài)分布問(wèn)題，不要死記硬背，要根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用勾股定理，計(jì)算出截面的半徑.【題目詳解】設(shè)球心為，截面圓心為，依題意，，故，即截面的半徑為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查球的截面半徑的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

化簡(jiǎn)已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（C）＝0，結(jié)合范圍C∈（，），可求C的值．【題目詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、C【解題分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，由，解得，，所以．選．16、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，，再由二倍角公式得到結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，以及二倍角公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達(dá)式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時(shí)，，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)猜想成立.綜上，對(duì)于一切均成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

（1）設(shè)，計(jì)算得到，直線的方程為，得到答案.（2）計(jì)算，設(shè)，討論，，三種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，由三點(diǎn)共線得，化簡(jiǎn)得，即，由此可得，所以直線的方程為，即，因此直線恒過(guò)定點(diǎn).（2），，令，如果，則；如果，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)等號(hào)成立，從而，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，故，所以，故.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1)或.(2)【解題分析】

（1）利用絕對(duì)值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，故的解集是的子集，據(jù)此可求的取值范圍.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所?令，得或，解得或.（2）當(dāng)時(shí)，.由，得，即，即.據(jù)題意，，則，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】（1）絕對(duì)值不等式指：及，我們常利用它們求含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的最值.（2）解絕對(duì)值不等式的基本方法有公式法、零點(diǎn)分段討論法、圖像法、平方法等，利用公式法時(shí)注意不等號(hào)的方向，利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇，利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖像法求解時(shí)注意圖像的正確刻畫(huà)．20、（1）.（2）【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解；

求出，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】（1）由，得，又為純虛數(shù)，所以，且，所以.（2），又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，且，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于中檔題．21、（1）（2）解:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以,故.所以橢圓.(1)設(shè),則兩式相減得，又的中點(diǎn)為,所以.所以.顯然,點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,所以直線的斜率為.(2)橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為時(shí),.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí),設(shè)直線的方程為，設(shè),聯(lián)立方程得消去并化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以?所以同理可得.所以為定值.【解題分析】分析：（1）先利用拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)求出，進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)差法求直線的斜率；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，故.所以橢圓.（1）設(shè)，，則兩式相減得，又的中點(diǎn)為，所以，.所以.顯然，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線的斜率為.（2）橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程得消去并化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以?所以，同理可得.所以為定值.點(diǎn)睛：在處理直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題，往往利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解，比聯(lián)立方程的運(yùn)算量小，