2024屆東北育才中學數學高二第二學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.802．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．3．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取60名高中生做問卷調查，得到以下數據：作文成績優秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數據，計算得到的觀測值，根據臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數據中沒有發現足夠證據支持結論“作文成績優秀與課外閱讀量大有關”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關4．已知函數的導數是，若，都有成立，則()A． B．C． D．5．的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．6．已知，若的展開式中各項系數之和為，則展開式中常數項為（）A． B． C． D．7．在極坐標系中，點關于極點的對稱點為A． B． C． D．8．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽車的準時到站的概率為，則他在3天乘車中，此班車恰有2天準時到站的概率為（）A． B． C． D．9．用數學歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數是（）A． B． C． D．110．已知集合，則等于()A． B． C． D．11．在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限12．已知是虛數單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若，則________14．雙曲線的焦點坐標為____________.15．若在展開式中，若奇數項的二項式系數之和為，則含的系數是_____________.16．若向量，，，，且，則與的夾角等于________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求的最小值；（2）已知為正數，且，求證.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓經過點，且離心率.求橢圓的方程；設、分別是橢圓的上頂點與右頂點，點是橢圓在第三象限內的一點，直線、分別交軸、軸于點、，求四邊形的面積.20．（12分）第十二屆全國人名代表大會第五次會議和政協第十二屆全國委員會第五次會議（簡稱兩會）分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕，某高校學生會為了解該校學生對全國兩會的關注情況，隨機調查了該校200名學生，并將這200名學生分為對兩會“比較關注”與“不太關注”兩類，已知這200名學生中男生比女生多20人，對兩會“比較關注”的學生中男生人數與女生人數之比為，對兩會“不太關注”的學生中男生比女生少5人.（1）該校學生會從對兩會“比較關注”的學生中根據性別進行分層抽樣，從中抽取7人，再從這7人中隨機選出2人參與兩會宣傳活動，求這2人全是男生的概率.（2）根據題意建立列聯表，并判斷是否有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）有20件產品，其中5件是次品，其余都是合格品，現不放回的從中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.22．（10分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）將直線：（為參數）化為極坐標方程；（2）設是（1）中的直線上的動點，定點，是曲線上的動點，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態分布，若隨機變量中，則正態曲線關于直線對稱，因此有，（）．2、C【解題分析】分析：利用向量的數量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．3、D【解題分析】分析：根據臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因為根據臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優秀與課外閱讀量大有關．選D.點睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.4、D【解題分析】分析：由題意構造函數，結合函數的單調性整理計算即可求得最終結果.詳解：令，則：，由，都有成立，可得在區間內恒成立，即函數是區間內單調遞減，據此可得：，即，則.本題選擇D選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.5、C【解題分析】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得。詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。6、B【解題分析】

通過各項系數和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數項為，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，注意各項系數之和和二項式系數和之間的區別，意在考查學生的計算能力，難度不大.7、C【解題分析】分析：在極坐標系中，關于極點的對稱點為詳解：∵關于極點的對稱點為，

∴關于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關于極點的對稱點的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標性質的合理運用．8、B【解題分析】由題意，恰有2天準時到站的概率為，故選擇B。9、A【解題分析】

先求出n=k+1時左邊最后的一項，再求左邊增加的項數.【題目詳解】n=k+1時左邊最后的一項為，n=k時左邊最后一項為，所以左邊增加的項數為.故選：A【題目點撥】本題主要考查數學歸納法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.10、D【解題分析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.11、D【解題分析】分析：將復數化為最簡形式，求其共軛復數，找到共軛復數在復平面的對應點，判斷其所在象限.詳解：的共軛復數為對應點為，在第四象限，故選D.點睛：此題考查復數的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分.12、B【解題分析】

根據復數的乘法運算法則，直接計算，即可得出結果.【題目詳解】.故選B【題目點撥】本題主要考查復數的乘法，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問題.【題目詳解】令，則有，且定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數，則，即，所以.【題目點撥】本題考查類奇偶函數的運用，難度較易.關鍵是先構造出奇偶函數，然后利用新函數的值去分析結果.14、【解題分析】

首先將雙曲線方程整理為標準方程的形式，然后求解其焦點坐標即可.【題目詳解】雙曲線方程即：，其中，故，由雙曲線的方程可知雙曲線焦點在x軸上，故焦點坐標為.故答案為：．【題目點撥】本題主要考查雙曲線方程焦點的計算，屬于基礎題.15、【解題分析】

由題意可知，奇數項的二項式系數之和為，求出，然后求出展開式的通項，利用的指數為，求出參數的值，然后將參數的值代入通項，即可求出含項的系數.【題目詳解】由題意可知，奇數項的二項式系數之和為，解得，展開式的通項為，令，得，因此，展開式中含的系數為.故答案為.【題目點撥】本題考查二項展開式中奇數項系數和的問題，同時也考查了二項展開式中指定項系數的求解，一般利用展開式通項來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解題分析】

由平面向量數量積的運算的：，即與的夾角等于【題目詳解】由，，所以，，，所以，即與的夾角等于，故答案為：【題目點撥】本題考查向量數量積的坐標運算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）利用絕對值不等式求得函數的最小值.（2）利用基本不等式，證得不等式成立.【題目詳解】（1）依題意，當且僅當時，取得最小值，故的最小值為.（2）由（1）知，，當且僅當時等號成立.【題目點撥】本小題主要考查利用絕對值不等求得最小值，考查利用基本不等式證明不等式，屬于基礎題.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【題目詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設平面的法向量為，由，，得，不妨設，得.又，，所以.設與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】用向量法求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.19、；.【解題分析】

運用橢圓的離心率公式和滿足橢圓方程，解方程可得，的值，即可得到所求橢圓方程；求得，的坐標，設，求得直線，的方程，可得，的坐標，進而計算四邊形的面積.【題目詳解】由橢圓的離心率為得，，.又橢圓C經過點，，解得，橢圓C的方程為.由可知，，.設，則直線，從而；直線，從而.四邊形的面積.，.【題目點撥】本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的求法，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.20、（1）沒有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異；（2）．【解題分析】【試題分析】（1）可先設男生比較關注和不太關注的人分別為，則女生比較關注和不太關注的為，建立方程組，由此可得列聯表為：，然后運用計算公式算出，借助表中的參數可以斷定沒有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異；（2）先由分層抽樣的知識點算得：在男生和女生中分別抽取的人數為4人、3人，再運用古典概型的計算公式算得其概率.解：(1)設男生比較關注和不太關注的人分別為，則女生比較關注和不太關注的為，則由題意得：，因此可得列聯表為：∴，所以沒有99%的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異.（2）由分層抽樣的知識點可得：在男生和女生中分別抽取的人數為4人、3人.則.21、（1）（2）【解題分析】

（1）抽到每件產品的可能性相同，直接做比即可（2）考慮剩余產品數目和剩余次品數目再做比例。【題目詳解】設第一次抽到次品的事件為，第二次抽到次品的事件為.（1）因為有20件產品，其中5件是次品，抽到每件產品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率為.（2）第一次抽到次品后，剩余件產品，其中有件次品，又因為抽到每件產品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為.【題目點撥】本題考查古典概型和條件概率，屬于基礎題。22、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的參數方程化為普通方程，再由可將直線的普通方程化為極