2023年湖南省永州市中考數學真題試卷及答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．每個小題只有一個正確選項，請將正確的選項填涂到答題卡上）1．我國古代數學名著《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”、如：糧庫把運進30噸糧食記為“”，則“”表示（

）A．運出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食2．企業標志反映了思想、理念等企業文化，在設計上特別注重對稱美，下列企業標志圖為中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．下列多邊形中，內角和等于的是（

）A．

B．

C．

D．

4．關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（

）A．3 B． C．7 D．5．下列各式計算結果正確的是（

）A． B． C． D．6．下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為三角形的是（

）A． B． C． D．7．某縣年人均可支配收入為萬元，年達到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．8．今年2月，某班準備從《在希望的田野上》《我和我的祖國》《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（

）A． B． C． D．19．已知點在反比例函數的圖象上，其中a，k為常數，且﹐則點M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以，為圓心，大于的定長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，作，垂足為，則下列結論不正確的是（

）

A． B． C． D．一定經過的內心二﹑填空題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分．請將答案填在答題卡的答案欄內）11．，3，三個數中最小的數為_______．12．與的公因式為________．13．已知x為正整數，寫出一個使在實數的范圍內沒有意義的x值是_______．14．甲、乙兩隊學生參加學校儀仗隊選拔，兩隊隊員的平均身高均為，甲隊隊員身高的方差為，乙隊隊員身高的方差為，若要求儀仗隊身高比較整齊，應選擇_______隊較好．15．如圖，，則_______度．

16．若關于x的分式方程（m為常數）有增根，則增根是_______．17．已知扇形的半徑為6，面積為，則扇形圓心角的度數為_________度．18．如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_______．

三、解答題（本大題共8個小題，共8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．解關于x的不等式組20．先化簡，再求值：，其中．21．如圖，已知四邊形是平行四邊形，其對角線相交于點O，．

(1)是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形是菱形．22．今年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日．某市面向中小學生舉行了一次關于心理健康、預防欺凌、防漏水、應急疏散等安全專題知識競賽，共有18360名學生參加本次競賽．為了解本次競賽成績情況，隨機抽取了n名學生的成績x（成績均為整數，滿分為100分）分成四個組：1組、2組、3組、4組，并繪制如下圖所示頻數分布圖

(1)______；所抽取的n名學生成績的中位數在第_____組；(2)若成績在第4組才為優秀，則所抽取的n名學生中成績為優秀的頻率為______；(3)試估計18360名參賽學生中，成績大于或等于70分的人數．23．永州市道縣陳樹湘紀念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示），寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時的年齡為29歲．如圖2，以線段代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面上D處為陳樹湘雕拍照，相機支架高0.9米，在相機C處觀測雕像頂端A的仰角為，然后將相機架移到處拍照，在相機M處觀測雕像頂端A的仰角為，求D.N兩點間的距離（結果精確到0.1米，參考數據：）24．小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量簡中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如下表的一組數據：時間t（單位：分鐘）12345…總水量y（單位：毫升）712172227…(1)探究：根據上表中的數據，請判斷和（k，b為常數）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數關系?并求出y關于t的表達式；(2)應用：①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升?②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．25．如圖，以為直徑的是的外接圓，延長到點D．使得，點E在的延長線上，點在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)若，求證：．26．如圖1，拋物線（，，為常數）經過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．參考答案1．A【解析】根據題意明確“正”和“負”所表示的意義，再根據題意即可求解．解：糧庫把運進30噸糧食記為“”，則“”表示運出30噸糧食．故選：A【點撥】本題考查了正負數的意義，理解“正”和“負”分別表示相反意義的量是解題關鍵．2．C【解析】根據中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選C．【點撥】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．3．B【解析】根據n邊形內角和公式分別求解后，即可得到答案解：A．三角形內角和是，故選項不符合題意；B．四邊形內角和為，故選項符合題意；C．五邊形內角和為，故選項不符合題意；D．六邊形內角和為，故選項不符合題意．故選：B．【點撥】此題考查了n邊形內角和，熟記n邊形內角和公式是解題的關鍵．4．A【解析】把代入再進行求解即可．解：把代入得：，解得：．故選：A．【點撥】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．5．D【解析】根據合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數冪運算法則，逐個進行計算即可．解：A.，故A不正確，不符合題意；B.，故B不正確，不符合題意；C.，故C不正確，不符合題意；D.，故D正確，符合題意；故選：D．【點撥】本題主要考查了合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數冪運算法則，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則并熟練運用．6．D【解析】根據三視圖的意義判斷即可．A.主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；B.主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；C.主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；D.主視圖和左視圖都為三角形，符合題意，故選D．【點撥】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的意義是解題的關鍵．7．B【解析】設年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，根據題意列出一元二次方程即可．解：設年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，根據題意得，，故選：B．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．8．B【解析】根據概率公式，即可解答．解：從三首歌曲中選擇兩首進行排練，有《在希望的田野上》《我和我的祖國》、《在希望的田野上》《十送紅軍》、《我和我的祖國》《十送紅軍》共三種選擇方式，故選到前兩首的概率是，故選：B．【點撥】本題考查了根據概率公式計算概率，排列出總共可能的情況的數量是解題的關鍵．9．A【解析】根據反比例函數中的，可知反比例函數經過第一、三象限，再根據點M點的橫坐標判斷點M所在的象限，即可解答解：，反比例函數的圖象經過第一、三象限，故點M可能在第一象限或者第三象限，的橫坐標大于0，一定在第一象限，故選：A．【點撥】本題考查了判斷反比例函數所在的象限，判斷點所在的象限，熟知反比例函數的圖象所經過的象限與k值的關系是解題的關鍵．10．C【解析】根據作圖可得是的角平分線，根據角平分線的性質得出，即可判斷B，證明，根據全等三角形的性質，即可判斷A，根據三角形內心的定義，即可判斷D選項，假設成立，得出，即可判斷C選項．解：根據作圖可得是的角平分線，點在上，，∴，故B選項正確，在中，，∴，∴，故A選項正確；∵是的角平分線，三角形的內心是三條角平分線的交點，∴一定經過的內心，故D選項正確；若，則，，又，則，∴，而題目沒有給出這個條件，故C選項不一定正確，故選：C．【點撥】本題考查了作角平分線，三角形角平分線的定義，全等三角形的性質與判定，三角形的內心的定義，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．11．【解析】根據有理數比較大小的法則即可求出答案．解：，，3三個數中，只有3是正數，3最大．，，，．最小．故答案為：．【點撥】本題考查了有理數比較大小，解題的關鍵在于熟練掌握有理數比較大小的方法：正數始終大于負數；兩個負數比較，絕對值大的反而小．12．【解析】根據確定公因式的確定方法：系數取最大公約數；字母取公共字母；字母指數取最低次的，即可解答．解：根據確定公因式的方法，可得與的公因式為，故答案為：．【點撥】本題考查了公因式的確定，掌握確定公因式的方法是解題的關鍵．13．1（答案不唯一）【解析】根據二次根式有意義的條件，可得當時，沒有意義，解不等式，即可解答．解：當時，沒有意義，解得，為正整數，可取1，2，故答案為：1．【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號下的式子小于零時，二次根式無意義，是解題的關鍵．14．甲【解析】根據方差的意義判斷即可．∵，∴，∴估計這兩支儀仗隊身高比較整齊的是甲，故答案為：甲．【點撥】本題主要考查樣本估計總體、方差，解題的關鍵是掌握方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．15．【解析】根據，得出，根據，即可得出，即可求解．解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補．16．【解析】根據使分式的分母為零的未知數的值，是方程的增根，計算即可．∵關于x的分式方程（m為常數）有增根，∴，解得，故答案為：．【點撥】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．17．60【解析】根據扇形的面積公式即可求出答案．解：設扇形圓心角的度數為，，扇形的半徑為6，．故答案為：60．【點撥】本題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵在于熟練掌握扇形的面積公式：．18．【解析】過點作于點，交于點，則，依題意，得出，進而在中，勾股定理即可求解．解：如圖所示，過點作于點，交于點，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．19．【解析】分別解不等式組的兩個不等式，再取兩個不等式的解集的公共部分，即為不等式組的解集．解：，解①得，，解②得，，原不等式組的解集為．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組的解集，取兩個不等式的解集的公共部分的口訣為：“大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小則無解”，熟知上述口訣是解題的關鍵．20．【解析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．；當時，原式．【點撥】本題考查了分式的化簡求值，運用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關鍵．21．(1)是直角三角形，理由見解析．(2)見解析【解析】（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得，再根據勾股定理的逆定理，即可得出結論；（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證．（1）解：是直角三角形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴是直角三角形．（2）證明：由（1）可得：是直角三角形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．22．(1)600，3(2)(3)成績大于或等于70分的人數約為15606人【解析】（1）將各組的頻數相加，即可求出n的值，再根據中位數的定義，即可得出中位數所在組數；（2）用第4組的頻數除以抽取的學生總數，即可求解；（3）用總人數乘以成績大于或等于70分的人數所占百分比，即可求解．（1）解：，∵，∴抽取的n名學生成績的中位數為第300名學生和第301名學生成績的平均數，∵，，∴抽取的n名學生成績的中位數在第3組；故答案為：600，3；（2）解：所抽取的n名學生中成績為優秀的頻率，故答案為：；（3）解：（人），答：成績大于或等于70分的人數約為15606人．【點撥】本題主要考查了頻數和頻率的定義，用樣本估計總體，解題的關鍵是正確識別統計圖，根據統計圖，獲取需要數據進行求解．23．1.5【解析】如圖，，，四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，中，，，，中，，，所以，進一步求得，所以．如圖，米，米四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形∴米，∵中，，∴米，∴米∵中，，∴∴米∴米∴米【點撥】本題考查解直角三角形，矩形的判定和性質，觀察圖形，確定組合圖形中，通過直角三角形、矩形之間的位置關系確定線段間的數量關系是解題的關鍵．24．(1)能正確反映總水量y與時間t的函數關系；(2)①102毫升；②144天【解析】（1）觀察表格，可發現前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時間t的函數關系，再選取兩組數據代入函數解析式，根據待定系數法，即可得到y關于t的表達式；（2）①將代入函數，即可解答；②由解析式可知，每分鐘滴水量為毫升，故可算出1個月的總滴水量，再除以一個人每天的飲水量，即可解答．（1）解：觀察表格，可發現前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時間t的函數關系，把，代入，可得，解得，y關于t的表達式；（2）①當時，，故小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升，答：小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升．②由解析式可知，每分鐘的滴水量為毫升，30天分鐘分鐘，可供一人飲水天數天，答：這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用144天．【點撥】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數的應用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數解析式是解題的關鍵．25．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【解析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結論得證；（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得到的長；（3）先證明，則，得到，由得到，則，由同角的余角相等得到，則，得，進一步得到，則，即可得到結論．（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，