黑龍江省五校聯考2024屆數學高二第二學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明時，由時的假設到證明時，等式左邊應添加的式子是（）A． B．C． D．2．已知隨機變量服從正態分布，若，則()A． B． C． D．3．已知各項不為的等差數列，滿足，數列是等比數列，且，則（）A． B． C． D．4．下列問題中的隨機變量不服從兩點分布的是（）A．拋擲一枚骰子，所得點數為隨機變量B．某射手射擊一次，擊中目標的次數為隨機變量C．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量{1，取出白球；0，取出紅球}D．某醫生做一次手術，手術成功的次數為隨機變量5．復數（）A． B． C． D．6．用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A．243B．252C．261D．2797．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且滿足，則的離心率滿足（）A． B． C． D．8．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．9．已知，其中、是實數，是虛數單位，則復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．對變量x,y有觀測數據(xi,yiA．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關11．如圖，矩形的四個頂點依次為，，記線段、以及的圖象圍成的區域（圖中陰影部分）為，若向矩形內任意投一點，則點落在區域內的概率為()A． B．C． D．12．若函數，函數有3個零點，則k的取值范圍是()A．（0，1） B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列是等差數列，是等比數列，數列的前項和為.若，則數列的通項公式為_________.14．已知函數，，，當時，的值域為_____；15．函數的單調遞增區間是．16．已知函數，若，則實數的取值范圍__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數，是的共軛復數，且為純虛數，在復平面內所對應的點在第二象限，求.18．（12分）中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態度，責成人社部進行調研.人社部從網上年齡在1565歲的人群中隨機調查100人，調査數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下：年齡支持“延遲退休”的人數155152817（1）由以上統計數據填列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望.19．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均為正數.求證：20．（12分）今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語文、數學、外語三門學科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學生在物理和歷史中的選科意愿情況，進行了一次模擬選科.已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學生，其中男生1000人，女生800人.按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本，統計知其中有17個男生選物理，6個女生選歷史．（I）根據所抽取的樣本數據，填寫答題卷中的列聯表.并根據統計量判斷能否有的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關？（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有人，女生有人，求隨機變量的分布列和數學期望．（的計算公式見下），臨界值表：21．（12分）已知函數，數列的前項和為，且滿足．（1）求的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】因為當時，等式的左邊是，所以當時，等式的左邊是，多增加了，應選答案B．點睛：解答本題的關鍵是搞清楚當時，等式的左邊的結構形式，當時，等式的左邊的結構形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．2、D【解題分析】

隨機變量服從正態分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機變量X服從正態分布,

,

答案為D.【題目點撥】本題考查了正態分布,利用正態分布的對稱性是解決問題的關鍵.3、B【解題分析】根據等差數列的性質得：，變為：，解得（舍去），所以，因為數列是等比數列，所以，故選B.4、A【解題分析】

兩點分布又叫分布，所有的實驗結果有兩個，，，滿足定義，不滿足.【題目詳解】兩點分布又叫分布，所有的實驗結果有兩個，，，滿足定義，而，拋擲一枚骰子，所得點數為隨機變量，則的所有可能的結果有6種，不是兩點分布．故選：．【題目點撥】本題考查了兩點分布的定義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．5、C【解題分析】分析：直接利用復數的除法運算得解.詳解：由題得，故答案為：C.點睛：本題主要考查復數的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本運算能力.6、B【解題分析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個數字組成的三位數(含有重復數字的)共有9×10×10=900，組成無重復數字的三位數共有9×9×8=648，因此組成有重復數字的三位數共有900－648=1．7、D【解題分析】分析：聯立圓與漸近線方程，求得M的坐標，由，得點在雙曲線右支上，代入雙曲線方程化簡即可求．詳解：由，得，即，由，，即由，化簡得，即，故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．8、D【解題分析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據勾股定理：故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.9、D【解題分析】

由得，根據復數相等求出的值，從而可得復數的共軛復數，得到答案.【題目詳解】由有，其中、是實數.所以，解得，所以則復數的共軛復數為，則在復平面內對應的點為.所以復數的共軛復數對應的點位于第四象限.故選：D【題目點撥】本題考查復數的運算和根據復數相等求參數，考查復數的概念，屬于基礎題.10、C【解題分析】試題分析：由散點圖1可知，點從左上方到右下方分布，故變量x與y負相關；由散點圖2可知，點從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關，故選C考點：本題考查了散點圖的運用點評：熟練運用隨機變量的正負相關的概念是解決此類問題的關鍵，屬基礎題11、D【解題分析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結果.詳解：陰影部分的面積是，矩形的面積是，點落在區域內的概率，故選D.點睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數和，其中在軸上方的面積等于該區間上的積分值，在軸下方的面積等于該區間上積分值的相反數,所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.12、A【解題分析】

畫出的圖像，有3個零點等價于有3個交點。【題目詳解】有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，設切點為則切線方程為：，又切線過原點，即，將，，代入解得，所以切線斜率所以【題目點撥】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查了函數零點個數的問題，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先設數列的前項和為，先令，得出求出的值，再令，得出，結合的值和的通項的結構得出數列的通項公式。【題目詳解】設數列的前項和為，則.當時，，，；當時，.也適合上式，.由于數列是等差數列，則是關于的一次函數，且數列是等比數列，，可設，則，，因此，。故答案為：。【題目點撥】本題考查利用前項和公式求數列的通項，一般利用作差法求解，即，在計算時要對是否滿足通項進行檢驗，考查計算能力，屬于中等題。14、.【解題分析】

首先根據題設條件，計算，由結合可求得，由可求得，進而可求得的解析式，由分段函數的性質即可求解.【題目詳解】，且，當，則，解得，當，則，解得，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，故的值域為.故答案為：【題目點撥】本題是一道考查不等式的題目，考查了分段函數的值域，解題的關鍵是化簡解析式，屬于基礎題.15、【解題分析】試題分析：因為，所以單調遞增區間是考點：導數應用16、【解題分析】

設，再求函數的奇偶性和單調性，再利用函數的奇偶性和單調性解不等式得解.【題目詳解】設，因為，所以函數是奇函數，其函數的圖像為函數在R上單調遞增，由題得，所以,所以,所以，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查函數的單調性和奇偶性及其應用，考查函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

設，根據題意列出關于的方程組求解，再結合所對應的點在第二象限，即可求出【題目詳解】設，則，∴又，.∴，聯立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案為【題目點撥】本題考查了復數的相關定義，設出復數的表示形式，根據題意列出方程組即可，本題較為基礎，注意計算。18、(1)列聯表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”有差異.(2)①.②分布列見解析，.【解題分析】

分析：（1）根據頻率分布直方圖得到45歲以下與45歲以上的人數，由此可得列聯表，求得后在結合臨界值表可得結論．（2）①結合條件概率的計算方法求解；②由題意可得的可能取值為0,1,2，分別求出對應的概率后可得分布列和期望．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故可得列聯表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100由列聯表可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異．（2）①從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應抽6人，45歲以上的應抽2人．設“抽到1人是45歲以下”為事件A，“抽到的另一人是45歲以上”為事件B，則,∴,即抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率為．②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應抽6人，45歲以上的應抽2人．由題意得的可能取值為0,1,2.，，.故隨機變量的分布列為：012所以.19、（1）；（2）證明見解析【解題分析】

（1）分別在、、三個范圍內去掉絕對值符號得到不等式，解不等式求得結果；（2）將所證結論變為證明，利用基本不等式可證得結論.【題目詳解】（1）當時，，解得：當時，，無解當時，，解得：不等式的解集為：（2）均為正數要證，只需證：即證：，，三式相加可得：（當且僅當時取等號）成立【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、利用基本不等式證明不等關系的問題，考查分類討論的思想、分析法證明不等式和基本不等式的應用，屬于常考題型.20、（I）沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關；（II）見解析【解題分析】

（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數據中有個男生，16個女生，根據題意列出列聯表，求得的值，即可得到結論．（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，進而求得相應的概率，列出隨機變量的分布列，利用公式求解期望．【題目詳解】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數據中有個男生，16個女生，結合題目數據可得列聯表：男生女生合計選物理17320選歷史10616合計279得而，所以沒有90%的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關.（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列為：20所以的期望.【題目點撥】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的計算，其中解答中認真審題，準確得出隨機變量的取值，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．21、（1）（2）猜想．見解析【解題分析】

（1）先求得的值，然后根據已知條件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想數列的通項公式為，然后利用數學歸納法進行證明.【題目詳解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．當時，；當時，；當時，．（2）由（1）猜想．下面用數學歸納法證明：①當時，由（1）可知猜想成立；②假設時猜想成立，即，此時，當時，，整理得，所以當時猜想成立．綜上所述，對任意成立．【題目點撥】本小題主要考查根據遞推關系式求數列某些項的值，考查數學歸納法求數列的通項公式，屬于中檔題.22、（1）；（2）